การนำเสนอในหัวข้ออินทิกรัลไม่ จำกัด การนำเสนอบทเรียน "อินทิกรัลไม่ จำกัด วิธีการคำนวณ" การเปลี่ยนตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต

GBOU SPO "วิทยาลัยเครื่องกลนาวาชินสกี้มารีน" อินทิกรัลไม่ จำกัด- วิธีการคำนวณ

Eudoxus แห่ง Cnidus ค. 408 - ประมาณ 355 ปีก่อนคริสตกาล จ. แคลคูลัสอินทิกรัลปรากฏขึ้นในช่วงยุคโบราณของการพัฒนาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์และเริ่มต้นด้วยวิธีการหมดแรงซึ่งพัฒนาโดยนักคณิตศาสตร์ กรีกโบราณและเป็นชุดกฎเกณฑ์ที่พัฒนาโดย Eudoxus แห่ง Cnidus ใช้กฎเหล่านี้เพื่อคำนวณพื้นที่และปริมาตร

ไลบนิซ ก็อตต์ฟรีด วิลเฮล์ม (1646-1716) สัญลักษณ์ ∫ ถูกนำมาใช้โดยไลบ์นิซ (1675) เครื่องหมายนี้เป็นการดัดแปลงอักษรละติน S (อักษรตัวแรกของคำว่า summa)

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) Isaac Newton (1643 - 1727) Newton และ Leibniz ค้นพบข้อเท็จจริงที่เรียกว่าสูตร Newton-Leibniz อย่างเป็นอิสระ

Augustin Louis Cauchy (1789 - 1857) Carl Theodor Wilhelm Weierstrass (1815 1897) ผลงานของ Cauchy และ Weierstrass สรุปการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัลที่มีมายาวนานหลายศตวรรษ

นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียมีส่วนร่วมในการพัฒนาแคลคูลัสอินทิกรัล: M.V. Ostrogradsky (1801 – 1862) V.Ya. บุนยาคอฟสกี้ (1804 – 1889) P.L. เชบีเชฟ (1821 – 1894)

อินทิกรัลไม่จำกัด อินทิกรัลไม่จำกัดของฟังก์ชันต่อเนื่อง f(x) ในช่วงเวลา (a; b) คือฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟใดๆ โดยที่ C คือค่าคงที่ตามอำเภอใจ (const)

1. f(x) = x n 2. f(x) = C 3. f(x) = sinx 4. f(x) = 6. f(x) = 1. F(x) = Cx+C 2 . F(x) = 3. F(x) = 4. F(x) = บาป x +С 5. F(x) = с tan x +С 6. F(x) = - cos x +С 5. f (x) = cosx ตั้งค่าความสอดคล้อง หาอันหนึ่ง แบบฟอร์มทั่วไปแอนติเดริเวทีฟที่สอดคล้องกับฟังก์ชันที่กำหนด ทีจี x +ซี

คุณสมบัติของอินทิกรัล

คุณสมบัติของอินทิกรัล

วิธีการพื้นฐานของการรวมตาราง 2. ลดขนาดลงในตารางโดยการแปลงปริพันธ์เป็นผลรวมหรือผลต่าง 3.บูรณาการโดยใช้การแทนที่ตัวแปร (ทดแทน) 4.บูรณาการตามส่วนต่างๆ

ค้นหาแอนติเดริเวทีฟสำหรับฟังก์ชัน: F(x) = 5 x ² + C F(x) = x ³ + C F(x) = - cos x + 5x+ C F(x) = 5 sin x + C F(x) = 2 x ³ + C F(x) = 3 x - x² + C 1) f(x) = 10x 2) f(x) =3 x² 3) f(x) = sin x +5 4) f(x) = 5 cos x 5) ฉ(x) = 6 x ² 6) ฉ(x) = 3-2x

เป็นเรื่องจริงหรือไม่ที่: ก) ค) ข) ง)

ตัวอย่างที่ 1 อินทิกรัลของผลรวมของนิพจน์เท่ากับผลรวมของอินทิกรัลของนิพจน์เหล่านี้ สามารถดึงตัวประกอบคงที่ออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัลได้

ตัวอย่างที่ 2 ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา เขียนวิธีแก้ปัญหา:

ตัวอย่างที่ 3 ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา เขียนวิธีแก้ปัญหา:

ตัวอย่างที่ 4 ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา เขียนวิธีแก้ปัญหา: แนะนำตัวแปรใหม่และแสดงส่วนต่าง:

ตัวอย่างที่ 5 ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา เขียนวิธีแก้ปัญหา:

C งานอิสระ ค้นหาอินทิกรัลไม่จำกัด ตรวจสอบวิธีแก้ปัญหา ระดับ “A” (ที่ “3”) ระดับ “B” (ที่ “4”) ระดับ “C” (ที่ “5”)

งาน สร้างการติดต่อสื่อสาร ค้นหารูปแบบทั่วไปของแอนติเดริเวทีฟที่สอดคล้องกับฟังก์ชันที่กำหนด

อาโนชินะ โอ.วี.

