ความตั้งฉากของเส้นในอวกาศ คู่มือภาพ (2019) ระนาบตั้งฉาก ภาวะตั้งฉากของระนาบ จะทราบได้อย่างไรว่าระนาบตั้งฉาก

บทเรียนนี้จะช่วยให้ผู้ที่ต้องการทำความเข้าใจในหัวข้อ “สัญลักษณ์ของความตั้งฉากของระนาบสองระนาบ” ในตอนต้น เราจะทำซ้ำคำจำกัดความของมุมไดฮีดรัลและมุมเชิงเส้น จากนั้นเราจะพิจารณาว่าระนาบใดเรียกว่าตั้งฉากและพิสูจน์เครื่องหมายของความตั้งฉากของระนาบทั้งสอง

หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

บทเรียน: สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ

คำนิยาม. มุมไดฮีดรัลคือรูปร่างที่เกิดจากระนาบครึ่งระนาบสองระนาบซึ่งไม่อยู่ในระนาบเดียวกันและมีเส้นตรงร่วม a (a คือขอบ)

ข้าว. 1

ลองพิจารณาระนาบครึ่งระนาบ α และ β สองอัน (รูปที่ 1) เส้นขอบร่วมของพวกเขาคือ l รูปนี้เรียกว่ามุมไดฮีดรัล ระนาบที่ตัดกันสองอันประกอบเป็นมุมไดฮีดรัลสี่มุมโดยมีขอบร่วม

มุมไดฮีดรัลวัดจากมุมเชิงเส้น เราเลือกจุดใดก็ได้บนขอบทั่วไป l ของมุมไดฮีดรัล ในครึ่งระนาบ α และ β จากจุดนี้ เราวาดเส้นตั้งฉาก a และ b ไปยังเส้นตรง l และได้มุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

เส้นตรง a และ b ประกอบเป็นมุมสี่มุมเท่ากับ φ, 180° - φ, φ, 180° - φ โปรดจำไว้ว่ามุมระหว่างเส้นตรงเป็นมุมที่เล็กที่สุด

คำนิยาม. มุมระหว่างระนาบคือมุมที่เล็กที่สุดของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ φ คือมุมระหว่างระนาบ α และ β ถ้า

คำนิยาม. ระนาบที่ตัดกันสองระนาบเรียกว่าตั้งฉาก (ตั้งฉากซึ่งกันและกัน) ถ้ามุมระหว่างระนาบทั้งสองเป็น 90°

ข้าว. 2

เลือกจุด M ตามอำเภอใจบนขอบ l (รูปที่ 2) ขอให้เราวาดเส้นตรงตั้งฉากสองเส้น MA = a และ MB = b ไปที่ขอบ l ในระนาบ α และในระนาบ β ตามลำดับ เราได้มุม AMB มุม AMB คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล ถ้ามุม AMB เท่ากับ 90° ระนาบ α และ β จะถูกเรียกว่าตั้งฉาก

เส้น b ตั้งฉากกับเส้น l โดยการก่อสร้าง เส้น b ตั้งฉากกับเส้น a เนื่องจากมุมระหว่างระนาบ α และ β คือ 90° เราพบว่าเส้นตรง b ตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน a และ l จากระนาบ α ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง b ตั้งฉากกับระนาบ α

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเส้นตรง a ตั้งฉากกับระนาบ β เส้น a ตั้งฉากกับเส้น l ตามโครงสร้าง เส้น a ตั้งฉากกับเส้น b เนื่องจากมุมระหว่างระนาบ α และ β คือ 90° เราพบว่าเส้นตรง a ตั้งฉากกับเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน b และ l จากระนาบ β ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง a ตั้งฉากกับระนาบ β

ถ้าหนึ่งในสองระนาบผ่านเส้นตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบนั้นก็จะตั้งฉากกัน

พิสูจน์:

ข้าว. 3

การพิสูจน์:

ปล่อยให้ระนาบ α และ β ตัดกันตามเส้นตรง AC (รูปที่ 3) เพื่อพิสูจน์ว่าระนาบตั้งฉากกัน คุณต้องสร้างมุมเชิงเส้นระหว่างระนาบทั้งสองและแสดงว่ามุมนี้คือ 90°

เส้นตรง AB ตั้งฉากกับระนาบ β ดังนั้นกับเส้นตรง AC ที่อยู่ในระนาบ β

ขอให้เราวาดเส้นตรง AD ตั้งฉากกับเส้นตรง AC ในระนาบ β จากนั้น BAD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล

เส้นตรง AB ตั้งฉากกับระนาบ β ดังนั้นกับเส้นตรง AD ที่อยู่ในระนาบ β ซึ่งหมายความว่ามุมเชิงเส้น BAD คือ 90° ซึ่งหมายความว่าระนาบ α และ β ตั้งฉากกัน ซึ่งเป็นสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

ระนาบที่ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ระนาบสองระนาบตัดกันนั้นตั้งฉากกับระนาบแต่ละระนาบ (รูปที่ 4)

พิสูจน์:

ข้าว. 4

การพิสูจน์:

เส้นตรง l ตั้งฉากกับระนาบ γ และระนาบ α ผ่านเส้นตรง l ซึ่งหมายความว่า ตามความตั้งฉากของระนาบ ระนาบ α และ γ จะตั้งฉากกัน

เส้นตรง l ตั้งฉากกับระนาบ γ และระนาบ β ผ่านเส้นตรง l ซึ่งหมายความว่าตามแนวตั้งฉากของระนาบ ระนาบ β และ γ จะตั้งฉากกัน

ความตั้งฉากในอวกาศอาจมี:

1. เส้นตรงสองเส้น

3. เครื่องบินสองลำ

ลองดูสามกรณีนี้ตามลำดับ: คำจำกัดความและข้อความของทฤษฎีบททั้งหมดที่เกี่ยวข้องกัน จากนั้นเราจะพูดถึงทฤษฎีบทที่สำคัญมากเกี่ยวกับฉากตั้งฉากสามอัน

เส้นตั้งฉากของสองเส้น

คำนิยาม:

คุณสามารถพูดได้ว่า: พวกเขาค้นพบอเมริกาเพื่อฉันด้วย! แต่จำไว้ว่าในอวกาศทุกอย่างไม่เหมือนกับบนเครื่องบินเลย

บนเครื่องบิน เฉพาะเส้นต่อไปนี้ (ตัดกัน) เท่านั้นที่สามารถตั้งฉากได้:

แต่เส้นตรงสองเส้นสามารถตั้งฉากในอวกาศได้แม้ว่าจะไม่ได้ตัดกันก็ตาม ดู:

เส้นตรงตั้งฉากกับเส้นตรง แม้ว่าจะไม่ได้ตัดกันก็ตาม ยังไงล่ะ? ขอให้เราจำคำจำกัดความของมุมระหว่างเส้นตรง: เพื่อหามุมระหว่างเส้นที่ตัดกัน และคุณต้องวาดเส้นตรงผ่านจุดใดก็ได้บนเส้น a แล้วมุมระหว่าง และ (ตามนิยาม!) จะเท่ากับมุมระหว่าง และ

คุณจำได้ไหม? ในกรณีของเรา ถ้าเส้นตรงกลายเป็นเส้นตั้งฉาก เราต้องพิจารณาเส้นตรงและตั้งฉากกัน

เพื่อความชัดเจนที่สมบูรณ์เรามาดูกันที่ ตัวอย่าง.ให้มีลูกบาศก์ และคุณจะถูกขอให้หามุมระหว่างเส้นกับ เส้นเหล่านี้ไม่ตัดกัน - พวกมันตัดกัน หากต้องการหามุมระหว่าง และ ลองวาดกัน

เนื่องจากมันเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน (และแม้แต่สี่เหลี่ยมด้วยซ้ำ!) ปรากฎว่า และเนื่องจากมันเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ปรากฎว่า นั่นหมายความว่า

ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

คำนิยาม:

นี่คือภาพ:

เส้นตรงจะตั้งฉากกับระนาบถ้ามันตั้งฉากกับเส้นตรงทั้งหมดในระนาบนี้: และ, และ, และ, และแม้กระทั่ง! และอีกนับพันล้านรายการโดยตรง!

