S powierzchnia boczna cylindra. Jak znaleźć obszar cylindra

Ciała wirujące badane w szkole to walec, stożek i kula.

Jeśli w zadaniu na egzaminie jednolitym z matematyki musisz obliczyć objętość stożka lub pole kuli, uważaj się za szczęściarza.

Zastosuj wzory na objętość i powierzchnię walca, stożka i kuli. Wszystkie są na naszym stole. Ucz się na pamięć. Tutaj zaczyna się wiedza o stereometrii.

Czasem dobrze jest narysować widok z góry. Lub, jak w tym problemie, od dołu.

2. Ile razy objętość stożka opisanego na regularnej czworokątnej piramidzie jest większa od objętości stożka wpisanego w tę piramidę?

To proste - narysuj widok od dołu. Widzimy, że promień większego okręgu jest razy większy niż promień mniejszego. Wysokość obu stożków jest taka sama. Dlatego objętość większego stożka będzie dwukrotnie większa.

Inny ważny punkt. Pamiętajcie, że w zadaniach części B Opcje ujednoliconego egzaminu stanowego w matematyce odpowiedź zapisuje się jako liczbę całkowitą lub skończoną część dziesiętną. Dlatego w Twojej odpowiedzi w części B nie powinno być żadnego lub. Nie ma też potrzeby podstawiania przybliżonej wartości liczby! Zdecydowanie musi się skurczyć! W tym celu w niektórych problemach zadanie formułuje się na przykład w następujący sposób: „Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra podzielone przez”.

Gdzie jeszcze stosuje się wzory na objętość i powierzchnię ciał obrotowych? Oczywiście w zadaniu C2 (16). O tym również opowiemy.

Cylinder to figura składająca się z cylindrycznej powierzchni i dwóch równoległych okręgów. Obliczanie pola cylindra jest problemem w geometrycznej gałęzi matematyki, który można rozwiązać po prostu. Metod jego rozwiązania jest kilka, które ostatecznie zawsze sprowadzają się do jednego wzoru.

Jak znaleźć pole cylindra - zasady obliczeń

• Aby obliczyć powierzchnię cylindra, należy dodać dwa obszary podstawy do pola powierzchni bocznej: S = Sside + 2Sbase. W bardziej szczegółowej wersji wzór ten wygląda następująco: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
• Pole powierzchni bocznej danej bryły geometrycznej można obliczyć, jeśli znana jest jej wysokość i promień okręgu leżącego u jej podstawy. W w tym przypadku można wyrazić promień z obwodu koła, jeśli jest dany. Wysokość można znaleźć, jeśli w warunku podana jest wartość generatora. W tym przypadku tworząca będzie równa wysokości. Wzór na powierzchnię boczną tego ciała wygląda następująco: S= 2 π rh.
• Pole podstawy oblicza się za pomocą wzoru na znalezienie pola koła: S osn= π r 2 . W niektórych przypadkach promień może nie zostać podany, ale można podać obwód. Za pomocą tego wzoru promień można wyrazić dość łatwo. С=2π r, r= С/2π. Trzeba też pamiętać, że promień to połowa średnicy.
• Przy wykonywaniu tych wszystkich obliczeń liczba π zwykle nie przekłada się na 3,14159... Wystarczy ją dodać obok wartość liczbowa, który uzyskano w wyniku obliczeń.
• Następnie wystarczy pomnożyć znaleziony obszar podstawy przez 2 i dodać do otrzymanej liczby obliczony obszar powierzchni bocznej figury.
• Jeśli problem wskaże, że cylinder ma przekrój osiowy i jest prostokątem, to rozwiązanie będzie nieco inne. W tym przypadku szerokość prostokąta będzie średnicą okręgu leżącego u podstawy ciała. Długość figury będzie równa tworzącej lub wysokości cylindra. Konieczne jest obliczenie wymaganych wartości i zastąpienie ich znanym już wzorem. W takim przypadku szerokość prostokąta należy podzielić przez dwa, aby znaleźć pole podstawy. Aby znaleźć powierzchnię boczną, długość mnoży się przez dwa promienie i liczbę π.
• Pole danej bryły geometrycznej możesz obliczyć poprzez jej objętość. Aby to zrobić, należy wyprowadzić brakującą wartość ze wzoru V=π r 2 h.
• Obliczanie powierzchni cylindra nie jest skomplikowane. Wystarczy znać wzory i umieć z nich wyprowadzić wielkości niezbędne do przeprowadzenia obliczeń.

