S stranska površina valja. Kako najti površino valja

Vrtilna telesa, ki jih preučujejo v šoli, so valj, stožec in krogla.

Če morate v nalogi na enotnem državnem izpitu iz matematike izračunati prostornino stožca ali površino krogle, menite, da ste srečni.

Uporabite formule za prostornino in površino valja, stožca in krogle. Vsi so v naši tabeli. Učijo na pamet. Tu se začne poznavanje stereometrije.

Včasih je dobro narisati pogled od zgoraj. Ali, kot v tem problemu, od spodaj.

2. Kolikokrat je prostornina stožca, opisanega okrog pravilne štirikotne piramide, večja od prostornine stožca, včrtanega tej piramidi?

Preprosto je - narišite pogled od spodaj. Vidimo, da je polmer večjega kroga krat večji od polmera manjšega. Višini obeh stožcev sta enaki. Zato bo prostornina večjega stožca dvakrat večja.

Še ena pomembna točka. Ne pozabite, da je v nalogah dela B Možnosti enotnega državnega izpita pri matematiki je odgovor zapisan kot celo število ali končni decimalni ulomek. Zato v vašem odgovoru v delu B ne sme biti nobenega ali. Tudi približne vrednosti števila ni treba zamenjati! Vsekakor se mora skrčiti! V ta namen je v nekaterih težavah naloga oblikovana, na primer, kot sledi: "Poiščite površino bočne površine valja, deljeno s."

Kje drugje se uporabljajo formule za prostornino in površino vrtilnih teles? Seveda v nalogi C2 (16). O tem vam bomo tudi povedali.

Valj je figura, sestavljena iz cilindrične površine in dveh vzporednih krogov. Izračun površine valja je problem v geometrijski veji matematike, ki ga je mogoče rešiti precej preprosto. Obstaja več metod za reševanje, ki se na koncu vedno skrčijo na eno formulo.

Kako najti površino valja - pravila za izračun

Če želite izvedeti površino valja, morate dodati dve površini osnove s površino stranske površine: S = Sstran + 2Sosnova. V podrobnejši različici je ta formula videti takole: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Bočno površino danega geometrijskega telesa je mogoče izračunati, če sta znana njegova višina in polmer kroga, ki leži na njegovem dnu. IN v tem primeru lahko izrazimo polmer iz oboda kroga, če je podan. Višino je mogoče najti, če je v pogoju navedena vrednost generatorja. V tem primeru bo generatrisa enaka višini. Formula za stransko ploskev tega telesa izgleda takole: S= 2 π rh.
Površina baze se izračuna po formuli za iskanje površine kroga: S osn= π r 2 . Pri nekaterih nalogah polmer morda ni podan, lahko pa je podan obseg. S to formulo se polmer izrazi precej enostavno. С=2π r, r= С/2π. Zapomniti si morate tudi, da je polmer polovica premera.
Pri izvajanju vseh teh izračunov se število π običajno ne pretvori v 3,14159 ... Samo dodati ga je treba poleg številčna vrednost, ki je bila pridobljena kot rezultat izračunov.
Nato morate le pomnožiti najdeno površino osnove z 2 in dobljeni številki dodati izračunano površino stranske površine figure.
Če problem kaže, da ima valj osni prerez in da je pravokotnik, bo rešitev nekoliko drugačna. V tem primeru bo širina pravokotnika enaka premeru kroga, ki leži na dnu telesa. Dolžina figure bo enaka generatrisi ali višini valja. Potrebno je izračunati zahtevane vrednosti in jih nadomestiti z že znano formulo. V tem primeru je treba širino pravokotnika deliti z dvema, da bi našli površino osnove. Da bi našli stransko površino, dolžino pomnožimo z dvema polmeroma in številom π.
Ploščino danega geometrijskega telesa lahko izračunate z njegovo prostornino. Če želite to narediti, morate manjkajočo vrednost izpeljati iz formule V=π r 2 h.
Pri izračunu površine valja ni nič zapletenega. Samo poznati morate formule in znati iz njih izpeljati količine, potrebne za izvedbo izračunov.

Pri preučevanju stereometrije je ena glavnih tem "Cilinder". Območje stranske površine velja, če ne za glavno, potem pa za pomembno formulo pri reševanju geometrijskih problemov. Vendar je pomembno, da si zapomnite definicije, ki vam bodo pomagale pri krmarjenju po primerih in pri dokazovanju različnih izrekov.