ใช่ แต่โดยทั่วไปแล้วคุณจะตรวจสอบความตั้งฉากในเส้นตรงและในระนาบได้อย่างไร ดังนั้นชีวิตจึงไม่พอ! แต่โชคดีสำหรับเรา นักคณิตศาสตร์ช่วยเราจากฝันร้ายแห่งความไม่มีที่สิ้นสุดด้วยการประดิษฐ์คิดค้น สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของเส้นและระนาบ.

ให้เรากำหนด:

ให้คะแนนว่ามันยอดเยี่ยมแค่ไหน:

หากมีเส้นตรงเพียงสองเส้น (และ) ในระนาบที่เส้นตรงตั้งฉาก เส้นตรงนี้จะกลายเป็นตั้งฉากกับระนาบทันที นั่นคือกับเส้นตรงทั้งหมดในระนาบนี้ (รวมถึงเส้นตรงบางเส้นด้วย) เส้นยืนด้านข้าง) นี่เป็นทฤษฎีบทที่สำคัญมาก ดังนั้นเราจะวาดความหมายของมันในรูปแบบของแผนภาพด้วย

และมาดูอีกครั้ง ตัวอย่าง.

ให้เราได้รับจัตุรมุขปกติ

ภารกิจ: พิสูจน์สิ่งนั้น คุณจะพูดว่า: นี่คือสองเส้นตรง! เส้นตั้งฉากกับระนาบเกี่ยวอะไรด้วย?!

แต่ดูสิ:

มาทำเครื่องหมายตรงกลางขอบแล้ววาดและ พวกนี้คือค่ามัธยฐานในและ สามเหลี่ยมเป็นประจำและ...

นี่คือปาฏิหาริย์: ปรากฎว่าตั้งแต่และ และยิ่งไปกว่านั้นถึงเส้นตรงทุกเส้นในระนาบซึ่งหมายถึงและ พวกเขาพิสูจน์แล้ว และจุดที่สำคัญที่สุดคือการใช้เครื่องหมายตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบอย่างแม่นยำ

เมื่อระนาบตั้งฉาก

คำนิยาม:

นั่นคือ (สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม ดูหัวข้อ "มุมไดฮีดรัล") ระนาบสองอัน (และ) จะตั้งฉากกัน หากปรากฎว่ามุมระหว่างสองฉากตั้งฉาก (และ) กับเส้นตัดกันของระนาบเหล่านี้เท่ากัน และมีทฤษฎีบทที่เชื่อมโยงแนวคิดเรื่องระนาบตั้งฉากกับแนวคิดเรื่องตั้งฉากในปริภูมิของเส้นตรงและระนาบ

ทฤษฎีบทนี้เรียกว่า

เกณฑ์สำหรับความตั้งฉากของระนาบ

มากำหนดกัน:

และเช่นเคยการถอดรหัสคำว่า "จากนั้นเท่านั้น" จะมีลักษณะดังนี้:

ถ้าแล้วผ่านตั้งฉากกับ

ถ้ามันผ่านตั้งฉากกับแล้ว

(โดยธรรมชาติแล้ว ที่นี่เราเป็นเครื่องบิน)

ทฤษฎีบทนี้เป็นหนึ่งในทฤษฎีที่สำคัญที่สุดใน Stereometry แต่น่าเสียดายที่เป็นหนึ่งในทฤษฎีที่นำไปใช้ยากที่สุดเช่นกัน

ดังนั้นคุณต้องระวังให้มาก!