Podczas studiowania stereometrii jednym z głównych tematów jest „Cylinder”. Obszar powierzchni bocznej jest uważany, jeśli nie za główny, to ważny wzór przy rozwiązywaniu problemów geometrycznych. Warto jednak pamiętać o definicjach, które ułatwią poruszanie się po przykładach i udowadnianiu różnych twierdzeń.

Koncepcja cylindra

Najpierw należy rozważyć kilka definicji. Dopiero po ich przestudiowaniu możemy zacząć rozważać kwestię wzoru na pole powierzchni bocznej walca. Na podstawie tego zapisu można obliczyć inne wyrażenia.

• Przez powierzchnię cylindryczną rozumie się płaszczyznę opisaną przez tworzącą, która porusza się i pozostaje równoległa do zadanego kierunku, przesuwając się po istniejącej krzywej.
• Istnieje również druga definicja: powierzchnię cylindryczną tworzy zbiór równoległych linii przecinających daną krzywą.
• Tworząca jest umownie nazywana wysokością cylindra. Kiedy porusza się wokół osi przechodzącej przez środek podstawy, uzyskuje się wskazaną bryłę geometryczną.
• Przez oś rozumiemy linię prostą przechodzącą przez obie podstawy figury.
• Cylinder jest bryłą stereometryczną ograniczoną przecinającą się powierzchnią boczną i dwiema równoległymi płaszczyznami.

Istnieją odmiany tej figury wolumetrycznej:

1. Przez okrągły rozumiemy cylinder, którego prowadnicą jest okrąg. Jego głównymi składnikami są promień podstawy i tworząca. Ta ostatnia jest równa wysokości figury.
2. Jest prosty cylinder. Swoją nazwę otrzymał ze względu na prostopadłość figury formującej do podstaw.
3. Trzeci typ to cylinder skośny. W podręcznikach można znaleźć na to inną nazwę: „okrągły cylinder ze ściętą podstawą”. Liczba ta zależy od promienia podstawy, minimalnej i maksymalnej wysokości.
4. Przez cylinder równoboczny rozumie się bryłę o jednakowej wysokości i średnicy płaszczyzny kołowej.

Legenda

Tradycyjnie główne „elementy” cylindra nazywane są w następujący sposób:

• Promień podstawy wynosi R (zastępuje również podobną wartość figury stereometrycznej).
• Generator - L.
• Wysokość - H.
• Pole podstawy to podstawa S (innymi słowy konieczne jest znalezienie określonego parametru okręgu).
• Wysokości skośnego cylindra wynoszą h 1 , h 2 (minimalna i maksymalna).
• Pole powierzchni bocznej to bok S (po rozłożeniu otrzymamy coś w rodzaju prostokąta).
• Objętość figury stereometrycznej wynosi V.
• Powierzchnia całkowita - S.

„Składniki” figury stereometrycznej

Podczas badania cylindra ważną rolę odgrywa powierzchnia boczna. Wynika to z faktu, że formuła ta zawiera się w kilku innych, bardziej złożonych. Dlatego konieczna jest dobra znajomość teorii.

Główne elementy figury to:

1. Powierzchnia boczna. Jak wiadomo, uzyskuje się to w wyniku ruchu tworzącej po zadanej krzywej.
2. Kompletna powierzchnia obejmuje istniejące podstawy i płaszczyznę boczną.
3. Przekrój cylindra z reguły jest prostokątem umieszczonym równolegle do osi figury. W przeciwnym razie nazywa się to samolotem. Okazuje się, że długość i szerokość są również składnikami innych figur. Zatem konwencjonalnie długości przekroju są generatorami. Szerokość - równoległe cięciwy figury stereometrycznej.
4. Przez przekrój osiowy rozumiemy położenie płaszczyzny przechodzącej przez środek korpusu.
5. I na koniec ostateczna definicja. Styczna jest płaszczyzną przechodzącą przez tworzącą cylindra i umieszczoną pod kątem prostym do przekroju osiowego. W takim przypadku musi być spełniony jeden warunek. Podana tworząca musi mieścić się w płaszczyźnie przekroju osiowego.