Koncept cilindra

Najprej je treba upoštevati nekaj definicij. Šele po njihovem preučevanju lahko začnemo obravnavati vprašanje formule za površino bočne površine valja. Na podlagi tega zapisa je mogoče izračunati druge izraze.

Cilindrično površino razumemo kot ravnino, ki jo opisuje generatrisa, ki se premika in ostaja vzporedna z dano smerjo, drsi vzdolž obstoječe krivulje.
Obstaja tudi druga definicija: cilindrična površina je sestavljena iz niza vzporednih črt, ki sekajo dano krivuljo.
Generatris se običajno imenuje višina valja. Ko se premika okoli osi, ki poteka skozi središče baze, dobimo označeno geometrijsko telo.
Z osjo razumemo ravno črto, ki poteka skozi obe osnovi figure.
Valj je stereometrično telo, ki ga omejujejo stranska ploskev in dve vzporedni ravnini.

Obstajajo sorte te volumetrične figure:

S krožnico razumemo valj, katerega vodilo je krog. Njegovi glavni komponenti sta polmer baze in generatrisa. Slednja je enaka višini figure.
Obstaja ravni valj. Ime je dobil zaradi pravokotnosti oblikovane figure na baze.
Tretja vrsta je poševni valj. V učbenikih lahko najdete drugo ime za to: "krožni valj s poševno osnovo." Ta številka je določena s polmerom osnove, najmanjšo in največjo višino.
Enakostranični valj razumemo kot telo, ki ima enako višino in premer krožne ravnine.

Legenda

Tradicionalno se glavne "sestavne dele" cilindra imenujejo takole:

Polmer baze je R (nadomešča tudi podobno vrednost stereometričnega lika).
Generator - L.
Višina - H.
Območje baze je osnova S (z drugimi besedami, potrebno je najti določen parameter kroga).
Višini poševnega valja sta h 1 , h 2 (najmanjša in največja).
Stranska ploskev je S stran (če jo razgrnete, dobite nekakšen pravokotnik).
Prostornina stereometričnega lika je V.
Skupna površina - S.

"Sestavine" stereometrične figure

Pri preučevanju cilindra ima stranska površina pomembno vlogo. To je posledica dejstva, da je ta formula vključena v več drugih, bolj zapletenih. Zato je treba dobro teoretično podkovati.

Glavne komponente figure so:

Stranska površina. Kot je znano, se dobi zaradi gibanja generatrix vzdolž dane krivulje.
Celotna površina vključuje obstoječe baze in stransko ravnino.
Prečni prerez valja je praviloma pravokotnik, ki se nahaja vzporedno z osjo figure. V nasprotnem primeru se imenuje letalo. Izkazalo se je, da sta dolžina in širina tudi sestavni deli drugih figur. Torej so konvencionalno dolžine odseka generatorji. Širina - vzporedni akordi stereometrične figure.
Z osnim prerezom razumemo lokacijo ravnine skozi središče telesa.
In končno, končna definicija. Tangenta je ravnina, ki poteka skozi generatriko valja in se nahaja pravokotno na osni odsek. V tem primeru mora biti izpolnjen en pogoj. Navedena generatrisa mora biti vključena v ravnino osnega prereza.

Osnovne formule za delo z valjem

Da bi odgovorili na vprašanje, kako najti površino valja, je treba preučiti glavne "sestavne dele" stereometrične figure in formule za njihovo iskanje.

Te formule se razlikujejo po tem, da so najprej podani izrazi za poševni valj, nato pa za ravni.

Primeri z razstavljeno rešitvijo

Treba je ugotoviti površino bočne površine valja. Podana je diagonala odseka AC = 8 cm (in je osna). Ob stiku z generatriko se izkaže< ACD = 30°

rešitev. Ker so vrednosti diagonale in kota znane, potem v tem primeru:

CD = AC*cos 30°.

Komentar. Trikotnik ACD je v konkretnem primeru pravokoten. To pomeni, da je količnik CD in AC = kosinus obstoječega kota. Pomen trigonometričnih funkcij najdete v posebni tabeli.