วรรณกรรมหลัก

1. Shipachev V. S. คณิตศาสตร์ชั้นสูง หลักสูตรพื้นฐาน: หนังสือเรียนและ
การประชุมเชิงปฏิบัติการสำหรับปริญญาตรี [เครื่องหมายแห่งกระทรวงศึกษาธิการของสหพันธรัฐรัสเซีย] / V.S.
ชิปาชอฟ; เอ็ด อ. เอ็น. ทิโคโนวา - ฉบับที่ 8 แก้ไขใหม่ และเพิ่มเติม มอสโก: Yurayt, 2015. - 447 น.
2. Shipachev V. S. คณิตศาสตร์ชั้นสูง หลักสูตรเต็ม: หนังสือเรียน
สำหรับนักวิชาการ ปริญญาตรี [Griff UMO] / V. S. Shipachev; เอ็ด ก.
เอ็น. ทิโคโนวา. - ฉบับพิมพ์ครั้งที่ 4, ฉบับที่. และเพิ่มเติม - มอสโก: Yurayt, 2015. - 608
กับ
3. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T..Ya. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น
ในแบบฝึกหัดและงาน [ข้อความ] / พ.ศ. ดันโก เอ.จี. โปปอฟ, ที.ยา.
โคเซฟนิโควา เวลา 02.00 น. - ม.: มัธยมปลาย, 2550 - 304+415ค.

การรายงาน

1.
ทดสอบ. ดำเนินการตาม:
การมอบหมายและแนวทางในการทำแบบทดสอบ
ในสาขาวิชา "คณิตศาสตร์ประยุกต์", Ekaterinburg, สถาบันการศึกษาอิสระของรัฐบาลกลาง
VO "การสอนอาชีวศึกษาแห่งรัฐรัสเซีย
มหาวิทยาลัย", 2559 - 30 น.
ตัวเลือก ทดสอบงานเลือกตามหลักสุดท้ายของตัวเลข
หนังสือเกรด
2.
การสอบ

อินทิกรัลไม่จำกัด คุณสมบัติและการคำนวณ อินทิกรัลต้านอนุพันธ์และอินทิกรัลไม่กำหนด

คำนิยาม. ฟังก์ชัน F x เรียกว่า
ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ f x นิยามไว้
ช่วงเวลาหนึ่ง ถ้า F x f x สำหรับ
แต่ละ x จากช่วงเวลานี้
เช่น ฟังก์ชัน cos x คือ
แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน sin x เนื่องจาก
เพราะ x บาป x

แน่นอน ถ้า F x เป็นแอนติเดริเวทีฟ
ฟังก์ชัน f x แล้ว F x C โดยที่ C มีค่าคงที่อยู่ด้วย
แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f x .
ถ้า F x เป็นแอนติเดริเวทีฟใดๆ
ฟังก์ชัน f x แล้วตามด้วยฟังก์ชันใดๆ ของแบบฟอร์ม
Ф x F x C ก็เช่นกัน
ฟังก์ชันแอนติเดริเวทีฟ f x และใดๆ
แอนติเดริเวทีฟสามารถแสดงได้ในรูปแบบนี้

คำนิยาม. จำนวนทั้งสิ้นของทั้งหมด
แอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f x ,
ที่กำหนดไว้ในบางส่วน
เรียกว่าช่วงเวลา
อินทิกรัลไม่ จำกัด ของ
ฟังก์ชัน f x ในช่วงเวลานี้และ
เขียนแทนด้วย f x dx

ถ้า F x คือแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน
f x จากนั้นพวกเขาก็เขียนว่า f x dx F x C
มันจะถูกต้องกว่าถ้าเขียน f x dx F x C
เราจะเขียนตามประเพณีที่กำหนดไว้
ฉ x dx ฉ x ค .
จึงเป็นสัญลักษณ์เดียวกัน
f x dx จะหมายถึงทั้งหมด
ชุดของแอนติเดริเวทีฟของฟังก์ชัน f x ,
และองค์ประกอบใดๆ ของชุดนี้

