Невизначений інтеграл презентації. Презентація до уроку "Невизначений інтеграл. Способи обчислення". Методи інтегрування Інтегрування частинами
Первісна. Завдання диференціального обчислення: за цією функцією визначити її похідну. Завдання інтегрального обчислення: визначити функцію, знаючи її похідну. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на заданому проміжку, якщо для будь-якого х із цього проміжку справедлива рівність F ʹ (x)=f(x).
Теорема. Якщо функція F(x) є первісною для функції f(x) на деякому проміжку, то множина всіх первісних цієї функції має вигляд F(x)+C, де C R. y x 0 Геометрично: F(x)+C є сімейством кривих, одержуваних із кожної їх паралельним перенесенням вздовж осі ОУ. З інтегральна крива
Приклад 2. Знайти всі первісні функції f(x)=2x та зобразити їх геометрично. y x
Підінтегральна функція - підінтегральний вираз - знак невизначеного інтеграла х – змінна інтегрування F(x)+C – безліч всіх первісних З – стала інтегрування Процес знаходження первинної функції називається інтегруванням, а розділ математики- інтегральним обчисленням.
Властивості невизначеного інтеграла Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу, а похідна невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральної функції:
Основні методи інтегрування. Метод безпосереднього інтегрування. Безпосереднім інтегруванням називається такий метод обчислення інтегралів, у якому вони зводяться до табличних шляхом застосування до них основних властивостей невизначеного інтегралу. При цьому підінтегральну функцію зазвичай перетворюють відповідним чином.
Cлайд 1
Cлайд 2
Історичні відомості Інтегральне обчислення виникло з потреби створити загальний метод розшуку площ, обсягів та центрів тяжіння. У зародковій формі такий метод застосовувався ще Архімедом. Сістематичний розвиток він отримав у 17-му столітті в роботах Кавальєрі, Торрічеллі, Фермам, Паскаля. У 1659 р. І. Барроу встановив зв'язок між завданням про розшук площі і завданням про розшук дотичної. Ньютон і Лейб-Ніц в 70-х роках 17-го століття відвернули цей зв'язок від згаданих приватних геометричних завдань. Тим самим було встановлено зв'язок між інтегральним і Диференціальним обчисленням. Цей зв'язок був використаний Ньютоном, Лейбніцем та їх учнями для Розвитку техніки інтегрування. Свого нинішнього стану методи інтегрування переважно досягли в роботах Л.Ейлера. Праці М.В.Остроградсько-Го і П.Л.Чебишева завершили розвиток цих методів.Cлайд 3
Поняття про інтеграл. Нехай лінія MN дана рівнянням І треба знайти площу F «криволінійної трапеції aABb. Розділимо відрізок ab на n частин (рівних або нерівних) і побудуємо ступінчасту фігуру, показану штрихуванням на рис.1 Її площа, її площа дорівнює (1) Якщо ввести позначення То формула (1) набуде вигляду (3) Шукана площа є межа суми ( 3) при нескінченно великому n. Лейбніц ввів для цієї межі позначення (4) У якому (курсивне s) – початкова літера слова summa (сума), Е вираз вказує типову форму окремих складових. Вираз Лейбніц став називати інтегралом – від латинсько-го слова integralis – цілісний. Ж. Б. Фур'є удосконалив обоз- Лейбніца, надавши йому вигляд Тут явно вказані початкове і кінцеве значення x .Cлайд 4
Зв'язок між інтегруванням та диференціюванням. Вважатимемо а постійною, а b – змінною величиною. Тоді інтеграл буде функцією від b. Диференціал цієї функції дорівнюєCлайд 5
Первісна функція. Нехай функція є похідною від функції, Т.С. Існує диференціал функції: Тоді функція називається первісною для функціїCлайд 6
Приклад знаходження первісної. Функція є первісна від Т.С. Існує диференціал функції Функція є первісною для функціїCлайд 7
Невизначений інтеграл. Невизначеним інтегралом цього виразу Називається найбільш загальний виглядйого первісної функції. Невизначений інтеграл виразу позначається Вираз називається підінтегральним виразом, Функція -підінтегральною функцією, змінна x-перемінний інтегрування. Пошук невизначеного інтеграла цієї Функції називається інтегруванням.Аношина О.В.Основна література
1. Шипачов В. С. Вища математика. Базовий курс: підручник тапрактикум для бакалаврів [Гриф Міносвіти РФ]/В. С.
Шипачів; за ред. А. Н. Тихонова. - 8-е вид., перероб. та дод. Москва: Юрайт, 2015. – 447 с.
2. Шипачов В. С. Вища математика. Повний курс: підручник
для акад. бакалаврату [Гриф УМО] / В. С. Шипачов; за ред. А.
М. Тихонова. - 4-те вид., Випр. та дод. - Москва: Юрайт, 2015. - 608
з
3. Данко П.Є., Попов А.Г., Кожевнікова Т..Я. Вища математика
у вправах та завданнях. [Текст]/П.Є. Данко, О.Г. Попов, Т.Я.
Кожевнікова. О 2 год. – М.: Вища школа, 2007. – 304+415с.
Звітність
1.Контрольна робота. Виконується відповідно:
Завдання та методичні вказівки до виконання контрольних робіт
з дисципліни «ПРИКЛАДНА МАТЕМАТИКА», Єкатеринбург, ФДАО
ВО «Російський державний професійно-педагогічний
університет», 2016 – 30с.
Варіант контрольної роботивибирати за останньою цифрою номера
залікової книжки.
2.
Іспит
Невизначений інтеграл, його властивості та обчислення Первісна та невизначений інтеграл
Визначення. Функція F x називаєтьсяпервісної функції f x , визначеної на
деякому проміжку, якщо F x f x для
кожного з цього проміжку.
Наприклад, функція cos x є
первісної функції sin x , оскільки
cos x sin x. Очевидно, якщо F x - первісна
функції f x , то F x C , де C деяка постійна, також є
первісної функції f x.
Якщо F x є якась первісна
функції f x , то будь-яка функція виду
Ф x F x C також є
первісної функції f x і всяка
первісна уявна в такому вигляді. Визначення. Сукупність усіх
первісних функцій f x ,
визначених на деякому
проміжку, називається
невизначеним інтегралом від
функції f x на цьому проміжку та
позначається f x dx. Якщо F x - деяка первісна функція
f x , то пишуть f x dx F x C , хоча
правильніше писати f x dx F x C .
Ми за традицією будемо писати
f x dx F x C .
Тим самим один і той самий символ
f x dx буде позначати як всю
сукупність первісних функцій f x ,
так і будь-який елемент цієї множини.
Властивості інтегралу
Похідна невизначеного інтеграла дорівнюєпідінтегральної функції, а його диференціал підінтегрального виразу. Дійсно:
1.(f(x)dx) (F(x)C) F(x)f(x);
2.d f(x)dx(f(x)dx) dx f(x)dx.
Властивості інтегралу
3. Невизначений інтегралвіддиференціала безперервно (x)
диференційованої функції дорівнює самій
цієї функції з точністю до постійної:
d(x)(x)dx(x)C,
оскільки (x) є первісною для (x).
Властивості інтегралу
4.Якщо функції f1 x і f 2 x маютьпервісні, то функція f1 x f 2 x
також має первісну, причому
f1 x f 2 x dx f1 x dx f2 x dx;
5. Kf x dx K f x dx;
6. f x dx f x C;
7. f x x d x F x C .
1. dx x C.
a 1
x
2. x a dx
C, (a 1).
a 1
dx
3. ln x C.
x
x
a
4. a x dx
C.
ln a
5. e x dx e x C .
6. sin xdx cos x C.
7. cos xdx sin x C.
dx
8. 2 ctgx C.
sin x
dx
9. 2 tgx C.
cos x
dx
arctgx C .
10.
2
1 x
Таблиця невизначених інтегралів
11.dx
arcsin x C.
1 x 2
dx
1
x
12. 2 2 arctg C .
a
a
a x
13.
14.
15.
dx
a2 x2
x
arcsin C..
a
dx
1
x a
ln
C
2
2
2a x a
x a
dx
1
a x
a 2 x 2 2a ln a x C .
dx
16.
x2 a
ln x x 2 a C .
17. shxdx chx C.
18. chxdx shx C.
19.
20.
dx
ch 2 x thx C.
dx
cthx C.
2
sh x
Властивості диференціалів
При інтегруванні зручно користуватисявластивостями: 1
1. dx d (ax)
a
1
2. dx d (ax b),
a
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx.
3
Приклади
приклад. Обчислити cos 5xdx.Рішення. У таблиці інтегралів знайдемо
cos xdx sin x C .
Перетворимо даний інтеграл до табличного,
скориставшись тим, що d ax adx .
Тоді:
d 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
cos 5xdx cos 5x
5
5
1
= sin 5 x C.
5
Приклади
приклад. Обчислити x3x x 1 dx.
Рішення. Тому що під знаком інтеграла
знаходиться сума чотирьох доданків, то
розкладаємо інтеграл на суму чотирьох
інтегралів:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
dx
x
dx
3
x
dx xdx dx.
x3
x4 x2
3
x C
3
4
2
Незалежність від виду змінної
При обчисленні інтегралів зручнокористуватися такими властивостями
інтегралів:
Якщо f x dx F x C , то
f x b dx F x b C .
Якщо f x dx F x C , то
1
f ax b dx F ax b C .
a
приклад
Обчислимо1
6
2
3
x
dx
2
3
x
C
.
3 6
5
Методи інтегрування Інтегрування частинами
Цей метод заснований на формулі udv uv vdu.Методом інтегрування частинами беруть такі інтеграли:
а) x n sin xdx де n 1,2 ... k;
б) x n e x dx де n 1,2 ... k;
в) x n arctgxdx де n 0, 1, 2, ... k . ;
г) x n ln xdx де n 0, 1, 2, ... k .