Podobno lahko najdete vrednost AD:

AD = AC*sin 30°

Zdaj morate izračunati želeni rezultat z naslednjo formulacijo: površina stranske površine valja je enaka dvakratnemu rezultatu množenja "pi", polmera figure in njegove višine. Uporabiti je treba drugo formulo: površino osnove valja. Je enak rezultatu množenja "pi" s kvadratom polmera. In končno, zadnja formula: skupna površina. Je enaka vsoti prejšnjih dveh površin.

Cilindri so podani. Njihova prostornina = 128*p cm³. Kateri valj ima najmanjšo skupno površino?

rešitev. Najprej morate uporabiti formule za iskanje prostornine figure in njene višine.

Ker je skupna površina valja znana iz teorije, je treba uporabiti njegovo formulo.

Če dobljeno formulo upoštevamo kot funkcijo površine valja, bo najmanjši "indikator" dosežen na skrajni točki. Za pridobitev zadnje vrednosti morate uporabiti diferenciacijo.

Formule si lahko ogledate v posebni tabeli za iskanje izpeljank. Nato se najdeni rezultat izenači z nič in najde se rešitev enačbe.

Odgovor: S min bo dosežen pri h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Podana je stereometrična slika - valj in presek. Slednji se izvede tako, da se nahaja vzporedno z osjo stereometričnega telesa. Valj ima naslednje parametre: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm. Treba je najti razdaljo med odsekom in osjo.

Ker prečni prerez valja razumemo kot VSKM, tj. pravokotnik, potem je njegova stranica BM = h. Upoštevati je treba VMC. Trikotnik je pravokoten trikotnik. Na podlagi te trditve lahko izpeljemo pravilno predpostavko, da je MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

Iz tega lahko sklepamo, da je MK = BC = 8 cm.

Naslednji korak je narisati prerez skozi dno figure. Upoštevati je treba nastalo ravnino.

AD je premer stereometričnega lika. Je vzporeden z odsekom, omenjenim v izjavi o problemu.

BC je ravna črta, ki se nahaja na ravnini obstoječega pravokotnika.

ABCD - trapez. V tem konkretnem primeru se šteje za enakokrakega, saj je okrog njega obkrožen krog.

Če najdete višino nastalega trapeza, lahko dobite odgovor, podan na začetku naloge. In sicer: iskanje razdalje med osjo in narisanim prerezom.

Če želite to narediti, morate najti vrednosti AD in OS.

Odgovor: odsek se nahaja 3 cm od osi.

Naloge za utrjevanje snovi

Glede na valj. Bočna površina se uporabi v naslednji rešitvi. Drugi parametri so znani. Osnovna površina je Q, površina osnega prereza je M. Treba je najti S. Z drugimi besedami, skupna površina valja.

Glede na valj. Območje stranske površine je treba najti v enem od korakov reševanja problema. Znano je, da je višina = 4 cm, polmer = 2 cm. Treba je najti celotno površino stereometrične figure.

Površina valja. V tem članku si bomo ogledali naloge, povezane s površino. Blog je že obravnaval naloge z vrtilnim telesom, kot je stožec. Med vrtilna telesa spada tudi valj. Kaj je potrebno in potrebno vedeti o površini valja? Poglejmo razvoj cilindra:

Zgornja in spodnja osnova sta dva enaka kroga:

Stranska površina je pravokotnik. Poleg tega je ena stran tega pravokotnika enaka višini valja, druga pa je enaka obodu osnove. Naj vas spomnim, da je obseg kroga:

Torej, formula za površino valja je:

* Te formule se ni treba naučiti! Dovolj je poznati formule za površino kroga in dolžino njegovega oboda, nato pa lahko vedno zapišete določeno formulo. Pomembno je razumeti! Razmislimo o nalogah:

Obseg osnove valja je 3. Stranska površina je 6. Poiščite višino in površino valja (predpostavimo, da je Pi 3,14 in rezultat zaokrožite na najbližjo desetino).

Skupna površina cilindra:

Podan je obseg podnožja in stranska površina valja. To pomeni, da nam je dana površina pravokotnika in ena od njegovih strani, najti moramo drugo stran (to je višina valja):

Potreben je polmer in nato lahko najdemo določeno območje.