คุณสมบัติของอินทิกรัล

อนุพันธ์ของอินทิกรัลไม่ จำกัด เท่ากับ
ฟังก์ชันปริพันธ์ และนิพจน์ปริพันธ์เชิงอนุพันธ์ของมัน จริงหรือ:
1.(ฉ (x)dx) (ฉ (x) ค) ฉ (x) ฉ (x);
2.d ฉ (x) dx (ฉ (x) dx) dx ฉ (x) dx

คุณสมบัติของอินทิกรัล

3. อินทิกรัลไม่ จำกัด ของ
ส่วนต่างอย่างต่อเนื่อง (x)
ฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้จะเท่ากับตัวมันเอง
ฟังก์ชั่นนี้มีค่าคงที่:
ง (x) (x)dx (x) ค
เนื่องจาก (x) เป็นแอนติเดริเวทีฟของ (x)

คุณสมบัติของอินทิกรัล

4.หากฟังก์ชัน f1 x และ f 2 x มี
เป็นแอนติเดริเวทีฟ แล้วฟังก์ชัน f1 x f 2 x
มีแอนติเดริเวทีฟด้วย และ
f1 x f 2 x dx f1 x dx ฉ 2 x dx ;
5. Kf x dx K f x dx ;
6. f x dx f x C ;
7. f x x dx ฟ x ค .

1.dxxค
1
x
2. xa dx
ค, (ก 1) .
1
ดีเอ็กซ์
3. อิน x ซี .
x
x
ก
4.a x dx
ค.
ใน
5. อี x dx อี x ซี .
6. บาป xdx cos x C .
7. cos xdx บาป x C .
ดีเอ็กซ์
8. 2ctgx C .
บาป x
ดีเอ็กซ์
9. 2 tgx C .
เพราะ x
ดีเอ็กซ์
arctgx ซี .
10.
2
1 ครั้ง

ตารางปริพันธ์ไม่แน่นอน

11.
ดีเอ็กซ์
อาร์คซิน x ซี
1x2
ดีเอ็กซ์
1
x
12. 2 2 อาร์ค ซี .
ก
ก
เอ็กซ์
13.
14.
15.
ดีเอ็กซ์
ก2x2
x
อาร์คซิน ซี..
ก
ดีเอ็กซ์
1
xa
ln
ค
2
2
2ก x ก
xa
ดีเอ็กซ์
1
เอ็กซ์
a 2 x 2 2a ln a x C .
ดีเอ็กซ์
16.
x2 ก
ใน x x 2 ก C
17. shxdx chx C .
18. chxdx shx C .
19.
20.
ดีเอ็กซ์
ch 2 x ขอบคุณ C .
ดีเอ็กซ์
cthx C
2
ซ.เอ็กซ์

คุณสมบัติของดิฟเฟอเรนเชียล

สะดวกในการใช้งานเมื่อทำการบูรณาการ
คุณสมบัติ: 1
1. dx ง (ขวาน)
ก
1
2. dx d (ขวาน ข)
ก
1 2
3. xdx dx,
2
1 3
2
4. x dx dx .
3

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง. คำนวณ cos 5xdx
สารละลาย. ในตารางอินทิกรัลที่เราพบ
เพราะ xdx บาป x C
ให้เราแปลงอินทิกรัลนี้เป็นอินทิกรัลแบบตาราง
ใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่า d ax adx
แล้ว:
วันที่ 5 x 1
= cos 5 xd 5 x =
คอส 5xdx คอส 5 x
5
5
1
= บาป 5 x C .
5

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง. คำนวณ x
3x x 1dx
สารละลาย. เนื่องจากอยู่ใต้เครื่องหมายอินทิกรัล
คือผลรวมของสี่เทอมแล้ว
ขยายอินทิกรัลเป็นผลรวมของสี่
ปริพันธ์:
2
3
2
3
2
3
x
3
x
x
1
ดีเอ็กซ์
x
ดีเอ็กซ์
3
x
dx xdx dx .
x3
x4 x2
3
x ซี
3
4
2

ความเป็นอิสระของประเภทของตัวแปร

เมื่อคำนวณปริพันธ์จะสะดวก
ใช้คุณสมบัติต่อไปนี้
ปริพันธ์:
ถ้า f x dx F x C แล้ว
f x b dx F x b C .
ถ้า f x dx F x C แล้ว
1
f ขวาน b dx F ขวาน b C .
ก