ดังนั้น ประโยคที่ว่า

และถอดรหัสคำว่า "เมื่อนั้นเท่านั้น" อีกครั้ง ทฤษฎีบทระบุสองสิ่งพร้อมกัน (ดูรูป):

ลองใช้ทฤษฎีบทนี้เพื่อแก้ปัญหากัน

งาน: ให้ปิรามิดหกเหลี่ยมธรรมดามา ค้นหามุมระหว่างเส้นและ

สารละลาย:

เนื่องจากความจริงที่ว่าในปิรามิดปกติเมื่อฉายภาพจุดยอดจะตกลงไปที่กึ่งกลางของฐานปรากฎว่าเส้นตรงเป็นการฉายเส้นตรง

แต่เรารู้ว่ามันอยู่ในรูปหกเหลี่ยมปกติ เราใช้ทฤษฎีบทของสามตั้งฉาก:

และเราเขียนคำตอบ: .

ความตั้งฉากของเส้นตรงในอวกาศ สั้น ๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ

เส้นตั้งฉากของสองเส้น

เส้นตรงสองเส้นในอวกาศจะตั้งฉากกันถ้ามีมุมระหว่างเส้นทั้งสอง

ความตั้งฉากของเส้นตรงและระนาบ

เส้นจะตั้งฉากกับระนาบหากตั้งฉากกับเส้นทั้งหมดในระนาบนั้น

ความตั้งฉากของเครื่องบิน

ระนาบจะตั้งฉากถ้ามุมไดฮีดรัลระหว่างพวกมันเท่ากัน

เกณฑ์สำหรับความตั้งฉากของระนาบ

ระนาบสองระนาบจะตั้งฉากก็ต่อเมื่อระนาบใดระนาบหนึ่งผ่านตั้งฉากกับระนาบอีกระนาบหนึ่ง

ทฤษฎีบทสามตั้งฉาก:

เอาล่ะ หัวข้อมันจบลงแล้ว หากคุณกำลังอ่านบรรทัดเหล่านี้แสดงว่าคุณเจ๋งมาก

เพราะมีคนเพียง 5% เท่านั้นที่สามารถเชี่ยวชาญบางสิ่งได้ด้วยตัวเอง และถ้าคุณอ่านจนจบแสดงว่าคุณอยู่ใน 5% นี้!

ตอนนี้สิ่งที่สำคัญที่สุด

คุณเข้าใจทฤษฎีในหัวข้อนี้แล้ว และขอย้ำอีกครั้งว่า...นี่มันสุดยอดมาก! คุณเก่งกว่าคนรอบข้างส่วนใหญ่อยู่แล้ว

ปัญหาคือว่านี่อาจไม่เพียงพอ...

เพื่ออะไร?

สำหรับการผ่านการสอบ Unified State ได้สำเร็จ เพื่อเข้าวิทยาลัยด้วยงบประมาณ และที่สำคัญที่สุดคือตลอดชีวิต

ฉันจะไม่โน้มน้าวคุณในสิ่งใด ฉันจะพูดสิ่งเดียวเท่านั้น...

ผู้ที่ได้รับการศึกษาที่ดีจะมีรายได้มากกว่าผู้ที่ไม่ได้รับการศึกษา นี่คือสถิติ

แต่นี่ไม่ใช่สิ่งสำคัญ

สิ่งสำคัญคือพวกเขามีความสุขมากขึ้น (มีการศึกษาเช่นนี้) อาจเป็นเพราะโอกาสอีกมากมายเปิดอยู่ตรงหน้าและชีวิตก็สดใสขึ้นใช่ไหม? ไม่รู้...

แต่คิดเอาเองนะ...

ต้องใช้อะไรบ้างเพื่อให้แน่ใจว่าจะดีกว่าคนอื่นๆ ในการสอบ Unified State และสุดท้ายจะ... มีความสุขมากขึ้น?

