Prezentace na téma neurčitý integrál. Prezentace na lekci "Neurčitý integrál. Výpočtové metody". Změna proměnné v určitý integrál

GBOU SPO "Navashinsky Ship Mechanical College" Neurčitý integrál. Metody výpočtu

Eudoxus z Knidos c. 408 - cca. 355 před naším letopočtem E. Integrální počet se objevil během starověkého období rozvoje matematické vědy a začal s metodou vyčerpání, kterou vyvinuli matematici starověkého Řecka a byla souborem pravidel vyvinutých Eudoxem z Knidu. Podle těchto pravidel byly vypočteny plochy a objemy

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716) Symbol ∫ zavedl Leibniz (1675). Tento znak je variací latinského písmene S (první písmeno slova summa).

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton a Leibniz nezávisle na sobě objevili skutečnost známou jako Newton-Leibnizův vzorec.

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) Práce Cauchyho a Weierstrasse shrnuly staletý vývoj integrálního počtu.

Na vývoji integrálního počtu se podíleli ruští matematici: M.V. Ostrogradsky (1801 - 1862) V.Ya. Bunyakovsky (1804 - 1889) P.L. Čebyšev (1821 - 1894)

NEURČITÝ INTEGRÁL Neurčitý integrál spojité funkce f(x) na intervalu (a; b) je kterákoli z jejích primitivních funkcí. Kde C je libovolná konstanta (const).

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x)= sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx + C 2 F (x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x + C 5. F(x) = c tg x + C 6. F (x) = - cos x + C 5. f( x) = cosx Shoda. Najděte takový obecný tvar primitivní funkce, který odpovídá dané funkci. tgx + С

Integrální vlastnosti

Základní metody integrace Tabelární. 2. Redukce na tabulkovou transformaci integrandu na součet nebo rozdíl. 3.Integrace pomocí změny proměnné (substituce). 4. Integrace po částech.

Najděte primitivní funkce pro funkce: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x + C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x ² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x ² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f (x) \u003d 6 x ² 6) f (x) \u003d 3-2x

Je pravda, že: a) c) b) d)

Příklad 1. Integrál součtu výrazů je roven součtu integrálů těchto výrazů.Z znaménka integrálu lze odečíst konstantní faktor

Příklad 2. Kontrola řešení Zaznamenejte řešení:

Příklad 3. Kontrola řešení Zaznamenejte řešení:

Příklad 4. Zkontrolujte řešení Napište řešení: Zaveďte novou proměnnou a vyjádřete diferenciály:

Příklad 5. Kontrola řešení Zaznamenejte řešení:

C samostatná práce Najděte neurčitý integrál Zkontrolujte řešení Úroveň "A" (po "3") Úroveň "B" (po "4") Úroveň "C" (po "5")

Úkol Vytvořit shodu. Najděte takový obecný tvar primitivní funkce, který odpovídá dané funkci.

Anoshina O.V.

Hlavní literatura

1. V. S. Šipačov, Vyšší matematika. Základní kurz: učebnice a
workshop pro bakaláře [Osvědčení Ministerstva školství Ruské federace] / V. S.
Shipachev; vyd. A. N. Tichonova. - 8. vyd., revidováno. a doplňkové Moskva: Yurayt, 2015. - 447 s.
2. V. S. Šipačov, Vyšší matematika. Celý kurz: učebnice
pro akad. Bakalářský stupeň [Certificate of UMO] / V. S. Shipachev; vyd. ALE.
N. Tichonova. - 4. vydání, Rev. a doplňkové - Moskva: Yurayt, 2015. - 608
S
3. Danko P.E., Popov A.G., Koževniková T..Ya. algebra pro pokročilé
ve cvičeních a úkolech. [Text] / P.E. Danko, A.G. Popov, T.Ya.
Koževnikov. Ve 2 hodiny - M .: Vyšší škola, 2007. - 304 + 415c.

Hlášení

1.
Test. Provádí se v souladu s:
Úkoly a směrnice pro provádění zkoušek
v disciplíně "APLIKOVANÁ MATEMATIKA", Jekatěrinburg, FGAOU
VO „Ruská státní odborná pedagogika
Univerzita“, 2016 - 30. léta.
Vyberte možnost ovládání práce podle poslední číslice čísla
kniha záznamů.
2.
Zkouška

Neurčitý integrál, jeho vlastnosti a výpočet. Primitivní a neurčitý integrál

Definice. Je volána funkce F x
primitivní funkce f x definovaná na
nějaký interval pokud F x f x pro
každé x z tohoto intervalu.
Například funkce cos x je
primitivní funkce sin x , od
cos x hřích x .

Je zřejmé, že pokud je F x primitivní
funkce f x , pak F x C , kde C je nějaká konstanta, je také
primitivní funkce f x .
Jestliže F x je nějaká primitivní
funkce f x , pak libovolná funkce formuláře
F x F x C je také
primitivní funkce f x a libovolná
primitivní mohou být reprezentovány v této podobě.

Definice. Totalita všech
primitivní funkce f x ,
definovaný na některých
mezi tím se nazývá
neurčitý integrál
funkce f x na tomto intervalu a
označujeme f x dx .

Jestliže F x je nějaká primitivní funkce
f x , pak píšou f x dx F x C , ačkoli
správnější by bylo psát f x dx F x C .
My, podle zavedené tradice, budeme psát
f x dx F x C .
Tedy stejný symbol
f x dx bude označovat jako celek
množina primitivních funkcí funkce f x ,
a jakýkoli prvek této sady.

Integrální vlastnosti

Derivace neurčitého integrálu je
integrand a jeho diferenciál k integrandu. Opravdu:
1.(f (x) dx) (F (x) C) F (x) f (x);
2.d f (x) dx (f (x) dx) dx f (x) dx.

Integrální vlastnosti

3. Neurčitý integrál of
diferenciál nepřetržitě (x)
diferencovatelná funkce je rovna sama sobě
tato funkce až do konstanty:
d (x) (x) dx (x) C,
protože (x) je primitivní derivát (x).

Integrální vlastnosti

4. Pokud funkce f1 x a f 2 x mají
primitivních funkcí, pak funkce f1 x f 2 x
má také primitivní prvek a
f1 x f 2 x dx f1 x dx f 2 x dx ;
5. Kf x dx Kf x dx ;
6. f x dx f x C;
7. f x x dx F x C .

1. dx x C .
1
X
2. x a dx
C, (a 1).
1
dx
3. ln x C .
X
X
A
4.a x dx
C.
V a
5. e x dx e x C .
6. hřích xdx cos x C .
7. cos xdx sin x C .
dx
8,2 ctgx C.
hřích x
dx
9. 2tgx C .
cos x
dx
arctgx C.
10.
2
1 x

Tabulka neurčitých integrálů

11.
dx
arcsin x C .
1x2
dx
1
X
12. 2 2 arctan C .
A
A
a x
13.
14.
15.
dx
a2x2
X
arcsin C..
A
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a log a x C .
dx
16.
x2 a
log x x 2 a C .
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
dx
ch 2 x thx C .
dx
cthx C.
2
sh x

Vlastnosti diferenciálů

Při integraci je pohodlné použití
vlastnosti: 1
1. dx d (ax)
A
1
2. dx d (ax b),
A
1 2
3.xdxdx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

Příklady

Příklad. Vypočítejte cos 5xdx .
Řešení. V tabulce integrálů najdeme
cos xdx sin x C .
Převedeme tento integrál na tabulkový,
využívající toho, že d ax adx .
Pak:
d5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= hřích 5 x C .
5

Příklady

Příklad. Vypočítejte x
3x x 1 dx.
Řešení. Protože pod integrálem
je tedy součet čtyř členů
rozšířit integrál jako součet čtyř
integrály:
2
3
2
3
2
3
X
3
X
X
1
dx
X
dx
3
X
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2

Nezávislost na typu proměnné

Při počítání integrálů je to pohodlné
použijte následující vlastnosti
integrály:
Pokud f x dx F x C , pak
f x b dx F x b C .
Pokud f x dx F x C , pak
1
f ax b dx F ax b C .
A

Příklad

Vypočítat
1
6
2
3
X
dx
2
3
X
C
.
3 6
5

Integrační metody Integrace po částech

Tato metoda je založena na vzorci udv uv vdu .
Následující integrály jsou brány metodou integrace po částech:
a) x n sin xdx, kde n 1,2...k;
b) x n e x dx, kde n 1,2...k;
c) x n arctgxdx , kde n 0, 1, 2,... k . ;
d) x n ln xdx , kde n 0, 1, 2,... k .
Při výpočtu integrálů a) ab) zadejte
n 1
zápis: x n u , dále du nx dx a například
sin xdx dv , pak v cos x .
Při výpočtu integrálů c), d) označme pro u funkci
arctgx, ln x a pro dv berou x n dx.

Příklady

Příklad. Vypočítejte x cos xdx .
Řešení.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .

Příklady

Příklad. Vypočítat
x ln xdx
dx
u ln x, du
X
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2

Variabilní způsob výměny

Nechť je požadováno najít f x dx a
přímo vyzvednout primitiva
pro f x nemůžeme, ale víme to
ona existuje. Často nalezené
primitivní zavedením nové proměnné,
podle vzorce
f x dx f t t dt , kde x ta t je nové
variabilní

Integrace funkcí obsahujících čtvercovou trojčlenku

Zvažte integrál
axb
dx,
x px q
obsahující čtvercový trojčlen v
jmenovatel integrandu
výrazy. Takový integrál se také bere
metoda změny proměnných,
dříve identifikované v
jmenovatel je celý čtverec.
2

Příklad

Vypočítat
dx
.
x4x5
Řešení. Pojďme transformovat x 2 4 x 5 ,
2
výběr celého čtverce podle vzorce a b 2 a 2 2ab b 2 .
Pak dostaneme:
x2 4x5 x2 2x2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
t1
arctgt C arctg x 2 C.

Příklad

Nalézt
1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2,
dx2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
log(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt

Určitý integrál, jeho hlavní vlastnosti. Newtonův-Leibnizův vzorec. Aplikace určitého integrálu.

Pojem určitého integrálu vede k
problém najít oblast křivky
lichoběžník.
Nechť je uveden nějaký interval
spojitá funkce y f (x) 0
Úkol:
Nakreslete jeho graf a najděte F oblast obrázku,
ohraničené touto křivkou, dvě přímky x = a a x
= b, a zespodu - segment osy úsečky mezi body
x = a a x = b.

Figura se nazývá aABb
křivočarý lichoběžník

Definice

b
f(x)dx
Pod určitým integrálem
A
od dané spojité funkce f(x) na
tento segment je srozumitelný
odpovídající přírůstek
primitivní, tzn
F (b) F (a) F (x) /
b
A
Čísla a a b jsou hranice integrace,
je interval integrace.

Pravidlo:

Určitý integrál se rovná rozdílu
hodnoty primitivního integrandu
funkce pro horní a dolní limity
integrace.
Představení zápisu rozdílu
b
F (b) F (a) F (x) / a
b
f (x) dx F (b) F (a)
A
Newtonův-Leibnizův vzorec.

Základní vlastnosti určitého integrálu.

1) Hodnota určitého integrálu nezávisí na
zápis integrační proměnné, tzn.
b
b
A
A
f (x)dx f (t)dt
kde x a t jsou libovolná písmena.
2) Určitý integrál s týmž
mimo
integrace je nulová
A
f (x) dx F (a) F (a) 0
A

3) Při přeskupování hranic integrace
určitý integrál obrátí své znaménko
b
A
f (x)dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x)dx
A
b
(aditivní vlastnost)
4) Pokud je interval rozdělen na konečné číslo
dílčí intervaly, pak určitý integrál,
převzatý interval se rovná součtu definovaných
integrály převzaté všechny jeho dílčí intervaly.
b
C
b
f(x)dx f(x)dx
C
A
A
f(x)dx

5) Konstantní násobitel lze vyjmout
pro znaménko určitého integrálu.
6) Určitý integrál algebraiky
součty konečného počtu spojitých
funkce se rovná stejné algebraické
součet určitých integrálů těchto
funkcí.

3. Změna proměnné v určitý integrál.

3. Nahrazení proměnné v určité
integrální.
b
f (x)dx f (t) (t)dt
A
a(), b(), (t)
kde
pro t[; ] , funkce (t) a (t) jsou spojité;
5
Příklad:
1
=
x 1dx
=
x 15
t04
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3

Nevlastní integrály.

Nevlastní integrály.
Definice. Nechť je funkce f(x) definována na
nekonečný interval , kde b< + . Если
existuje
b
lim
f(x)dx,
b
A
pak se tato limita nazývá nesprávná
integrál funkce f(x) na intervalu
}