Obseg osnove je enak trem, potem zapišemo:

torej

Če zaokrožimo na najbližjo desetino, dobimo 7,4.

Odgovor: h = 2; S = 7,4

Stranska površina valja je 72Pi, premer osnove pa 9. Poiščite višino valja.

Pomeni

Odgovor: 8

Bočna površina cilindra je 64Pi, višina pa 8. Poiščite premer baze.

Bočno površino valja najdemo po formuli:

Premer je enak dvema polmeroma, kar pomeni:

Odgovor: 8

27058. Polmer osnove valja je 2, višina pa 3. Poiščite stransko površino valja, deljeno s Pi.

27133. Obseg osnove valja je 3, višina 2. Poiščite površino stranske površine valja.

Kako izračunati površino valja je tema tega članka. Pri vsakem matematičnem problemu morate začeti z vnosom podatkov, določiti, kaj je znano in s čim operirati v prihodnosti, in šele nato nadaljevati neposredno z izračunom.

To volumetrično telo je valjasta geometrijska figura, ki je zgoraj in spodaj omejena z dvema vzporednima ravninama. Če boste uporabili malo domišljije, boste opazili, da geometrijsko telo nastane z vrtenjem pravokotnika okoli osi, pri čemer je ena od njegovih stranic os.

Iz tega sledi, da bo krivulja, opisana nad in pod valjem, krog, katerega glavni indikator je polmer ali premer.

Površina valja - spletni kalkulator

Ta funkcija končno poenostavi postopek izračuna in vse se zmanjša na samodejno zamenjavo določenih vrednosti za višino in polmer (premer) osnove figure. Edino, kar je potrebno, je natančno določiti podatke in se ne zmotiti pri vnosu številk.

Površina bočne površine cilindra

Najprej si morate predstavljati, kako izgleda skeniranje v dvodimenzionalnem prostoru.

To ni nič drugega kot pravokotnik, katerega ena stran je enaka obodu. Njegova formula je znana že od nekdaj - 2π *r, Kje r- polmer kroga. Druga stranica pravokotnika je enaka višini h. Najti, kar iščete, ne bo težko.

Sstrani= 2π *r*h,

kje je številka π = 3,14.

Skupna površina valja

Če želite najti skupno površino valja, morate uporabiti dobljeno S stran seštejte ploščini dveh krogov, zgornjega in spodnjega dela valja, ki ju izračunate po formuli S o =2π * r 2 .

Končna formula izgleda takole:

Snadstropje= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Površina valja - formula skozi premer

Za lažje izračune je včasih potrebno izvesti izračune skozi premer. Na primer, obstaja kos votle cevi znanega premera.

Ne da bi se obremenjevali z nepotrebnimi izračuni, smo že pripravljena formula. Na pomoč priskoči algebra 5. razred.

Sspol = 2π*r 2 + 2 π * r * h= 2 π * d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Namesto r V polna formula treba vnesti vrednost r =d/2.

Primeri izračuna površine valja

Oboroženi z znanjem, začnimo vaditi.

Primer 1. Treba je izračunati površino okrnjenega kosa cevi, to je valja.

Imamo r = 24 mm, h = 100 mm. Uporabiti morate formulo skozi polmer:

S tla = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Preračunamo na običajne m2 in dobimo 0,01868928, približno 0,02 m2.

Primer 2. Potrebno je ugotoviti površino notranje površine azbestne peči, katere stene so obložene z ognjevzdržnimi opekami.

Podatki so naslednji: premer 0,2 m; višina 2 m Uporabimo formulo glede na premer:

S tla = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Primer 3. Kako ugotoviti, koliko materiala je potrebno za šivanje torbe, r = 1 m in 1 m višine.

Trenutek, obstaja formula:

S stran = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Zaključek

Na koncu članka se je pojavilo vprašanje: ali so vsi ti izračuni in pretvorbe ene vrednosti v drugo res potrebni? Zakaj je vse to potrebno in predvsem za koga? A ne zanemarite in ne pozabite preprostih formul iz srednje šole.

Svet je stal in bo stal na elementarnem znanju, tudi matematiki. In ko začnete s kakršnim koli pomembnim delom, ni nikoli slaba ideja, da si osvežite spomin na te izračune in jih uporabite v praksi z odličnim učinkom. Natančnost - vljudnost kraljev.