ตัวอย่าง

มาคำนวณกัน
1
6
2
3
x
ดีเอ็กซ์
2
3
x
ค
.
3 6
5

วิธีการบูรณาการ บูรณาการตามส่วนต่างๆ

วิธีนี้ใช้สูตร udv uv vdu
โดยใช้วิธีการอินทิเกรตทีละส่วน จะได้อินทิกรัลต่อไปนี้:
ก) xn บาป xdx โดยที่ n 1,2...k;
b) x n e x dx โดยที่ n 1,2...k ;
c) x n arctgxdx โดยที่ n 0, 1, 2,... k -
d) x n ln xdx โดยที่ n 0, 1, 2,... k
เมื่อคำนวณอินทิกรัล a) และ b) เข้า
หมายเลข 1
สัญกรณ์: xn u จากนั้น du nx dx และ เป็นต้น
บาป xdx dv แล้วก็ v cos x
เมื่อคำนวณอินทิกรัล c), d) คุณจะถูกแทนด้วยฟังก์ชัน
arctgx, ln x และสำหรับ dv ให้ใช้ x n dx

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง. คำนวณ x cos xdx
สารละลาย.
คุณ x ดู dx
=
x cos xdx
dv cos xdx, v บาป x
x บาป x บาป xdx x บาป x cos x C

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง. คำนวณ
x ln xdx
ดีเอ็กซ์
คุณอยู่ใน x, du
x
x2
ดีวี xdx, v
2
x2
x 2 ดีเอ็กซ์
ใน x
=
2
2 ครั้ง
x2
1
x2
1x2
ใน x xdx
ใน x
ค.
=
2
2
2
2 2

วิธีการเปลี่ยนตัวแปร

ปล่อยให้จำเป็นต้องค้นหา f x dx และ
เลือกแอนติเดริเวทีฟโดยตรง
เพราะ f x เราทำไม่ได้ แต่เรารู้อย่างนั้น
เธอมีอยู่จริง ก็มักจะพบได้
แอนติเดริเวทีฟโดยการแนะนำตัวแปรใหม่
ตามสูตร
f x dx f t t dt โดยที่ x t และ t เป็นค่าใหม่
ตัวแปร

การรวมฟังก์ชันที่มีตรีโกณมิติกำลังสอง

พิจารณาอินทิกรัล
ขวานข
ดีเอ็กซ์,
x พิกเซล คิว
ซึ่งมีตรีโกณมิติกำลังสองอยู่ใน
ตัวส่วนของปริพันธ์
การแสดงออก อินทิกรัลดังกล่าวก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน
โดยวิธีการทดแทนตัวแปร
ได้มีการจัดสรรไว้ก่อนหน้านี้แล้ว
ตัวส่วนคือกำลังสองสมบูรณ์
2

ตัวอย่าง

คำนวณ
ดีเอ็กซ์
.
x4x5
สารละลาย. มาแปลง x 2 4 x 5 กัน
2
การเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์โดยใช้สูตร a b 2 a 2 2ab b 2
จากนั้นเราจะได้รับ:
x2 4x 5 x2 2 x 2 4 4 5
x 2 2 2 x 4 1 x 2 2 1
x 2 ตัน
ดีเอ็กซ์
ดีเอ็กซ์
dt
x เสื้อ 2
2
2
2
x 2 1 dx dt
x4x5
เสื้อ 1
อาร์กต์จี อาร์กต์ซี x 2 ซี

ตัวอย่าง

หา
1 ครั้ง
1 ครั้ง
2
ดีเอ็กซ์
ทีที
1 ตัน
2
x เสื้อ, x เสื้อ 2,
dx2tdt
2
ที2
1 ตัน
2
dt
1 ตัน
1 ตัน
ง(เสื้อ 2 1)
ที
2
1
2
2tdt
2
dt
ln(เสื้อ 1) 2 dt 2
2
1 ตัน
ln(t 2 1) 2t 2arctgt C
2
ln(x 1) 2 x 2 ส่วนโค้ง x C
1 ครั้ง 2 1
1 ตัน
2
dt

อินทิกรัลจำกัดคุณสมบัติหลักของมัน สูตรนิวตัน-ไลบ์นิซ การประยุกต์อินทิกรัลจำกัดเขต

นำไปสู่แนวคิดเรื่องอินทิกรัลจำกัดเขต
ปัญหาการหาพื้นที่ส่วนโค้ง
สี่เหลี่ยมคางหมู
ให้ได้เป็นช่วงๆ บ้าง
ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง y f (x) 0
งาน:
สร้างกราฟและหา F พื้นที่ของรูป
ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งนี้ เส้นตรงสองเส้น x = a และ x
= b และด้านล่าง – ส่วนของแกน abscissa ระหว่างจุดต่างๆ
x = ก และ x = ข