รับมือกับปัญหาในหัวข้อนี้

คุณจะไม่ถูกถามถึงทฤษฎีในระหว่างการสอบ

คุณจะต้อง แก้ปัญหากับเวลา.

และหากคุณยังไม่ได้แก้ไข (มาก!) คุณจะทำผิดพลาดโง่ ๆ อย่างแน่นอนหรือไม่มีเวลาเลย

มันเหมือนกับในกีฬา คุณต้องทำซ้ำหลาย ๆ ครั้งจึงจะชนะอย่างแน่นอน

ค้นหาคอลเลกชันทุกที่ที่คุณต้องการ จำเป็นต้องมีวิธีแก้ปัญหาการวิเคราะห์โดยละเอียดและตัดสินใจ ตัดสินใจ ตัดสินใจ!

คุณสามารถใช้งานของเรา (ไม่จำเป็น) และแน่นอนว่าเราแนะนำพวกเขา

เพื่อให้ใช้งานของเราได้ดียิ่งขึ้น คุณต้องช่วยยืดอายุหนังสือเรียน YouClever ที่คุณกำลังอ่านอยู่

ยังไง? มีสองตัวเลือก:

ปลดล็อคงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความนี้ -
ปลดล็อกการเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดในบทความทั้ง 99 บทของหนังสือเรียน - ซื้อหนังสือเรียน - 899 RUR

ใช่ เรามีบทความดังกล่าว 99 บทความในหนังสือเรียนของเราและเข้าถึงงานทั้งหมดได้ และสามารถเปิดข้อความที่ซ่อนอยู่ในนั้นได้ทันที

การเข้าถึงงานที่ซ่อนอยู่ทั้งหมดมีให้ตลอดอายุการใช้งานของไซต์

และโดยสรุป...

หากคุณไม่ชอบงานของเราก็หาคนอื่น อย่าหยุดอยู่ที่ทฤษฎีเท่านั้น

“เข้าใจแล้ว” และ “ฉันแก้ได้” เป็นทักษะที่แตกต่างกันอย่างสิ้นเชิง คุณต้องการทั้งสองอย่าง

ค้นหาปัญหาและแก้ไข!

แนวคิดเรื่องระนาบตั้งฉาก

เมื่อระนาบสองระนาบตัดกัน เราจะได้มุมไดฮีดรัล $4$ มุมสองมุมมีค่าเท่ากับ $\varphi $ และอีกสองมุมเท่ากับ $(180)^0-\varphi $

คำจำกัดความ 1

มุมระหว่างระนาบคือค่าต่ำสุดของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้

คำจำกัดความ 2

ระนาบที่ตัดกันสองอันจะเรียกว่าตั้งฉากถ้ามุมระหว่างระนาบเหล่านี้คือ $90^\circ$ (รูปที่ 1)

รูปที่ 1. ระนาบตั้งฉาก

สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ

ทฤษฎีบท 1

ถ้าเส้นตรงของระนาบตั้งฉากกับระนาบอื่น ระนาบเหล่านี้จะตั้งฉากกัน

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับระนาบ $\alpha $ และ $\beta $ ซึ่งตัดกันตามเส้นตรง $AC$ ให้เส้นตรง $AB$ ที่อยู่ในระนาบ $\alpha $ ตั้งฉากกับระนาบ $\beta $ (รูปที่ 2)

รูปที่ 2.

เนื่องจากเส้น $AB$ ตั้งฉากกับระนาบ $\beta$ จึงตั้งฉากกับเส้น $AC$ ด้วยเช่นกัน ให้เราวาดเส้น $AD$ เพิ่มเติมในระนาบ $\beta$ ซึ่งตั้งฉากกับเส้น $AC$

เราพบว่ามุม $BAD$ เป็นมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัล เท่ากับ $90^\circ$ นั่นคือ ตามคำจำกัดความที่ 1 มุมระหว่างระนาบคือ $90^\circ$ ซึ่งหมายความว่าระนาบเหล่านี้ตั้งฉากกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทต่อไปนี้ตามมาจากทฤษฎีบทนี้

ทฤษฎีบท 2

หากระนาบตั้งฉากกับเส้นตรงที่ระนาบอีกสองระนาบตัดกัน ระนาบนั้นจะตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้ด้วย

การพิสูจน์.