При обчисленні інтегралів а) та б) вводять
n 1
позначення: x n u тоді du nx dx , а, наприклад
sin xdx dv ,тоді v cos x .
При обчисленні інтегралів в), г) позначають u функцію
arctgx, ln x, а за dv беруть x n dx.
Приклади
приклад. Обчислити x cos xdx.Рішення.
u x, du dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v sin x
x sin x sin xdx x sin x cos x C .
Приклади
приклад. Обчислитиx ln xdx
dx
u ln x, du
x
x2
dv xdx, v
2
x2
x 2 dx
ln x
=
2
2 x
x2
1
x2
1 x2
ln x xdx
ln x
C.
=
2
2
2
2 2
Метод заміни змінної
Нехай потрібно знайти f x dx, причомубезпосередньо підібрати первісну
для f x ми не можемо, але нам відомо, що
вона існує. Часто вдається знайти
первісну, ввівши нову змінну,
за формулою
f x dx f t t dt , де x t , а t - нова
змінна
Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен
Розглянемо інтегралax b
dx,
x px q
містить квадратний тричлен
знаменника підінтегрального
вирази. Такий інтеграл беруть також
методом заміни змінних,
попередньо виділивши в
знаменнику повний квадрат.
2
приклад
Обчислитиdx
.
x 4x 5
Рішення. Перетворимо x 2 4 x 5 ,
2
виділяючи повний квадрат за формулою a b 2 a 2 2ab b 2 .
Тоді отримуємо:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 t
dx
dx
dt
x t 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x 4x 5
t 1
arctgt C arctg x 2 C.
приклад
Знайти1 x
1 x
2
dx
tdt
1 t
2
x t, x t 2 ,
dx 2tdt
2
t2
1 t
2
dt
1 t
1 t
d (t 2 1)
t
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(t 1) 2 dt 2
2
1 t
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2arctg x C.
1 t 2 1
1 t
2
dt
Певний інтеграл, основні властивості. Формула Ньютона-Лейбніца. Програми певного інтеграла.
До поняття певного інтегралу наводитьзавдання знаходження площі криволінійної
трапеції.
Нехай на деякому інтервалі задано
безперервна функція y f (x) 0
Завдання:
Побудувати її графік і знайти F площу фігури,
обмеженою цією кривою, двома прямими x = a і x
= b, а знизу – відрізком осі абсцис між точками
x = a та x = b. Фігура aABb називається
криволінійною трапецією
Визначення
bf(x)dx
Під певним інтегралом
a
від цієї безперервної функції f(x) на
даному відрізку розуміється
відповідне збільшення її
первісної, тобто
F(b) F(a) F(x) /
b
a
Числа a та b – межі інтегрування,
- Проміжок інтегрування.
Правило:
Певний інтеграл дорівнює різницізначень первісної підінтегральної
функції для верхньої та нижньої меж
інтегрування.
Ввівши позначення для різниці
b
F(b) F(a) F(x)/a
b
f(x)dx F(b) F(a)
a
Формула Ньютона - Лейбніца.
Основні властивості певного інтегралу.
1)Величина певного інтеграла залежить відпозначення змінної інтегрування, тобто.
b
b
a
a
f(x)dx f(t)dt
де x та t – будь-які літери.
2) Певний інтеграл з однаковими
межами
інтегрування дорівнює нулю
a
f(x)dx F(a) F(a) 0
a 3) При перестановці меж інтегрування
певний інтеграл змінює свій знак на зворотний
b
a
f (x) dx F (b) F (a) F (a) F (b) f (x) dx
a
b
(Властивість адитивності)
4) Якщо проміжок розбито на кінцеве число
часткових проміжків, то певний інтеграл,
взятий за проміжком , дорівнює сумі певних
інтегралів, взятих за всіма його частковими проміжками.
b
c
b
f(x)dx f(x)dx
c
a
a
f(x)dx 5) Постійний множник можна виносити
за знак певного інтегралу.
6) Певний інтеграл від алгебраїчної
суми кінцевого числа безперервних
функцій дорівнює такій же алгебраїчній
сумі певних інтегралів від цих
функцій.
3. Заміна змінної у певному інтегралі.
3. Заміна змінної у визначеномуінтегралі.
b
f(x)dx f(t)(t)dt
a
a (), b (), (t)
де
для t [; ] , функції (t) і (t) безперервні;
5
Приклад:
1
=
x 1dx
=
x 1 5
t 0 4
x 1 t
dt dx
4
0
3
2
t dt t 2
3
4
0
2
2
16
1
t t 40 4 2 0
5
3
3
3
3
Невласні інтеграли.
Невласні інтеграли.Визначення. Нехай функція f(x) визначена на
нескінченному інтервалі , де b< + . Если
існує
b
lim
f(x)dx,
b
a
то ця межа називається невласною
інтегралом функції f(x) на інтервалі
}