เรียกรูป aABb
สี่เหลี่ยมคางหมูโค้ง

คำนิยาม

ข
เอฟ(x)ดีเอ็กซ์
ภายใต้อินทิกรัลจำกัดเขต
ก
จากฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนด f(x) ถึง
ส่วนนี้เป็นที่เข้าใจ
การเพิ่มขึ้นที่สอดคล้องกัน
แอนติเดริเวทีฟนั่นคือ
ฉ (ข) ฉ (ก) ฉ (x) /
ข
ก
ตัวเลข a และ b เป็นขีดจำกัดของการอินทิเกรต
– ช่วงเวลาบูรณาการ

กฎ:

อินทิกรัลจำกัดเขตเท่ากับผลต่าง
ค่าของปริพันธ์แอนติเดริเวทีฟ
ฟังก์ชั่นสำหรับขีดจำกัดบนและล่าง
บูรณาการ
โดยการแนะนำสัญกรณ์เพื่อความแตกต่าง
ข
ฉ(ข)ฉ(ก)ฉ(x)/ก
ข
ฉ (x)dx F (ข) F (ก)
ก
สูตรของนิวตัน-ไลบ์นิซ

คุณสมบัติพื้นฐานของอินทิกรัลจำกัดเขต

1) ค่าของอินทิกรัลจำกัดเขตไม่ได้ขึ้นอยู่กับ
สัญลักษณ์สำหรับตัวแปรอินทิเกรต เช่น
ข
ข
ก
ก
ฉ (x)dx ฉ (t)dt
โดยที่ x และ t เป็นตัวอักษรใดๆ
2) อินทิกรัลที่แน่นอนด้วยค่าที่เหมือนกัน
ข้างนอก
บูรณาการเป็นศูนย์
ก
ฉ (x)dx F (ก) F (ก) 0
ก

3) เมื่อจัดเรียงขีดจำกัดของการบูรณาการใหม่
อินทิกรัลจำกัดการเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทิศทางตรงกันข้าม
ข
ก
ฉ (x)dx F (ข) F (ก) F (ก) F (ข) ฉ (x)dx
ก
ข
(คุณสมบัติเพิ่มเติม)
4) ถ้าแบ่งช่วงเป็นจำนวนจำกัด
ช่วงบางส่วน แล้วก็อินทิกรัลจำกัดเขต
ยึดตามช่วงเวลาจะเท่ากับผลรวมของค่าที่แน่นอน
อินทิกรัลเข้ายึดช่วงบางส่วนทั้งหมด
ข
ค
ข
ฉ(x)dx ฉ(x)dx
ค
ก
ก
เอฟ(x)ดีเอ็กซ์

5) สามารถปรับเปลี่ยนตัวคูณคงที่ได้
สำหรับเครื่องหมายของอินทิกรัลจำกัดเขต
6) อินทิกรัลที่แน่นอนของพีชคณิต
ผลบวกของจำนวนต่อเนื่องที่มีจำกัด
ฟังก์ชันจะเท่ากับพีชคณิตเดียวกัน
ผลรวมของอินทิกรัลจำกัดจำนวนเหล่านี้
ฟังก์ชั่น.

3. การเปลี่ยนแปลงของตัวแปรในอินทิกรัลจำกัดเขต

3. การแทนที่ตัวแปรในบางค่า
บูรณาการ
ข
ฉ (x)dx ฉ (เสื้อ) (เสื้อ)dt
ก
ก(), ข(), (ที)
ที่ไหน
สำหรับเสื้อ [ ; ] , ฟังก์ชัน (t) และ (t) เปิดต่อเนื่อง;
5
ตัวอย่าง:
1
=
x1dx
=
x15
เสื้อ 0 4
x 1 ตัน
ดีที ดีเอ็กซ์
4
0
3
2
เสื้อ 2
3
4
0
2
2
16
1
เสื้อ 40 4 2 0
5
3
3
3
3

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม

อินทิกรัลที่ไม่เหมาะสม
คำนิยาม. ให้นิยามฟังก์ชัน f(x) ไว้
ช่วงอนันต์ โดยที่ b< + . Если
มีอยู่จริง
ข
ลิม
เอฟ(x)ดีเอ็กซ์,
ข
ก
ขีดจำกัดนี้เรียกว่าไม่เหมาะสม
อินทิกรัลของฟังก์ชัน f(x) ในช่วงเวลา
}