ให้เราได้รับระนาบสองระนาบ $\alpha $ และ $\beta $ ที่ตัดกันตามเส้นตรง $c$ ระนาบ $\gamma $ ตั้งฉากกับเส้นตรง $c$ (รูปที่ 3)

รูปที่ 3.

เนื่องจากเส้น $c$ เป็นของระนาบ $\alpha $ และระนาบ $\gamma $ ตั้งฉากกับเส้น $c$ ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 ระนาบ $\alpha $ และ $\gamma $ จึงตั้งฉากกัน

เนื่องจากเส้น $c$ เป็นของระนาบ $\beta $ และระนาบ $\gamma $ ตั้งฉากกับเส้น $c$ ดังนั้นตามทฤษฎีบทที่ 1 ระนาบ $\beta $ และ $\gamma $ จึงตั้งฉากกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

สำหรับแต่ละทฤษฎีบทเหล่านี้ ประโยคสนทนาก็เป็นจริงเช่นกัน

ปัญหาตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

ให้ $ABCDA_1B_1C_1D_1$ เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน ค้นหาระนาบตั้งฉากทุกคู่ (รูปที่ 5)

รูปที่ 4.

สารละลาย.

ตามคำจำกัดความของระนาบสี่เหลี่ยมด้านขนานและตั้งฉากกัน เราจะเห็นระนาบแปดคู่ต่อไปนี้ตั้งฉากกัน: $(ABB_1)$ และ $(ADD_1)$, $(ABB_1)$ และ $(A_1B_1C_1)$, $( ABB_1)$ และ $(BCC_1) $, $(ABB_1)$ และ $(ABC)$, $(DCC_1)$ และ $(ADD_1)$, $(DCC_1)$ และ $(A_1B_1C_1)$, $(DCC_1) $ และ $(BCC_1)$, $(DCC_1)$ และ $(ABC)$

ตัวอย่างที่ 2

ขอให้เราได้รับระนาบตั้งฉากกันสองอัน จากจุดหนึ่งบนระนาบหนึ่ง เส้นตั้งฉากจะถูกวาดไปยังอีกระนาบหนึ่ง พิสูจน์ว่าเส้นนี้อยู่ในระนาบที่กำหนด

การพิสูจน์.

ขอให้เราได้รับระนาบตั้งฉาก $\alpha $ และ $\beta $ ที่ตัดกันตามเส้นตรง $c$ จากจุด $A$ ของระนาบ $\beta $ $AC$ ตั้งฉากกับระนาบ $\alpha $ สมมติว่า $AC$ ไม่ได้อยู่ในระนาบ $\beta$ (รูปที่ 6)

รูปที่ 5.

พิจารณาสามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก $ACB$ ดังนั้น $\มุม ABC\ne (90)^0$

แต่ในทางกลับกัน $\angle ABC$ คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ นั่นคือมุมไดฮีดรัลที่เกิดจากระนาบเหล่านี้ไม่เท่ากับ 90 องศา เราพบว่ามุมระหว่างระนาบไม่เท่ากับ $90^\circ$ ความขัดแย้ง ดังนั้น $AC$ จึงอยู่ในระนาบ $\beta$

หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

บทเรียน: สัญลักษณ์ของการตั้งฉากของระนาบสองระนาบ

ข้าว. 1

ข้าว. 2

พิสูจน์:

ข้าว. 3

การพิสูจน์:

เส้นตรง AB ตั้งฉากกับระนาบ β ดังนั้นกับเส้นตรง AC ที่อยู่ในระนาบ β

พิสูจน์:

ข้าว. 4

การพิสูจน์: