Technická mechanika. Poznámky z přednášky. Základní zákony a vzorce v teoretické mechanice. Řešení přednáškových příkladů z teoretické mechaniky

Úhel natočení během této doby φ=2πz\u003d 2 * 3,14 * 360 \u003d 2261 rad

4. Práce na 3 otáčky:W\u003d 1 * 0,02 * 2261 \u003d 45,2 kJ

Bibliografie

Olofinskaja, V.P. "Technická mechanika", Moskva "Fórum" 2011

Erdedi A.A. Erdedi N.A. Teoretická mechanika. Pevnost materiálů.- R-n-D; Phoenix, 2010

Jako součást jakéhokoli učebního plánu začíná studium fyziky mechanikou. Ne z teoretické, ne z aplikované a ne výpočetní, ale ze staré dobré klasické mechaniky. Tato mechanika se také nazývá newtonovská mechanika. Podle legendy se vědec procházel po zahradě, viděl padat jablko a právě tento jev ho přiměl k objevu zákona univerzální gravitace. Zákon samozřejmě existoval odjakživa a Newton mu dal pouze lidem srozumitelnou formu, ale jeho zásluha je k nezaplacení. V tomto článku nebudeme co nejpodrobněji popisovat zákony newtonovské mechaniky, ale nastíníme základy, základní poznatky, definice a vzorce, které vám mohou vždy hrát do karet.

Mechanika je obor fyziky, věda, která studuje pohyb hmotných těles a interakce mezi nimi.

Samotné slovo je řeckého původu a překládá se jako „umění stavět stroje“. Před stavbou strojů nás ale čeká ještě dlouhá cesta, vydejme se tedy po stopách našich předků a budeme studovat pohyb kamenů vržených šikmo k horizontu a jablek padajících na hlavy z výšky h.

Proč studium fyziky začíná mechanikou? Protože je naprosto přirozené, nevyjíždět to z termodynamické rovnováhy?!

Mechanika je jednou z nejstarších věd a historicky studium fyziky začalo právě se základy mechaniky. Lidé, umístěni v rámci času a prostoru, ve skutečnosti nemohli vycházet z něčeho jiného, ​​ať chtěli, jak moc chtěli. Pohybující se těla jsou první věcí, které věnujeme pozornost.

co je to pohyb?

Mechanický pohyb je změna polohy těles v prostoru vůči sobě v čase.

Právě po této definici se zcela přirozeně dostáváme k pojmu referenční rámec. Změna polohy těles v prostoru vůči sobě navzájem. Klíčová slova zde: vůči sobě navzájem . Koneckonců, cestující v autě se pohybuje ve vztahu k osobě stojící na kraji silnice určitou rychlostí a vzhledem ke svému sousedovi leží na sedadle poblíž a pohybuje se jinou rychlostí vzhledem k cestujícímu v autě, které předběhne je.

Proto, abychom normálně změřili parametry pohybujících se objektů a nepletli se, potřebujeme referenční systém - pevně propojené referenční těleso, souřadnicový systém a hodiny. Země se například pohybuje kolem Slunce v heliocentrické vztažné soustavě. V každodenním životě provádíme téměř všechna naše měření v geocentrickém referenčním systému spojeném se Zemí. Země je referenční těleso, vůči kterému se pohybují auta, letadla, lidé, zvířata.

Mechanika jako věda má svůj vlastní úkol. Úkolem mechaniky je v každém okamžiku znát polohu tělesa v prostoru. Jinými slovy, mechanika konstruuje matematický popis pohybu a nachází souvislosti mezi fyzikálními veličinami, které jej charakterizují.

Abychom se mohli posunout dále, potřebujeme pojem „ hmotný bod ". Říká se, že fyzika je exaktní věda, ale fyzici vědí, kolik aproximací a předpokladů je třeba udělat, aby se shodli na této přesnosti. Nikdo nikdy neviděl hmotný bod nebo nečuchal ideální plyn, ale existují! Život s nimi je mnohem jednodušší.

Hmotný bod je těleso, jehož velikost a tvar lze v rámci tohoto problému zanedbat.

Úseky klasické mechaniky

Mechanika se skládá z několika částí

• Kinematika
• Dynamika
• Statika

Kinematika z fyzikálního hlediska studuje přesně, jak se tělo pohybuje. Jinými slovy, tato část se zabývá kvantitativními charakteristikami pohybu. Najít rychlost, dráhu - typické úlohy kinematiky

Dynamikařeší otázku, proč se pohybuje tak, jak se pohybuje. To znamená, že uvažuje síly působící na tělo.

Statika studuje rovnováhu těles při působení sil, tedy odpovídá na otázku: proč vůbec nepadá?

Meze použitelnosti klasické mechaniky

Klasická mechanika si již nečiní nárok na to, že je vědou, která vše vysvětluje (na začátku minulého století bylo všechno úplně jinak) a má jasný rozsah použitelnosti. Obecně platí zákony klasické mechaniky pro svět nám známý z hlediska velikosti (makrosvět). Přestávají fungovat v případě světa částic, kdy je klasická mechanika nahrazena kvantovou mechanikou. Také klasická mechanika je nepoužitelná v případech, kdy k pohybu těles dochází rychlostí blízkou rychlosti světla. V takových případech se projeví relativistické efekty. Zhruba řečeno, v rámci kvantové a relativistické mechaniky - klasické mechaniky jde o speciální případ, kdy jsou rozměry tělesa velké a rychlost malá.

Obecně řečeno, kvantové a relativistické efekty nikdy nezmizí, probíhají také při obvyklém pohybu makroskopických těles rychlostí mnohem nižší, než je rychlost světla. Další věcí je, že působení těchto efektů je tak malé, že nepřesahuje nejpřesnější měření. Klasická mechanika tak nikdy neztratí svůj zásadní význam.

Ve studiu fyzikálních základů mechaniky budeme pokračovat v dalších článcích. Pro lepší pochopení mechaniky můžete vždy odkazovat naši autoři, které jednotlivě vrhají světlo na temnou skvrnu nejtěžšího úkolu.

1 snímek

Kurz přednášek z teoretické mechaniky Dynamika (I část) Bondarenko A.N. Moskva - 2007 Elektronický školicí kurz byl napsán na základě přednášek autorky pro studenty studující v oborech SZhD, PGS a SDM na NIIZhT a MIIT (1974-2006). Vzdělávací materiál odpovídá kalendářním plánům v rozsahu tří semestrů. Chcete-li během prezentace plně implementovat efekty animace, musíte použít prohlížeč Power Point, který není nižší než ten, který je integrován do sady Microsoft Office operačního systému Windows-XP Professional. Připomínky a návrhy je možné zasílat na e-mail: [e-mail chráněný]. Moskevská státní univerzita železničního inženýrství (MIIT) Katedra teoretické mechaniky Vědecké a technické centrum dopravních technologií

2 snímek

Obsah Přednáška 1. Úvod do dynamiky. Zákony a axiomy dynamiky hmotných bodů. Základní rovnice dynamiky. Diferenciální a přirozené pohybové rovnice. Dva hlavní úkoly dynamiky. Příklady řešení přímé úlohy dynamiky Přednáška 2. Řešení inverzní úlohy dynamiky. Obecné pokyny pro řešení inverzní úlohy dynamiky. Příklady řešení inverzní úlohy dynamiky. Pohyb tělesa vrženého pod úhlem k horizontu bez zohlednění odporu vzduchu. Přednáška 3. Přímé kmity hmotného bodu. Podmínka pro vznik oscilací. Klasifikace vibrací. Volné vibrace bez zohlednění sil odporu. tlumené vibrace. Snížení oscilace. Přednáška 4. Vynucené kmitání hmotného bodu. Rezonance. Vliv odporu na pohyb při vynucených vibracích. Přednáška 5. Relativní pohyb hmotného bodu. Setrvačné síly. Konkrétní případy pohybu pro různé druhy přenosného pohybu. Vliv rotace Země na rovnováhu a pohyb těles. Přednáška 6. Dynamika mechanické soustavy. mechanický systém. Vnější a vnitřní síly. Těžiště systému. Věta o pohybu těžiště. Ochranné zákony. Příklad řešení úlohy použití věty o pohybu těžiště. Přednáška 7. Impuls síly. Množství pohybu. Věta o změně hybnosti. Ochranné zákony. Eulerova věta. Příklad řešení problému použití věty o změně hybnosti. moment hybnosti. Věta o změně momentu hybnosti Přednáška 8. Zákony zachování. Základy teorie momentů setrvačnosti. Kinetický moment tuhého tělesa. Diferenciální rovnice rotace tuhého tělesa. Příklad řešení problému použití věty o změně momentu hybnosti soustavy. Základní teorie gyroskopu. Doporučená literatura 1. Yablonsky A.A. Kurz teoretické mechaniky. Část 2. M.: Vyšší škola. 1977. 368 s. 2. Meshchersky I.V. Sbírka úloh z teoretické mechaniky. M.: Věda. 1986 416 s. 3. Sbírka úloh k semestrálním pracím /Ed. A.A. Yablonsky. M.: Vyšší škola. 1985. 366 s. 4. Bondarenko A.N. „Teoretická mechanika v příkladech a úlohách. Dynamics“ (elektronická příručka www.miit.ru/institut/ipss/faculties/trm/main.htm), 2004

3 snímek

Přednáška 1 Dynamika je část teoretické mechaniky, která studuje mechanický pohyb z nejobecnějšího hlediska. Pohyb je uvažován v souvislosti se silami působícími na předmět. Sekce se skládá ze tří částí: Dynamika hmotného bodu Dynamika Dynamika mechanického systému Analytická mechanika ■ Dynamika bodu - studuje pohyb hmotného bodu s přihlédnutím k silám, které tento pohyb způsobují. Hlavním předmětem je hmotný bod - hmotné těleso s hmotou, jejíž rozměry lze zanedbat. Základní předpoklady: - existuje absolutní prostor (má čistě geometrické vlastnosti, které nejsou závislé na hmotě a jejím pohybu. - existuje absolutní čas (nezávisí na hmotě a jejím pohybu). Z toho vyplývá: - existuje absolutně nepohyblivá vztažná soustava - čas nezávisí na pohybu vztažné soustavy - hmotnosti pohybujících se bodů nezávisí na pohybu vztažné soustavy Tyto předpoklady se používají v klasické mechanice vytvořené Galileem a Newtonem Stále má dosti široký záběr, neboť mechanické systémy uvažované v aplikovaných vědách nemají tak velké hmotnosti a rychlosti pohybu, u kterých je třeba brát v úvahu jejich vliv na geometrii prostoru, času, pohybu, např. se provádí v relativistické mechanice (teorie relativity) ■ Základní zákony dynamiky - poprvé objevené Galileem a formulované Newtonem tvoří základ všech metod pro popis a analýzu pohybu mechanických systémů a jejich dynamické interakce působením různých sil. ■ Zákon setrvačnosti (Galileo-Newtonův zákon) - Izolovaný hmotný bod tělesa si zachovává klidový nebo rovnoměrný přímočarý pohyb, dokud jej aplikované síly nedonutí tento stav změnit. To implikuje ekvivalenci stavu klidu a pohybu setrvačností (Galileův zákon relativity). Vztažná soustava, ve vztahu ke které je splněn zákon setrvačnosti, se nazývá inerciální. Vlastnost hmotného bodu snažit se udržet rychlost svého pohybu (jeho kinematický stav) nezměněnou se nazývá setrvačnost. ■ Zákon úměrnosti síly a zrychlení (Základní rovnice dynamiky - Newtonův II zákon) - Zrychlení udělované hmotnému bodu silou je přímo úměrné síle a nepřímo úměrné hmotnosti tohoto bodu: nebo Zde m je hmotnost bodu (míra setrvačnosti), měřená v kg, číselně se rovná hmotnosti dělené gravitačním zrychlením: F je působící síla, měřená v N (1 N uděluje zrychlení 1 m/s2 bodu s a hmotnost 1 kg, 1 N \u003d 1/9. 81 kg-s). ■ Dynamika mechanické soustavy – studuje pohyb množiny hmotných bodů a pevných těles, spojených obecnými zákony interakce, s přihlédnutím k silám, které tento pohyb způsobují. ■ Analytická mechanika - studuje pohyb nesvobodných mechanických systémů pomocí obecných analytických metod. jeden

4 snímek

Přednáška 1 (pokračování - 1.2) Diferenciální pohybové rovnice hmotného bodu: - diferenciální pohybová rovnice bodu ve vektorovém tvaru. - diferenciální rovnice pohybu bodu v souřadnicovém tvaru. Tento výsledek lze získat formální projekcí vektorové diferenciální rovnice (1). Po seskupení se vektorový vztah rozloží na tři skalární rovnice: V souřadnicovém tvaru: Použijeme vztah poloměr-vektor se souřadnicemi a vektor síly s průměty: diferenciální rovnice pohybu na přirozených (pohyblivých) souřadných osách: nebo: - přirozené pohybové rovnice bodu. ■ Základní dynamická rovnice: - odpovídá vektorovému způsobu zadání pohybu bodu. ■ Zákon nezávislosti působení sil - Zrychlení hmotného bodu působením více sil se rovná geometrickému součtu zrychlení bodu od působení každé ze sil zvlášť: nebo Platí zákon. pro jakýkoli kinematický stav těles. Síly interakce působící na různé body (těla) nejsou vyvážené. ■ Zákon rovnosti akce a reakce (Newtonův zákon III) - Každá akce odpovídá stejné a opačně zaměřené reakci: 2

5 snímek

Dva hlavní problémy dynamiky: 1. Přímý problém: Pohyb je dán (pohybové rovnice, trajektorie). Je třeba určit síly, při jejichž působení k danému pohybu dochází. 2. Inverzní úloha: Jsou dány síly, při jejichž působení k pohybu dochází. Je potřeba najít parametry pohybu (pohybové rovnice, trajektorie pohybu). Obě úlohy jsou řešeny pomocí základní rovnice dynamiky a jejího průmětu na souřadnicové osy. Uvažuje-li se pohyb nevolného bodu, pak se stejně jako ve statice využívá principu uvolnění z vazeb. V důsledku reakce se vazby zahrnou do složení sil působících na hmotný bod. Řešení prvního problému je spojeno s derivačními operacemi. Řešení inverzní úlohy vyžaduje integraci odpovídajících diferenciálních rovnic, a to je mnohem obtížnější než derivování. Inverzní problém je obtížnější než přímý problém. Řešení přímé úlohy dynamiky - podívejme se na příklady: Příklad 1. Kabina o hmotnosti G výtahu je zvedána lankem se zrychlením a . Určete napětí kabelu. 1. Vyberte objekt (výtahová kabina se pohybuje vpřed a lze ji považovat za hmotný bod). 2. Propojení (lanko) vyhodíme a nahradíme reakcí R. 3. Sestavte základní rovnici dynamiky: Určete reakci lanka: Určete napnutí lanka: Při rovnoměrném pohybu kabiny ay = 0 a napnutí lanka se rovná hmotnosti: T = G. Když se lano přetrhne T = 0 a zrychlení kabiny se rovná zrychlení volného pádu: ay = -g. 3 4. Na osu y promítneme základní rovnici dynamiky: y Příklad 2. Hmotný bod m se pohybuje po vodorovné ploše (rovina Oxy) podle rovnic: x = a coskt, y = b coskt. Určete sílu působící na bod. 1. Vyberte objekt (hmotný bod). 2. Spojení (rovinu) zahodíme a nahradíme reakcí N. 3. Do soustavy sil přidáme neznámou sílu F. 4. Sestavte základní rovnici dynamiky: 5. Promítněte základní rovnici dynamiky na x osy ,y: Určete průměty sil: Modul síly: Směr kosinus : Velikost síly je tedy úměrná vzdálenosti bodu ke středu souřadnic a směřuje ke středu podél čáry spojující bod se středem. . Trajektorie pohybu bodu je elipsa se středem v počátku: O r Přednáška 1 (pokračování - 1.3)

6 snímek

Přednáška 1 (pokračování 1.4) Příklad 3: Břemeno o hmotnosti G je zavěšeno na laně délky l a pohybuje se po kruhové dráze ve vodorovné rovině určitou rychlostí. Úhel odchylky kabelu od svislice je roven. Určete napětí lana a rychlost zatížení. 1. Vyberte objekt (náklad). 2. Spojení (lano) zlikvidujte a nahraďte reakcí R. 3. Sestavte hlavní rovnici dynamiky: Ze třetí rovnice určete reakci kabelu: Určete napětí kabelu: Dosaďte hodnotu reakce lana, do druhé rovnice normálové zrychlení a určit rychlost zatížení: 4. Promítněte hlavní rovnici dynamika nápravy, n, b: Příklad 4: Automobil o hmotnosti G se pohybuje po konvexním mostě (poloměr zakřivení je R ) s rychlostí V. Určete tlak vozu na most. 1. Vybereme objekt (auto, zanedbáme rozměry a považujeme ho za bod). 2. Spojení (hrubý povrch) zahodíme a nahradíme reakcemi N a třecí silou Ffr. 3. Složíme základní rovnici dynamiky: 4. Na osu n promítneme základní rovnici dynamiky: Odtud určíme normálovou reakci: Určíme tlak auta na most: Odtud můžeme určit rychlost. odpovídající nulovému tlaku na můstku (Q = 0): 4

7 snímek

Přednáška 2 Po dosazení nalezených hodnot konstant získáme: Při působení stejného systému sil tedy může hmotný bod vykonávat celou třídu pohybů určených počátečními podmínkami. Počáteční souřadnice berou v úvahu počáteční polohu bodu. Počáteční rychlost, daná průměty, zohledňuje vliv na její pohyb po uvažovaném úseku trajektorie sil, které na bod působily, než do tohoto úseku dorazily, tzn. počáteční kinematický stav. Řešení inverzní úlohy dynamiky - V obecném případě pohybu bodu jsou síly působící na bod veličinami, které jsou závislé na čase, souřadnicích a rychlosti. Pohyb bodu je popsán systémem tří diferenciálních rovnic druhého řádu: Po integraci každé z nich bude existovat šest konstant C1, C2,…., C6: Hodnoty konstant C1, C2,… ., C6 se nalézají ze šesti počátečních podmínek při t = 0: Příklad 1 řešení inverzní úlohy: Volný hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje působením síly F, která je konstantní co do velikosti a velikosti. . V počátečním okamžiku byla rychlost bodu v0 a shodovala se ve směru se silou. Určete pohybovou rovnici bodu. 1. Sestavíme základní rovnici dynamiky: 3. Snížíme řád derivace: 2. Zvolíme kartézský vztažný systém, směrující osu x ve směru síly a na tuto osu promítneme hlavní rovnici dynamiky: nebo x y z 4. Oddělte proměnné: 5. Vypočítejte integrály z obou částí rovnice : 6. Představme si průmět rychlosti jako časovou derivaci souřadnice: 8. Vypočítejte integrály obou částí rovnice: 7. Oddělte proměnné: 9. Pro určení hodnot konstant C1 a C2 použijeme počáteční podmínky t = 0, vx = v0 , x = x0: Výsledkem je rovnice rovnoměrně proměnného pohybu (podél osa x): 5

8 snímek

Obecné pokyny pro řešení přímých a inverzních úloh. Postup řešení: 1. Sestavení diferenciální pohybové rovnice: 1.1. Vyberte si souřadnicový systém - obdélníkový (pevný) s neznámou trajektorií pohybu, přirozený (pohybující se) se známou trajektorií, například kruh nebo přímka. V druhém případě lze použít jednu přímočarou souřadnici. Referenční bod by měl být kombinován s počáteční polohou bodu (v t = 0) nebo s rovnovážnou polohou bodu, pokud existuje, například když bod kolísá. 6 1.2. Nakreslete bod na pozici odpovídající libovolnému časovému okamžiku (pro t > 0) tak, aby souřadnice byly kladné (s > 0, x > 0). Předpokládáme také, že projekce rychlosti v této poloze je také pozitivní. V případě kmitů mění průmět rychlosti znaménko např. při návratu do rovnovážné polohy. Zde je třeba předpokládat, že v uvažovaném časovém okamžiku se bod vzdaluje od rovnovážné polohy. Implementace tohoto doporučení je důležitá do budoucna při práci s odporovými silami závislými na rychlosti. 1.3. Uvolněte hmotný bod z vazeb, nahraďte jejich působení reakcemi, přidejte činné síly. 1.4. Zapište základní zákon dynamiky ve vektorové podobě, promítněte na vybrané osy, vyjádřete dané nebo reaktivní síly v čase, souřadnicích nebo rychlostních proměnných, pokud na nich závisí. 2. Řešení diferenciálních rovnic: 2.1. Snižte derivaci, pokud rovnice není redukována na kanonickou (standardní) formu. například: nebo 2.2. Samostatné proměnné, například: nebo 2.4. Vypočítejte neurčité integrály na levé a pravé straně rovnice, například: 2.3. Pokud jsou v rovnici tři proměnné, pak proveďte změnu proměnných, například: a pak proměnné oddělte. Komentář. Místo vyhodnocování neurčitých integrálů lze vyhodnotit určité integrály s proměnnou horní hranicí. Spodní meze představují počáteční hodnoty proměnných (počáteční podmínky). Pak není potřeba samostatně hledat konstantu, která je automaticky zahrnuta do řešení, např.: Pomocí počátečních podmínek např. t = 0 , vx = vx0, určete integrační konstantu: 2.5. Vyjádřete rychlost například pomocí časové derivace souřadnice a opakujte kroky 2.2 -2.4 Poznámka. Pokud je rovnice redukována na kanonickou formu, která má standardní řešení, pak se použije toto hotové řešení. Konstanty integrace se stále nacházejí z počátečních podmínek. Viz například vibrace (přednáška 4, str. osm). Přednáška 2 (pokračování 2.2)

9 snímek

Přednáška 2 (pokračování 2.3) Příklad 2 řešení inverzní úlohy: Síla závisí na čase. Zátěž o hmotnosti P se začne pohybovat po hladké vodorovné ploše působením síly F, jejíž velikost je úměrná času (F = kt). Určete vzdálenost, kterou náklad urazí za čas t. 3. Sestavte základní rovnici dynamiky: 5. Zmenšete řád derivace: 4. Promítněte základní rovnici dynamiky na osu x: nebo 7 6. Oddělte proměnné: 7. Vypočítejte integrály obou částí rovnice. rovnice: 9. Představte průmět rychlosti jako derivaci souřadnice vzhledem k času: 10. Vypočítejte integrály obou částí rovnice: 9. Oddělte proměnné: 8. Určete hodnotu konstanty C1 z počáteční podmínka t = 0, vx = v0=0: Výsledkem je pohybová rovnice (podle osy x), která udává hodnotu ujeté vzdálenosti za čas t: 1. Zvolíme vztažnou soustavu (kartézský souřadnice), aby těleso mělo kladnou souřadnici: 2. Předmět pohybu vezmeme jako hmotný bod (těleso se pohybuje vpřed), uvolníme jej ze spojení (referenční rovina) a nahradíme reakcí (normální reakce a hladký povrch) : 11. Určete hodnotu konstanty C2 z počáteční podmínky t = 0, x = x0=0: Příklad 3 řešení inverzní úlohy: Síla závisí na souřadnici. Hmotný bod o hmotnosti m je vymrštěn směrem vzhůru z povrchu Země rychlostí v0. Gravitační síla Země je nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti od bodu k těžišti (středu Země). Určete závislost rychlosti na vzdálenosti y od středu Země. 1. Vztažnou soustavu (kartézské souřadnice) volíme tak, aby těleso mělo kladnou souřadnici: 2. Sestavíme základní rovnici dynamiky: 3. Základní rovnici dynamiky promítneme na osu y: nebo Koeficient úměrnosti může zjistíme pomocí hmotnosti bodu na povrchu Země: R Proto diferenciál vypadá takto: nebo 4. Snižte řád derivace: 5. Změňte proměnnou: 6. Oddělte proměnné: 7. Vypočítejte integrály obou stran rovnice: 8. Dosaďte limity: Výsledkem je vyjádření rychlosti v závislosti na souřadnici y: Maximální výškový let lze zjistit přirovnáním rychlosti k nule: Maximální výška letu když se jmenovatel otočí na nulu: Odtud, při nastavení poloměru Země a zrychlení volného pádu, se získá II kosmická rychlost:

10 snímek

Přednáška 2 (pokračování 2.4) Příklad 2 řešení inverzní úlohy: Síla závisí na rychlosti. Loď o hmotnosti m měla rychlost v0. Odpor vody vůči pohybu lodi je úměrný rychlosti. Určete čas, za který rychlost lodi klesne na polovinu po vypnutí motoru, a také vzdálenost, kterou loď urazí do úplného zastavení. 8 1. Vztažnou soustavu (kartézské souřadnice) zvolíme tak, aby těleso mělo kladnou souřadnici: 2. Předmět pohybu vezmeme jako hmotný bod (loď se pohybuje vpřed), zbavíme ho vazeb (vody) a nahradíme s reakcí (vztlaková síla - Archimédova síla), a také síla odporu vůči pohybu. 3. Přidejte aktivní sílu (gravitaci). 4. Sestavíme hlavní rovnici dynamiky: 5. Hlavní rovnici dynamiky promítneme na osu x: nebo 6. Snížíme řád derivace: 7. Oddělíme proměnné: 8. Z obou vypočítáme integrály. části rovnice: 9. Dosadíme limity: Získáme výraz, který vztahuje rychlost a čas t, ze kterého lze určit dobu pohybu: Doba pohybu, během které rychlost klesne na polovinu: Je zajímavé je, že když se rychlost blíží nule, doba pohybu má tendenci k nekonečnu, tzn. konečná rychlost nemůže být nulová. Proč ne "perpetum mobile"? V tomto případě je však ujetá vzdálenost do zastávky konečná hodnota. Abychom určili ujetou vzdálenost, přejdeme k výrazu získanému po snížení řádu derivace a provedeme změnu proměnné: Po integraci a dosazení limit získáme: Vzdálenost ujetá na doraz: ■ Pohyb bodu vrženého na úhlu k horizontu v rovnoměrném gravitačním poli bez zohlednění odporu vzduchu Vyloučením času z pohybových rovnic získáme rovnici trajektorie: Doba letu je určena přirovnáním souřadnice y k nule: Dosah letu je určen dosazením doba letu:

11 snímek

Přednáška 3 Přímočaré kmity hmotného bodu - K kmitavý pohyb hmotného bodu dochází za podmínky, že působí vratná síla, která má tendenci vrátit bod do rovnovážné polohy při jakékoli odchylce od této polohy. 9 Existuje vratná síla, rovnovážná poloha je stabilní Žádná vratná síla, rovnovážná poloha je nestabilní Žádná vratná síla, rovnovážná poloha je indiferentní Vždy směřuje do rovnovážné polohy, hodnota je přímo úměrná lineárnímu prodloužení (zkrácení) pružiny, rovna výchylce tělesa z rovnovážné polohy: c je součinitel tuhosti pružiny, číselně se rovná síle pod kterým pružina změní svou délku o jednu, měřeno v N/m v systému SI. x y O Druhy kmitů hmotného bodu: 1. Volné kmity (bez zohlednění odporu média). 2. Volné kmity zohledňující odpor média (tlumené kmity). 3. Nucené vibrace. 4. Nucené kmitání zohledňující odpor média. ■ Volné kmity - vznikají působením pouze vratné síly. Zapišme si základní zákon dynamiky: Zvolme souřadný systém se středem v rovnovážné poloze (bod O) a rovnici promítneme na osu x: Uveďme výslednou rovnici do standardního (kanonického) tvaru: Tato rovnice je homogenní. lineární diferenciální rovnice druhého řádu, jejíž tvar řešení je určen kořeny charakteristiky rovnice získané pomocí univerzální substituce: Kořeny charakteristické rovnice jsou pomyslné a rovné: Obecné řešení diferenciální rovnice má tvar: Bodová rychlost: Počáteční podmínky: Definujte konstanty: Rovnice volných vibrací má tedy tvar: Rovnici lze vyjádřit jednočlenným výrazem: kde a je amplituda, - počáteční fáze. Nové konstanty a a - souvisí s konstantami C1 a C2 vztahy: Definujme a a: Důvodem vzniku volných kmitů je počáteční posunutí x0 a/nebo počáteční rychlost v0.

12 snímek

10 Přednáška 3 (pokračování 3.2) Tlumené kmity hmotného bodu - K kmitavý pohyb hmotného bodu dochází za přítomnosti vratné síly a síly odporu vůči pohybu. Závislost síly odporu vůči pohybu na posuvu nebo rychlosti je dána fyzikální povahou média nebo spojení, které pohybu brání. Nejjednodušší závislost je lineární závislost na rychlosti (viskózní odpor): - viskozitní koeficient x y O z hodnot kořenů: 1. n< k – случай малого вязкого сопротивления: - корни комплексные, различные. или x = ae-nt x = -ae-nt Частота затухающих колебаний: Период: T* Декремент колебаний: ai ai+1 Логарифмический декремент колебаний: Затухание колебаний происходит очень быстро. Основное влияние силы вязкого сопротивления – уменьшение амплитуды колебаний с течением времени. 2. n >k - případ vysokého viskózního odporu: - skutečné kořeny, různé. nebo - tyto funkce jsou aperiodické: 3. n = k: - kořeny jsou reálné, násobné. tyto funkce jsou také aperiodické:

13 snímek

Přednáška 3 (pokračování 3.3) Klasifikace řešení volných kmitů. Pružinové spoje. ekvivalentní tvrdost. y y 11 Dif. Znak rovnice. Kořeny rovnice char. rovnice Řešení diferenciální rovnice Graf nk n=k

14 snímek

Přednáška 4 Vynucené kmity hmotného bodu - Spolu s vratnou silou působí periodicky se měnící síla, nazývaná rušivá síla. Rušivá síla může mít různou povahu. Například v konkrétním případě setrvačný účinek nevyvážené hmoty m1 rotujícího rotoru způsobuje harmonicky se měnící průměty sil: Hlavní rovnice dynamiky: Průmět rovnice dynamiky na osu: Uveďme rovnici do normy tvar: 12 Řešení této nehomogenní diferenciální rovnice se skládá ze dvou částí x = x1 + x2: x1 je obecné řešení příslušné homogenní rovnice a x2 je partikulární řešení nehomogenní rovnice: Partikulární řešení vybereme ve tvaru pravá strana: Výsledná rovnost musí být splněna pro libovolné t . Potom: nebo Tedy za současného působení vratných a rušivých sil koná hmotný bod složitý kmitavý pohyb, který je výsledkem sčítání (superpozice) volných (x1) a vynucených (x2) kmitů. Pokud p< k (вынужденные колебания малой частоты), то фаза колебаний совпадает с фазой возмущающей силы: В итоге полное решение: или Общее решение: Постоянные С1 и С2, или a и определяются из начальных условий с использованием полного решения (!): Таким образом, частное решение: Если p >k (vynucené kmity vysoké frekvence), pak je fáze kmitů opačná než fáze rušivé síly:

15 snímek

Přednáška 4 (pokračování 4.2) 13 Dynamický koeficient - poměr amplitudy vynucených kmitů ke statické výchylce bodu působením konstantní síly H = konst: Amplituda vynucených kmitů: Statická výchylka lze zjistit z rovnice rovnováhy: Zde: Odtud: Tedy na str< k (малая частота вынужденных колебаний) коэффициент динамичности: При p >k (vysoká frekvence vynucených kmitů) dynamický koeficient: Rezonance - nastává, když se frekvence vynucených kmitů shoduje s frekvencí vlastních kmitů (p = k). Nejčastěji k tomu dochází při spouštění a zastavování rotace špatně vyvážených rotorů uložených na elastických závěsech. Diferenciální rovnice kmitů se stejnými frekvencemi: Konkrétní řešení ve tvaru pravé strany nelze vzít, protože dostaneme lineárně závislé řešení (viz obecné řešení). Obecné řešení: Dosaďte v diferenciální rovnici: Vezměme konkrétní řešení ve tvaru a vypočítejme derivace: Tak dostaneme řešení: nebo Vynucené kmity při rezonanci mají amplitudu, která se úměrně času neomezeně zvětšuje. Vliv odporu na pohyb při vynucených vibracích. Diferenciální rovnice za přítomnosti viskózního odporu má tvar: Obecné řešení se vybere z tabulky (Přednáška 3, str. 11) v závislosti na poměru n a k (viz). Vezmeme konkrétní řešení ve tvaru a vypočítáme derivace: Dosadíme v diferenciální rovnici: Vyrovnáním koeficientů pro shodné goniometrické funkce získáme soustavu rovnic: Umocněním obou rovnic a jejich sečtením získáme amplitudu vynucené kmity: Vydělením druhé rovnice první získáme fázový posun nucených kmitů: Pohybová rovnice pro vynucené kmitání se zohledněním odporu proti pohybu, např. pro n< k (малое сопротивление): Вынужденные колебания при сопротивлении движению не затухают. Частота и период вынужденных колебаний равны частоте и периоду изменения возмущающей силы. Коэффициент динамичности при резонансе имеет конечную величину и зависит от соотношения n и к.

16 snímek

Přednáška 5 Relativní pohyb hmotného bodu - Předpokládejme, že pohyblivý (neinerciální) souřadný systém Oxyz se pohybuje podle nějakého zákona vůči pevnému (inerciálnímu) souřadnému systému O1x1y1z1. Pohyb hmotného bodu M (x, y, z) vzhledem k pohyblivé soustavě Oxyz je relativní, vzhledem k nehybné soustavě O1x1y1z1 absolutní. Pohyb mobilního systému Oxyz vzhledem k pevnému systému O1x1y1z1 je přenosný pohyb. 14 z x1 y1 z1 O1 x y M x y z O Základní rovnice dynamiky: Absolutní zrychlení bodu: Do hlavní rovnice dynamiky dosadíme absolutní zrychlení bodu: Přeneseme členy s translačním a Coriolisovým zrychlením na pravou stranu: přenesené členy mají rozměr sil a jsou uvažovány jako odpovídající setrvačné síly, rovné: Pak lze relativní pohyb bodu považovat za absolutní, pokud k působícím silám přičteme translační a Coriolisovy síly setrvačné: V průmětech na osy pohyblivého souřadnicového systému máme: rotace je rovnoměrná, pak εe = 0: 2. Translační křivočarý pohyb: Je-li pohyb přímočarý, pak = : Pokud je pohyb přímočarý a rovnoměrný, pak je pohybující se soustava setrvačná a relativní pohyb lze považovat za absolutní: Žádné mechanické jevy nemohou detekovat přímočarou uniformu pohyb (princip relativity klasické mechaniky). Vliv rotace Země na rovnováhu těles - Předpokládejme, že těleso je na zemském povrchu v rovnováze na libovolné zeměpisné šířce φ (rovnoběžky). Země se otáčí kolem své osy ze západu na východ úhlovou rychlostí: Poloměr Země je asi 6370 km. SR je celková reakce nehladkého povrchu. G - síla přitažlivosti Země ke středu. Ф - odstředivá síla setrvačnosti. Podmínka relativní rovnováhy: Výslednicí sil přitažlivosti a setrvačnosti je tíhová síla (váha): Velikost tíhové síly (váhy) na povrch Země je P = mg. Odstředivá síla setrvačnosti je malým zlomkem gravitační síly: Odchylka gravitační síly od směru přitažlivé síly je také malá: Vliv rotace Země na rovnováhu těles je tedy extrémně malý. a není zohledněn v praktických výpočtech. Maximální hodnota setrvačné síly (při φ = 0 - na rovníku) je pouze 0,00343 hodnoty gravitace

17 snímek

Přednáška 5 (pokračování 5.2) 15 Vliv rotace Země na pohyb těles v gravitačním poli Země - Předpokládejme, že těleso padá na Zemi z určité výšky H nad povrchem Země v zeměpisné šířce φ . Zvolme pohyblivou vztažnou soustavu, pevně spojenou se Zemí, směřující osy x, y tečně k rovnoběžce a k poledníku: Rovnice relativního pohybu: Zde je maličkost odstředivé síly setrvačnosti ve srovnání s gravitační silou. vzít v úvahu. Gravitační síla je tedy ztotožněna s gravitační silou. Navíc předpokládáme, že gravitace je nasměrována kolmo k zemskému povrchu kvůli malosti jejího vychýlení, jak bylo diskutováno výše. Coriolisovo zrychlení se rovná a směřuje rovnoběžně s osou y na západ. Coriolisova setrvačná síla směřuje opačným směrem. Rovnici relativního pohybu promítneme na osu: Řešení první rovnice dává: Počáteční podmínky: Řešení třetí rovnice dává: Počáteční podmínky: Třetí rovnice má tvar: Počáteční podmínky: Její řešení dává: Výsledné řešení ukazuje, že se těleso při pádu odchýlí na východ. Vypočítejme si hodnotu této odchylky např. při pádu z výšky 100 m. Dobu pádu zjistíme z řešení druhé rovnice: Vliv rotace Země na pohyb těles je tedy extrémně malý. pro praktické výšky a rychlosti a není zohledněn v technických výpočtech. Řešení druhé rovnice také implikuje existenci rychlosti podél osy y, která by také měla způsobit a způsobit odpovídající zrychlení a Coriolisovu setrvačnou sílu. Vliv této rychlosti a s ní spojené setrvačné síly na změnu pohybu bude ještě menší než uvažovaná Coriolisova setrvačná síla spojená s vertikální rychlostí.

18 snímek

Přednáška 6. Dynamika mechanické soustavy. Systém hmotných bodů nebo mechanický systém - Soubor hmotných bodů nebo těch hmotných bodů spojených obecnými zákony interakce (poloha nebo pohyb každého z bodů nebo tělesa závisí na poloze a pohybu všech ostatních). systém volných bodů - jehož pohyb není omezen žádnými spoji (např. planetární systém , ve kterém jsou planety považovány za hmotné body). Systém nesvobodných bodů nebo nesvobodný mechanický systém - pohyb hmotných bodů nebo těles je omezen omezeními kladenými na systém (například mechanismus, stroj atd.). 16 Síly působící na systém. Kromě dříve existující klasifikace sil (činné a reaktivní síly) se zavádí nová klasifikace sil: 1. Vnější síly (e) - působící na body a tělesa soustavy z bodů nebo těles, která nejsou její součástí. Systém. 2. Vnitřní síly (i) - síly interakce mezi hmotnými body nebo tělesy zahrnutými v daném systému. Stejnou silou může být vnější i vnitřní síla. Vše závisí na tom, který mechanický systém je uvažován. Například: V systému Slunce, Země a Měsíce jsou všechny gravitační síly mezi nimi vnitřní. Při uvažování soustavy Země a Měsíce jsou gravitační síly působící ze strany Slunce vnější: C Z L Na základě zákona akce a reakce každá vnitřní síla Fk odpovídá jiné vnitřní síle Fk', stejné v absolutní hodnotě a opačné v směr. Z toho plynou dvě pozoruhodné vlastnosti vnitřních sil: Hlavní vektor všech vnitřních sil soustavy je roven nule: Hlavní moment všech vnitřních sil soustavy vůči libovolnému středu je roven nule: Nebo v průmětech na souřadnici Obr. osy: Pozn. Ačkoli jsou tyto rovnice podobné rovnicím rovnováhy, nejsou, protože vnitřní síly působí na různé body nebo tělesa systému a mohou způsobit, že se tyto body (těla) vzájemně pohybují. Z těchto rovnic vyplývá, že vnitřní síly neovlivňují pohyb systému uvažovaného jako celku. Těžiště soustavy hmotných bodů. Pro popis pohybu soustavy jako celku se zavádí geometrický bod zvaný těžiště, jehož poloměrový vektor je určen výrazem, kde M je hmotnost celého systému: Nebo v průmětech na souřadnici osy: Vzorce pro těžiště jsou podobné jako pro těžiště. Pojem těžiště je však obecnější, protože nesouvisí s gravitačními silami nebo gravitačními silami.

19 snímek

Přednáška 6 (pokračování 6.2) 17 Věta o pohybu těžiště soustavy - Uvažujme soustavu n hmotných bodů. Síly působící na každý bod rozdělíme na vnější a vnitřní a nahradíme je odpovídajícími výslednicemi Fke a Fki. Zapišme si pro každý bod základní rovnici dynamiky: nebo Sečtěme tyto rovnice přes všechny body: Na levé straně rovnice zavedeme hmotnosti pod znaménko derivace a součet derivací nahradíme derivací. ze součtu: Z definice těžiště: Do výsledné rovnice dosadíme: dostaneme nebo: Součin hmotnosti soustavy a zrychlení jejího těžiště je roven hlavnímu vektoru vnějších sil. V průmětech na souřadnicové osy: Těžiště soustavy se pohybuje jako hmotný bod s hmotností rovnou hmotě celého systému, na kterou působí všechny vnější síly působící na soustavu. Důsledky z věty o pohybu těžiště soustavy (zákony zachování): 1. Je-li v časovém intervalu hlavní vektor vnějších sil soustavy roven nule, Re = 0, pak rychlost těžiště je konstantní, vC = konst (těžiště se pohybuje rovnoměrně přímočaře - zákon zachování pohybu těžiště). 2. Pokud je v časovém intervalu průmět hlavního vektoru vnějších sil soustavy na osu x roven nule, Rxe = 0, pak je rychlost těžiště podél osy x konstantní, vCx = const (těžiště se pohybuje rovnoměrně podél osy). Podobná tvrzení platí pro osy yaz. Příklad: Dva lidé o hmotnosti m1 a m2 jsou na lodi o hmotnosti m3. V počáteční chvíli byla loď s lidmi v klidu. Určete výtlak člunu, pokud se osoba o hmotnosti m2 přesunula na příď člunu ve vzdálenosti a. 3. Pokud je v časovém intervalu hlavní vektor vnějších sil soustavy roven nule, Re = 0, a v počátečním okamžiku je rychlost těžiště nulová, vC = 0, pak je vektor poloměru těžiště zůstává konstantní, rC = konst (těžiště je v klidu je zákon zachování polohy těžiště). 4. Je-li v časovém intervalu průmět hlavního vektoru vnějších sil soustavy na osu x roven nule, Rxe = 0 a v počátečním okamžiku je rychlost těžiště podél této osy nulová. , vCx = 0, pak souřadnice těžiště podél osy x zůstane konstantní, xC = const (těžiště se po této ose nepohybuje). Podobná tvrzení platí pro osy yaz. 1. Předmět pohybu (loď s lidmi): 2. Zahodíme souvislosti (voda): 3. Spojení nahradíme reakcí: 4. Sečtěte aktivní síly: 5. Zapište větu o těžišti: Promítněte na osu x: O Určete, jak daleko se potřebujete přesunout k osobě o hmotnosti m1, aby loď zůstala na místě: Loď se posune o vzdálenost l opačným směrem.

20 snímek

Přednáška 7 Impuls síly je mírou mechanické interakce, která charakterizuje přenos mechanického pohybu ze sil působících na bod za daný časový úsek: 18 V průmětech na souřadnicové osy: V případě konstantní síly: V průmětech na souřadnicové osy: k bodu sil ve stejném časovém intervalu: Násobit dt: Integrovat za daný časový interval: Velikost pohybu bodu je mírou mechanického pohybu, určenou vektorem rovným součinu hmotnost bodu a jeho vektor rychlosti: Věta o změně velikosti pohybu soustavy – Uvažujme soustavu n hmotných bodů. Síly působící na každý bod rozdělíme na vnější a vnitřní a nahradíme je odpovídajícími výslednicemi Fke a Fki. Napišme pro každý bod základní rovnici dynamiky: nebo Veličina pohybu soustavy hmotných bodů - geometrický součet veličin pohybu hmotných bodů: Podle definice těžiště: Vektor hybnosti soustavy Obr. se rovná součinu hmotnosti celého systému a vektoru rychlosti těžiště systému. Potom: V průmětech na souřadnicové osy: Časová derivace vektoru hybnosti soustavy je rovna hlavnímu vektoru vnějších sil soustavy. Sečteme tyto rovnice přes všechny body: Na levé straně rovnice zavedeme hmotnosti pod znaménko derivace a nahradíme součet derivací derivací součtu: Z definice hybnosti soustavy: V průmětech na souřadnicové osy:

21 snímek

Eulerova věta - Aplikace věty o změně hybnosti systému na pohyb spojitého prostředí (vody). 1. Jako objekt pohybu vybereme objem vody nacházející se v křivočarém kanálu turbíny: 2. Zahodíme spoje a nahradíme jejich působení reakcemi (Rpov - výslednice povrchových sil) 3. Přidáme aktivní síly (Rb - výslednice tělesných sil): 4. Zapište větu o změně hybnosti soustavy: Velikost pohybu vody v časech t0 a t1 budeme reprezentovat součty: Změna hybnosti vody v časovém intervalu : Změna hybnosti vody za nekonečně malý časový interval dt: , kde F1 F2 Vezmeme-li součin hustoty, plochy průřezu a rychlosti za sekundovou hmotnost, dostaneme: Dosazením diferenciálu hybnosti soustavy do věty o změně , získáme: Důsledky z věty o změně hybnosti soustavy (zákony zachování): 1. Je-li v časovém intervalu hlavní vektor vnějších sil soustavy roven nule, Re = 0, pak veličina pohyb vektoru je konstantní, Q = const je zákon zachování hybnosti soustavy). 2. Je-li v časovém intervalu průmět hlavního vektoru vnějších sil soustavy na osu x roven nule, Rxe = 0, pak je průmět hybnosti soustavy na ose x konstantní, Qx = konst. Podobná tvrzení platí pro osy yaz. Přednáška 7 (pokračování 7.2) Příklad: Granát o hmotnosti M letící rychlostí v se rozbil na dvě části. Rychlost jednoho z úlomků o hmotnosti m1 vzrostla ve směru pohybu na hodnotu v1. Určete rychlost druhého fragmentu. 1. Předmět pohybu (granát): 2. Předmět je volný systém, neexistují žádné souvislosti a jejich reakce. 3. Sečtěte aktivní síly: 4. Napište větu o změně hybnosti: Promítněte na osu: β Oddělte proměnné a integrujte: doba výbuchu t

22 snímek

Přednáška 7 (pokračování 7.3) 20 Moment hybnosti bodu nebo kinetický moment pohybu vzhledem k určitému středu je mírou mechanického pohybu, určenou vektorem rovným vektorovému součinu vektoru poloměru hmotného bodu a vektor jeho hybnosti: Kinetický moment soustavy hmotných bodů vůči určitému středu je geometrický součet momentů počtu pohybů všech hmotných bodů vůči stejnému středu: V průmětech na osu: V průmětech na Obr. osa: Věta o změně momentu hybnosti soustavy - Uvažujme soustavu n hmotných bodů. Síly působící na každý bod rozdělíme na vnější a vnitřní a nahradíme je odpovídajícími výslednicemi Fke a Fki. Zapišme si pro každý bod základní rovnici dynamiky: nebo Sečtěme tyto rovnice pro všechny body: Nahraďme součet derivací derivací součtu: Výraz v závorce je moment hybnosti soustavy. Odtud: Každou z rovností vektorově vynásobíme poloměrovým vektorem vlevo: Podívejme se, zda je možné vzít znaménko derivace mimo vektorový součin: Tak jsme dostali: střed. V průmětech na souřadnicové osy: Derivace momentu hybnosti systému vzhledem k nějaké ose v čase je rovna hlavnímu momentu vnějších sil systému vzhledem ke stejné ose.

23 snímek

Přednáška 8 21 ■ Důsledky z věty o změně momentu hybnosti soustavy (zákony zachování): 1. Je-li v časovém intervalu vektor hlavního momentu vnějších sil soustavy vůči určitému středu roven na nulu, MOe = 0, pak je vektor momentu hybnosti soustavy vůči stejnému středu konstantní, KO = const je zákon zachování hybnosti soustavy). 2. Je-li v časovém intervalu hlavní moment vnějších sil soustavy vůči ose x roven nule, Mxe = 0, pak je moment hybnosti soustavy vůči ose x konstantní, Kx = konst. Podobná tvrzení platí pro osy yaz. 2. Moment setrvačnosti tuhého tělesa kolem osy: Moment setrvačnosti hmotného bodu kolem osy je roven součinu hmotnosti bodu a druhé mocniny vzdálenosti bodu k ose. Moment setrvačnosti tuhého tělesa kolem osy je roven součtu součinů hmotnosti každého bodu a druhé mocniny vzdálenosti tohoto bodu od osy. ■ Prvky teorie momentů setrvačnosti - Při rotačním pohybu tuhého tělesa je mírou setrvačnosti (odpor vůči změně pohybu) moment setrvačnosti kolem osy rotace. Zvažte základní pojmy definice a metody pro výpočet momentů setrvačnosti. 1. Moment setrvačnosti hmotného bodu kolem osy: Při přechodu z diskrétní malé hmotnosti do nekonečně malé hmotnosti bodu je limita takového součtu určena integrálem: osovým momentem setrvačnosti tuhého tělesa. . Kromě osového momentu setrvačnosti tuhého tělesa existují další druhy momentů setrvačnosti: odstředivý moment setrvačnosti tuhého tělesa. polární moment setrvačnosti tuhého tělesa. 3. Věta o momentech setrvačnosti tuhého tělesa k rovnoběžným osám - vzorec pro přechod na rovnoběžné osy: Moment setrvačnosti k referenční ose Statické momenty setrvačnosti k referenčním osám Hmotnost tělesa Vzdálenost mezi osami z1 a z2 Tedy : momenty jsou nula:

24 snímek

Přednáška 8 (pokračování 8.2) 22 Moment setrvačnosti rovnoměrné tyče konstantního průřezu kolem osy: x z L Vyberte elementární objem dV = Adx ve vzdálenosti x: x dx Elementární hmotnost: Pro výpočet momentu setrvačnosti kolem centrální osy (průchod těžištěm), stačí změnit umístění osy a nastavit integrační meze (-L/2, L/2). Zde demonstrujeme vzorec pro přechod k rovnoběžným osám: zС 5. Moment setrvačnosti homogenního pevného válce kolem osy symetrie: H dr r Vyčleňme elementární objem dV = 2πrdrH (tenký válec o poloměru r) : Elementární hmotnost: Zde použijeme objemový vzorec válce V=πR2H. Pro výpočet momentu setrvačnosti dutého (tlustého) válce stačí nastavit integrační meze od R1 do R2 (R2> R1): 6. Moment setrvačnosti tenkého válce kolem osy symetrie (t

25 snímek

Přednáška 8 (pokračování 8.3) 23 ■ Diferenciální rovnice rotace tuhého tělesa kolem osy: Napišme větu o změně momentu hybnosti tuhého tělesa rotujícího kolem pevné osy: Hybnost rotujícího tuhého tělesa je: Moment vnějších sil kolem osy rotace se rovná kroutícímu momentu (reakcemi a silou nevznikají gravitační momenty): Do věty dosadíme kinetický moment a kroutící moment Příklad: Dva lidé stejné hmotnosti G1 = G2 visí na hozeném laně přes pevný blok o hmotnosti G3 = G1/4. V určitém okamžiku jeden z nich začal šplhat po laně relativní rychlostí u. Určete rychlost zvedání každé osoby. 1. Vyberte objekt pohybu (blok s lidmi): 2. Vyřaďte spojení (nosné zařízení bloku): 3. Nahraďte spojení s reakcemi (ložisko): 4. Přidejte aktivní síly (gravitaci): 5. Zapište věta o změně kinetického momentu soustavy vzhledem k ose rotace bloku: R Protože moment vnějších sil je roven nule, kinetický moment musí zůstat konstantní: V počátečním okamžiku času t = 0 byl rovnovážný a Kz0 = 0. Po začátku pohybu jedné osoby vůči lanu se celý systém začal pohybovat, ale kinetický moment systému musí zůstat roven nule: Kz = 0. Moment hybnosti lana soustava je součtem momentů hybnosti lidí a bloku: Zde v2 je rychlost druhé osoby, rovna rychlosti kabelu, Příklad: Určete periodu malých volných kmitů homogenní tyče o hmotnosti M a Obr. délka l, zavěšený jedním koncem k pevné ose otáčení. Nebo: V případě malých kmitů sinφ φ: Perioda kmitání: Moment setrvačnosti tyče:

26 snímek

Přednáška 8 (pokračování 8.4 - doplňkový materiál) 24 ■ Elementární teorie gyroskopu: Gyroskop je tuhé těleso rotující kolem osy symetrie materiálu, jehož jeden z bodů je pevný. Volný gyroskop je upevněn tak, že jeho těžiště zůstává nehybné a osa rotace prochází těžištěm a může zaujímat libovolnou polohu v prostoru, tzn. osa rotace mění svou polohu jako osa rotace vlastního těla při kulovém pohybu. Hlavním předpokladem přibližné (elementární) teorie gyroskopu je, že vektor hybnosti (kinetický moment) rotoru je považován za směrovaný podél vlastní osy otáčení. Přestože se tedy v obecném případě rotor účastní tří otáček, bere se v úvahu pouze úhlová rychlost jeho vlastního otáčení ω = dφ/dt. Důvodem je to, že v moderní technologii se rotor gyroskopu otáčí úhlovou rychlostí řádově 5000-8000 rad/s (asi 50000-80000 ot./min), zatímco další dvě úhlové rychlosti spojené s precesí a nutací vlastní osy rotace desetitisíckrát menší než tato rychlost. Hlavní vlastností volného gyroskopu je, že osa rotoru zachovává stejný směr v prostoru vzhledem k inerciální (hvězdné) vztažné soustavě (demonstrováno Foucaultovým kyvadlem, které udržuje kyvnou rovinu nezměněnou vzhledem ke hvězdám, 1852). Vyplývá to ze zákona zachování kinetického momentu vzhledem k těžišti rotoru za předpokladu, že se zanedbá tření v ložiskách os zavěšení rotoru, vnějšího a vnitřního rámu: Působení síly na osu vol. gyroskop. V případě síly působící na osu rotoru není moment vnějších sil vůči těžišti roven nule: ω ω С síla, a směrem k vektoru momentu této síly, tzn. se nebude otáčet kolem osy x (vnitřní zavěšení), ale kolem osy y (vnější zavěšení). Po ukončení působení síly zůstane osa rotoru ve stejné poloze, odpovídající poslední době působení síly, protože od tohoto okamžiku se moment vnějších sil opět rovná nule. V případě krátkodobého působení síly (nárazu) osa gyroskopu prakticky nemění svoji polohu. Rychlé otáčení rotoru tedy dává gyroskopu schopnost čelit náhodným vlivům, které se snaží změnit polohu osy otáčení rotoru, a při konstantním působení síly udržuje polohu roviny kolmé k působící síla, ve které leží osa rotoru. Tyto vlastnosti se využívají při provozu inerciálních navigačních systémů.

Teoretická mechanika- Jedná se o obor mechaniky, který stanoví základní zákony mechanického pohybu a mechanické interakce hmotných těles.

Teoretická mechanika je věda, ve které se studují pohyby těles v čase (mechanické pohyby). Slouží jako základ pro další sekce mechaniky (teorie pružnosti, odporu materiálů, teorie plasticity, teorie mechanismů a strojů, hydroaerodynamika) a mnoho technických disciplín.

mechanický pohyb- to je změna v čase v relativní poloze v prostoru hmotných těles.

Mechanická interakce- jde o takovou interakci, v jejímž důsledku se mění mechanický pohyb nebo se mění vzájemná poloha částí těla.

Tuhá statika karoserie

Statika- Jedná se o obor teoretické mechaniky, který se zabývá problematikou rovnováhy pevných těles a přeměnou jednoho systému sil na jiný, jemu ekvivalentní.

Základní pojmy a zákony statiky
• Absolutně tuhé tělo(pevné těleso, těleso) je hmotné těleso, vzdálenost mezi libovolnými body se nemění.
• Materiální bod je těleso, jehož rozměry lze podle podmínek problému zanedbat.
• uvolněné tělo je těleso, na jehož pohyb nejsou uvalena žádná omezení.
• Nesvobodné (svázané) tělo je těleso, jehož pohyb je omezen.
• Spojení- jedná se o tělesa, která brání pohybu uvažovaného předmětu (tělesa nebo soustavy těles).
• Komunikační reakce je síla, která charakterizuje působení vazby na tuhé těleso. Uvažujeme-li sílu, kterou tuhé těleso působí na vazbu, za akci, pak je reakce vazby protipůsobením. V tomto případě je síla - akce aplikována na spojení a reakce spojení je aplikována na pevné těleso.
• mechanický systém je soubor vzájemně propojených těles nebo hmotných bodů.
• Pevný lze považovat za mechanický systém, jehož polohy a vzdálenost mezi body se nemění.
• Síla je vektorová veličina charakterizující mechanické působení jednoho hmotného tělesa na druhé.
  Síla jako vektor je charakterizována bodem působení, směrem působení a absolutní hodnotou. Jednotkou měření modulu síly je Newton.
• siločára je přímka, podél které je směrován vektor síly.
• Koncentrovaná síla je síla působící v jednom bodě.
• Rozložené síly (rozložené zatížení)- jedná se o síly působící na všechny body objemu, povrchu nebo délky tělesa.
  Rozložené zatížení je dáno silou působící na jednotku objemu (povrch, délka).
  Rozměr rozloženého zatížení je N / m 3 (N / m 2, N / m).
• Vnější síla je síla působící od tělesa, která nepatří do uvažovaného mechanického systému.
• vnitřní síla je síla působící na hmotný bod mechanické soustavy z jiného hmotného bodu příslušejícího uvažované soustavě.
• Silový systém je souhrn sil působících na mechanický systém.
• Plochý systém sil je soustava sil, jejichž akční linie leží ve stejné rovině.
• Prostorový systém sil je soustava sil, jejichž čáry působení neleží ve stejné rovině.
• Systém konvergujících sil je soustava sil, jejichž čáry působení se protínají v jednom bodě.
• Svévolný systém sil je soustava sil, jejichž čáry působení se neprotínají v jednom bodě.
• Ekvivalentní soustavy sil- jedná se o soustavy sil, jejichž výměna jedna za druhou nemění mechanický stav těla.
  Přijaté označení: .
• Rovnováha Stav, kdy těleso působením sil zůstává nehybné nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře.
• Vyvážený systém sil- jedná se o soustavu sil, které při působení na volné pevné těleso nemění jeho mechanický stav (nevyvážejí jej).
  .
• výsledná síla je síla, jejíž působení na těleso je ekvivalentní působení soustavy sil.
  .
• Moment síly je hodnota, která charakterizuje rotační schopnost síly.
• Mocenský pár je systém dvou rovnoběžných stejných v absolutní hodnotě opačně směrovaných sil.
  Přijaté označení: .
  Působením několika sil bude tělo vykonávat rotační pohyb.
• Projekce síly na ose- jedná se o segment uzavřený mezi kolmicemi vedenými od začátku a konce vektoru síly k této ose.
  Projekce je kladná, pokud se směr segmentu shoduje s kladným směrem osy.
• Projekce síly na letadlo je vektor v rovině uzavřené mezi kolmicemi vedenými od začátku a konce vektoru síly k této rovině.
• Zákon 1 (zákon setrvačnosti). Izolovaný hmotný bod je v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně a přímočarě.
  Rovnoměrný a přímočarý pohyb hmotného bodu je pohyb setrvačností. Rovnovážný stav hmotného bodu a tuhého tělesa je chápán nejen jako klidový stav, ale i jako pohyb setrvačností. U tuhého tělesa existují různé druhy setrvačného pohybu, například rovnoměrné otáčení tuhého tělesa kolem pevné osy.
• Zákon 2. Tuhé těleso je v rovnováze působením dvou sil pouze tehdy, jsou-li tyto síly stejně velké a směrované v opačných směrech podél společné akční linie.
  Tyto dvě síly se nazývají vyvážené.
  Obecně se říká, že síly jsou vyvážené, pokud je tuhé těleso, na které tyto síly působí, v klidu.
• Zákon 3. Aniž by došlo k porušení stavu (slovo „stav“ zde znamená stav pohybu nebo klidu) tuhého tělesa, lze přidávat a ubírat vyvažovací síly.
  Následek. Aniž by došlo k narušení stavu tuhého tělesa, síla může být přenášena podél jeho působiště do kteréhokoli bodu tělesa.
  Dva systémy sil se nazývají ekvivalentní, pokud jeden z nich může být nahrazen jiným, aniž by se narušil stav tuhého tělesa.
• Zákon 4. Výslednice dvou sil působících v jednom bodě působí ve stejném bodě, v absolutní hodnotě se rovná úhlopříčce rovnoběžníku postaveného na těchto silách a směřuje podél něj.
  úhlopříčky.
  Modul výslednice je:
  
• Zákon 5 (zákon o rovnosti akce a reakce). Síly, kterými na sebe dvě tělesa působí, jsou stejně velké a směřují v opačných směrech podél jedné přímky.
  To je třeba mít na paměti akce- síla působící na tělo B, a opozice- síla působící na tělo ALE, nejsou vyvážené, protože jsou připojeny k různým tělům.
• Zákon 6 (zákon otužování). Rovnováha nepevného tělesa není při tuhnutí narušena.
  Nemělo by se zapomínat, že rovnovážné podmínky, které jsou nutné a dostatečné pro tuhé těleso, jsou nutné, ale nedostatečné pro odpovídající netuhé těleso.
• Zákon 7 (zákon o uvolnění z dluhopisů). Nesvobodné pevné těleso lze považovat za volné, je-li duševně osvobozeno od vazeb, přičemž působení vazeb nahrazuje odpovídající reakce vazeb.

Spojení a jejich reakce
• Hladký povrch omezuje pohyb podél normály k opěrnému povrchu. Reakce je vedena kolmo k povrchu.
• Kloubová pohyblivá podpěra omezuje pohyb tělesa podél normály k referenční rovině. Reakce je vedena podél normály k nosnému povrchu.
• Kloubová pevná podpěra působí proti jakémukoli pohybu v rovině kolmé k ose otáčení.
• Kloubová beztížná tyč působí proti pohybu těla podél linie tyče. Reakce bude směřovat podél linie tyče.
• Slepé ukončení působí proti jakémukoli pohybu a rotaci v rovině. Jeho působení může být nahrazeno silou prezentovanou ve formě dvou složek a dvojice sil s momentem.

Kinematika

Kinematika- oddíl teoretické mechaniky, který uvažuje o obecných geometrických vlastnostech mechanického pohybu, jako procesu probíhajícího v prostoru a čase. Pohybující se objekty jsou považovány za geometrické body nebo geometrická tělesa.

Základní pojmy kinematiky
• Zákon pohybu bodu (tělesa) je závislost polohy bodu (tělesa) v prostoru na čase.
• Bodová trajektorie je místo poloh bodu v prostoru během jeho pohybu.
• Bodová (tělesná) rychlost- jde o charakteristiku časové změny polohy bodu (tělesa) v prostoru.
• Bodové (tělesné) zrychlení- jde o charakteristiku časové změny rychlosti bodu (tělesa).

Určení kinematických charakteristik bodu
• Bodová trajektorie
  Ve vektorovém referenčním systému je trajektorie popsána výrazem: .
  V souřadnicovém vztažném systému je dráha určena podle zákona o pohybu bodu a je popsána výrazy z = f(x,y) ve vesmíru, popř y = f(x)- v letadle.
  V přirozeném referenčním systému je trajektorie předem určena.
• Určení rychlosti bodu ve vektorovém souřadnicovém systému
  Při zadávání pohybu bodu ve vektorovém souřadnicovém systému se poměr pohybu k časovému intervalu nazývá průměrná hodnota rychlosti v tomto časovém intervalu: .
  Vezmeme-li časový interval jako nekonečně malou hodnotu, získáme hodnotu rychlosti v daném čase (okamžitá hodnota rychlosti): .
  Vektor průměrné rychlosti směřuje podél vektoru ve směru pohybu bodu, vektor okamžité rychlosti směřuje tečně k trajektorii ve směru pohybu bodu.
  Závěr: rychlost bodu je vektorová veličina rovna derivaci pohybového zákona s ohledem na čas.
  odvozená vlastnost: časová derivace libovolné hodnoty určuje rychlost změny této hodnoty.
• Určení rychlosti bodu v souřadnicovém referenčním systému
  Rychlost změny souřadnic bodů:
  .
  Modul plné rychlosti bodu s pravoúhlým souřadným systémem se bude rovnat:
  .
  Směr vektoru rychlosti je určen kosiny úhlů řízení:
  ,
  kde jsou úhly mezi vektorem rychlosti a souřadnicovými osami.
• Určení rychlosti bodu v přirozené vztažné soustavě
  Rychlost bodu v přirozené vztažné soustavě je definována jako derivace zákona o pohybu bodu: .
  Podle předchozích závěrů vektor rychlosti směřuje tečně k trajektorii ve směru pohybu bodu a v osách je určen pouze jedním průmětem .

Kinematika tuhého těla
• V kinematice tuhých těles se řeší dva hlavní problémy:
  1) úkol pohybu a stanovení kinematických charakteristik těla jako celku;
  2) určení kinematických charakteristik bodů tělesa.
• Translační pohyb tuhého tělesa
  Translační pohyb je pohyb, při kterém přímka vedená dvěma body těla zůstává rovnoběžná s jeho původní polohou.
  Teorém: při translačním pohybu se všechny body tělesa pohybují po stejných trajektoriích a v každém časovém okamžiku mají stejnou rychlost a zrychlení v absolutní hodnotě a směru.
  Závěr: translační pohyb tuhého tělesa je určen pohybem kteréhokoli z jeho bodů, a proto se úkol a studium jeho pohybu redukuje na kinematiku bodu.
• Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy
  Rotační pohyb tuhého tělesa kolem pevné osy je pohyb tuhého tělesa, při kterém dva body patřící tělesu zůstávají po celou dobu pohybu nehybné.
  Poloha těla je určena úhlem natočení. Jednotkou měření úhlu jsou radiány. (Radián je středový úhel kružnice, jejíž délka oblouku je rovna poloměru, plný úhel kružnice obsahuje 2π radián.)
  Zákon o rotačním pohybu tělesa kolem pevné osy.
  Úhlová rychlost a úhlové zrychlení tělesa budou určeny metodou diferenciace:
  — úhlová rychlost, rad/s;
  — úhlové zrychlení, rad/s².
  Řežeme-li těleso o rovinu kolmou k ose, zvolíme bod na ose rotace Z a libovolný bod M, pak bod M bude popisovat kolem bodu Z poloměr kružnice R. Během dt tam je elementární rotace přes úhel , zatímco bod M se bude pohybovat po trajektorii na určitou vzdálenost .
  Modul lineární rychlosti:
  .
  bodové zrychlení M se známou trajektorií je určena jejími složkami:
  ,
  kde .
  V důsledku toho dostáváme vzorce
  tangenciální zrychlení: ;
  normální zrychlení: .

Dynamika

Dynamika- Jedná se o obor teoretické mechaniky, který studuje mechanické pohyby hmotných těles v závislosti na příčinách, které je způsobují.

Základní pojmy dynamiky
• setrvačnost- jde o vlastnost hmotných těles udržovat klidový nebo rovnoměrný přímočarý pohyb, dokud vnější síly tento stav nezmění.
• Hmotnost je kvantitativní míra setrvačnosti tělesa. Jednotkou hmotnosti je kilogram (kg).
• Materiální bod je těleso o hmotnosti, jejíž rozměry jsou při řešení tohoto problému zanedbávány.
• Těžiště mechanické soustavy je geometrický bod, jehož souřadnice jsou určeny vzorcem:
  
  kde m k, x k, y k, z k- hmotnost a souřadnice k- ten bod mechanického systému, m je hmotnost systému.
  V rovnoměrném těžišti se poloha těžiště shoduje s polohou těžiště.
• Moment setrvačnosti hmotného tělesa kolem osy je kvantitativní míra setrvačnosti během rotačního pohybu.
  Moment setrvačnosti hmotného bodu kolem osy je roven součinu hmotnosti bodu a druhé mocniny vzdálenosti bodu od osy:
  .
  Moment setrvačnosti soustavy (tělesa) kolem osy je roven aritmetickému součtu momentů setrvačnosti všech bodů:
  
• Setrvačná síla hmotného bodu je vektorová veličina, která se v absolutní hodnotě rovná součinu hmotnosti bodu a modulu zrychlení a směřuje opačně k vektoru zrychlení:
• Setrvačná síla hmotného tělesa je vektorová veličina, která se v absolutní hodnotě rovná součinu hmotnosti tělesa a modulu zrychlení těžiště tělesa a směřuje opačně k vektoru zrychlení těžiště: ,
  kde je zrychlení těžiště tělesa.
• Impuls elementární síly je vektorová veličina rovna součinu vektoru síly za nekonečně malý časový interval dt:
  .
  Celkový impuls síly pro Δt se rovná integrálu elementárních impulsů:
  .
• Elementární práce síly je skalár dA, rovnající se skaláru