Презентація на тему невизначеного інтегралу. Презентація до уроку "Невизначений інтеграл. Способи обчислення". Заміна змінної у певному інтегралі
ГБОУ СПО «Навашинський судномеханічний технікум» Невизначений інтеграл. Способи обчислення
Євдокс Кнідський бл. 408 - прибл. 355 до н. е. Інтегральне обчислення з'явилося за часів античного періоду розвитку математичної науки і почалося з методу вичерпування, розробленого математиками Стародавню Грецію, і був набором правил, розроблених Евдоксом Книдским. За цими правилами обчислювали площі та обсяги
Лейбніц Готфрід Вільгельм (1646-1716) Символ ∫ введений Лейбніцем (1675 р.). Цей знак є зміною латинської букви S (першої букви summa).
Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716) Ісаак Ньютон (1643 – 1727) Ньютон і Лейбніц відкрили незалежно один від одного факт, відомий під назвою формули Ньютона – Лейбніца.
Огюстен Луї Коші (1789 – 1857) Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815 1897) Роботи Коші та Вейєрштрасса підбили підсумок багатовікового розвитку інтегрального числення.
У розвитку інтегрального числення взяли участь російські математики: М.В. Остроградський (1801 - 1862) В.Я. Буняковський (1804 - 1889) П.Л. Чебишев (1821 - 1894)
НЕВИЗНАЧЕНИЙ ІНТЕГРАЛ Невизначеним інтегралом від безперервної функції f(x) на інтервалі (a; b) називають будь-яку її первинну функцію. Де С – довільна стала (const).
1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Сх+С 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = sin x +C 5. F(x) = tg x +C 6. F(x) = - cos x +C 5. f(x) = cosx Встановити відповідність. Знайти такий загальний виглядпервісної, що відповідає заданій функції. tg x +С
Властивості інтегралу
Властивості інтегралу
Основні методи інтегрування Табличний. 2.Зведення до табличного перетворення підинтегрального вираження у суму чи різницю. 3.Інтегрування за допомогою заміни змінною (підстановкою). 4.Інтегрування частинами.
Знайти первинні для функцій: F(x) = 5 х ² + C F(x) = х ³ + C F(x) = - cos х + 5х+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 х ³ + C F(x) = 3 x - х ² + C 1) f(x) = 10х 2) f(x) =3 х ² 3) f(x) = sin х +5 4) f(x) = 5 cos x 5) f(x) = 6 х ² 6) f(x) = 3-2х
Чи правильно що: а) в) б) г)
Приклад 1. Інтеграл суми виразів дорівнює сумі інтегралів цих виразів. Постійний множник можна винести за знак інтегралу
Приклад 2. Перевірити рішення Записати рішення:
Приклад 3. Перевірити рішення Записати рішення:
Приклад 4 . Перевірити рішення Записати рішення: Введемо нову змінну та висловимо диференціали:
Приклад 5. Перевірити рішення Записати рішення:
C самостійна робота Знайти невизначений інтеграл Перевірити рішення Рівень «А» (на «3») Рівень «В» (на «4») Рівень «С» (на «5»)
Завдання Встановити відповідність. Знайти такий загальний вигляд первісної, що відповідає заданій функції.
Аношина О.В.Основна література
1. Шипачов В. С. Вища математика. Базовий курс: підручник тапрактикум для бакалаврів [Гриф Міносвіти РФ]/В. С.
Шипачів; за ред. А. Н. Тихонова. - 8-е вид., перероб. та дод. Москва: Юрайт, 2015. – 447 с.
2. Шипачов В. С. Вища математика. Повний курс: підручник
для акад. бакалаврату [Гриф УМО] / В. С. Шипачов; за ред. А.
М. Тихонова. - 4-те вид., Випр. та дод. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
з
3. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т..Я. Вища математика
у вправах та завданнях. [Текст]/П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я.
Кожевнікова. О 2 год. – М.: Вища школа, 2007. – 304+415с.
Звітність
1.Контрольна робота. Виконується відповідно:
Завдання та методичні вказівки до виконання контрольних робіт
з дисципліни «ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА», Єкатеринбург, ФДАО
ВО «Російський державний професійно-педагогічний
університет», 2016 – 30с.
Варіант контрольної роботивибирати за останньою цифрою номера
залікової книжки.
2.
Іспит
Невизначений інтеграл, його властивості та обчислення Первісна та невизначений інтеграл
Визначення. Функція F x називаєтьсяпервісної функції f x , визначеної на
деякому проміжку, якщо F x f x для
кожного з цього проміжку.
Наприклад, функція cos x є
первісної функції sin x , оскільки
cos x sin x. Очевидно, якщо F x - первісна
функції f x , то F x C , де C деяка постійна, також є
первісної функції f x.
Якщо F x є якась первісна
функції f x , то будь-яка функція виду
Ф x F x C також є
первісної функції f x і всяка
первісна уявна в такому вигляді. Визначення. Сукупність усіх
первісних функцій f x ,
визначених на деякому
проміжку, називається
невизначеним інтегралом від
функції f x на цьому проміжку та
позначається f x dx. Якщо F x - деяка первісна функція
f x , то пишуть f x dx F x C , хоча
правильніше писати f x dx F x C .
Ми за традицією будемо писати
f x dx F x C .
Тим самим один і той самий символ
f x dx буде позначати як всю
сукупність первісних функцій f x ,
так і будь-який елемент цієї множини.
Властивості інтегралу
Похідна невизначеного інтеграла дорівнюєпідінтегральної функції, а його диференціал підінтегрального виразу. Дійсно:
1.(f(x)dx) (F(x)C) F(x)f(x);
2.d f(x)dx(f(x)dx) dx f(x)dx.
Властивості інтегралу
3. Невизначений інтеграл віддиференціала безперервно (x)
диференційованої функції дорівнює самій
цієї функції з точністю до постійної:
d(x)(x)dx(x)C,
оскільки (x) є первісною для (x).
Властивості інтегралу
4.Якщо функції f1 x і f 2 x маютьпервісні, то функція f1 x f 2 x
також має первісну, причому
f1 x f 2 x dx f1 x dx f2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6. f x dx f x C;
7. f x x d x F x C .
1. dx x C.
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C.
x
x
a
4. a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8. 2 ctgx C.
sin x
dx
9. 2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
Таблиця невизначених інтегралів
11.dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x
Властивості диференціалів
При інтегруванні зручно користуватисявластивостями: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3
Приклади
приклад. Обчислити cos 5xdx.Рішення. У таблиці інтегралів знайдемо
cos xdx sin x C .
Перетворимо даний інтеграл до табличного,
скориставшись тим, що d ax adx .
Тоді:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C.
5
Приклади
приклад. Обчислити x3x x 1 dx.
Рішення. Тому що під знаком інтеграла
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладаємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
Незалежність від виду змінної
При обчисленні інтегралів зручнокористуватися такими властивостями
інтегралів:
Якщо f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Якщо f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a
приклад
Обчислимо1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5
Методи інтегрування Інтегрування частинами
Цей метод заснований на формулі udv uv vdu.Методом інтегрування частинами беруть такі інтеграли:
а) x n sin xdx де n 1,2 ... k;
б) x n e x dx де n 1,2 ... k;
в) x n arctgxdx де n 0, 1, 2, ... k . ;
г) x n ln xdx де n 0, 1, 2, ... k .
При обчисленні інтегралів а) та б) вводять
n 1
позначення: x n u тоді du nx dx , а, наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають u функцію
arctgx, ln x, а за dv беруть x n dx.
Приклади
приклад. Обчислити x cos xdx.Рішення.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Приклади
приклад. Обчислитиx ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2
Метод заміни змінної
Нехай потрібно знайти f x dx, причомубезпосередньо підібрати первісну
для f x ми не можемо, але нам відомо, що
вона існує. Часто вдається знайти
первісну, ввівши нову змінну,
за формулою
f x dx f t t dt , де x t , а t - нова
змінна
Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен
Розглянемо інтегралax b
dx,
x px q
містить квадратний тричлен
знаменника підінтегрального
вирази. Такий інтеграл беруть також
методом заміни змінних,
попередньо виділивши в
знаменнику повний квадрат.
2
приклад
Обчислитиdx
.
x 4x 5
Рішення. Перетворимо x 2 4 x 5 ,
2
виділяючи повний квадрат за формулою a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримуємо:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
приклад
Знайти1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
Певний інтеграл, основні властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Програми певного інтеграла.
До поняття певного інтегралу наводитьзавдання знаходження площі криволінійної
трапеції.
Нехай на деякому інтервалі задано
безперервна функція y f (x) 0
Завдання:
Побудувати її графік і знайти F площу фігури,
обмеженою цією кривою, двома прямими x = a і x
= b, а знизу – відрізком осі абсцис між точками
x = a та x = b. Фігура aABb називається
криволінійною трапецією
Визначення
bf(x)dx
Під певним інтегралом
a
від цієї безперервної функції f(x) на
даному відрізку розуміється
відповідне збільшення її
первісної, тобто
F(b) F(a) F(x) /
b
a
Числа a та b – межі інтегрування,
- Проміжок інтегрування.
Правило:
Певний інтеграл дорівнює різницізначень первісної підінтегральної
функції для верхньої та нижньої меж
інтегрування.
Ввівши позначення для різниці
b
F(b) F(a) F(x)/a
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
Формула Ньютона - Лейбніца.
Основні властивості певного інтегралу.
1)Величина певного інтеграла залежить відпозначення змінної інтегрування, тобто.
b
b
a
a
f(x)dx f(t)dt
де x та t – будь-які літери.
2) Певний інтеграл з однаковими
межами
інтегрування дорівнює нулю
a
f(x)dx F(a) F(a) 0
a 3) При перестановці меж інтегрування
певний інтеграл змінює свій знак на зворотний
b
a
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(Властивість адитивності)
4) Якщо проміжок розбито на кінцеве число
часткових проміжків, то певний інтеграл,
взятий за проміжком , дорівнює сумі певних
інтегралів, взятих за всіма його частковими проміжками.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx 5) Постійний множник можна виносити
за знак певного інтегралу.
6) Певний інтеграл від алгебраїчної
суми кінцевого числа безперервних
функцій дорівнює такій же алгебраїчній
сумі певних інтегралів від цих
функцій.
3. Заміна змінної у певному інтегралі.
3. Заміна змінної у визначеномуінтегралі.
b
f(x)dx f(t)(t)dt
a
a (), b (), (t)
де
для t [; ] , функції (t) і (t) безперервні;
5
Приклад:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Невласні інтеграли.
Невласні інтеграли.Визначення. Нехай функція f(x) визначена на
нескінченному інтервалі , де b< + . Если
існує
b
lim
f(x)dx,
b
a
то ця межа називається невласною
інтегралом функції f(x) на інтервалі
}