Podstawowe wzory pracy z cylindrem

Aby odpowiedzieć na pytanie, jak znaleźć pole powierzchni cylindra, należy przestudiować główne „składniki” figury stereometrycznej i wzory na ich znalezienie.

Wzory te różnią się tym, że najpierw podaje się wyrażenia dla cylindra skośnego, a następnie dla cylindra prostego.

Przykłady ze zdemontowanym rozwiązaniem

Konieczne jest sprawdzenie obszaru powierzchni bocznej cylindra. Podana jest przekątna odcinka AC = 8 cm (i jest ona osiowa). Okazuje się, że po kontakcie z generatorem< ACD = 30°

Rozwiązanie. Ponieważ znane są wartości przekątnej i kąta, w tym przypadku:

• CD = AC*cos 30°.

Komentarz. Trójkąt ACD w konkretnym przykładzie jest prostokątny. Oznacza to, że iloraz CD i AC = cosinus istniejącego kąta. Znaczenie funkcji trygonometrycznych można znaleźć w specjalnej tabeli.

Podobnie możesz znaleźć wartość AD:

• AD = AC*sin 30°

Teraz musisz obliczyć pożądany wynik, korzystając z następującego wzoru: powierzchnia bocznej powierzchni cylindra jest równa dwukrotności wyniku pomnożenia „pi”, promienia figury i jej wysokości. Należy zastosować inny wzór: pole podstawy cylindra. Jest ona równa wynikowi pomnożenia „pi” przez kwadrat promienia. I na koniec ostatnia formuła: powierzchnia całkowita. Jest równy sumie dwóch poprzednich obszarów.

Cylindry są podane. Ich objętość = 128*p cm3. Który cylinder ma najmniejszą powierzchnię całkowitą?

Rozwiązanie. Najpierw musisz skorzystać ze wzorów na znalezienie objętości figury i jej wysokości.

Ponieważ z teorii znana jest całkowita powierzchnia cylindra, konieczne jest zastosowanie jego wzoru.

Jeśli weźmiemy pod uwagę otrzymany wzór jako funkcję powierzchni cylindra, wówczas minimalny „wskaźnik” zostanie osiągnięty w punkcie ekstremalnym. Aby uzyskać ostatnią wartość, należy zastosować różniczkowanie.

Wzory można przeglądać w specjalnej tabeli służącej do wyszukiwania pochodnych. Następnie znaleziony wynik przyrównuje się do zera i znajduje rozwiązanie równania.

Odpowiedź: S min zostanie osiągnięte przy h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Podano figurę stereometryczną - cylinder i przekrój. Ten ostatni jest realizowany w taki sposób, że jest umieszczony równolegle do osi bryły stereometrycznej. Cylinder ma następujące parametry: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm. Konieczne jest znalezienie odległości między przekrojem a osią.

Ponieważ przez przekrój walca rozumie się VSKM, czyli prostokąt, to jego bok BM = h. Należy rozważyć VMC. Trójkąt jest trójkątem prostokątnym. Na podstawie tego stwierdzenia możemy wyprowadzić prawidłowe założenie, że MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² – VM²

MK² = 17² - 15²

Z tego możemy wywnioskować, że MK = BC = 8 cm.

Następnym krokiem jest narysowanie przekroju przez podstawę figury. Należy wziąć pod uwagę powstałą płaszczyznę.

AD jest średnicą figury stereometrycznej. Jest ona równoległa do sekcji wspomnianej w opisie problemu.

BC jest linią prostą umieszczoną na płaszczyźnie istniejącego prostokąta.

ABCD - trapez. W tym konkretnym przypadku uważa się go za równoramienny, ponieważ wokół niego jest opisany okrąg.

Jeśli znajdziesz wysokość powstałego trapezu, możesz uzyskać odpowiedź podaną na początku zadania. Mianowicie: znalezienie odległości pomiędzy osią a narysowanym przekrojem.

Aby to zrobić, musisz znaleźć wartości AD i OS.

Odpowiedź: przekrój znajduje się 3 cm od osi.

Zadania mające na celu utrwalenie materiału

Biorąc pod uwagę cylinder. W kolejnym rozwiązaniu wykorzystywana jest powierzchnia boczna. Inne parametry są znane. Powierzchnia podstawy to Q, pole przekroju osiowego to M. Konieczne jest znalezienie S. Innymi słowy, całkowita powierzchnia cylindra.

Biorąc pod uwagę cylinder. Obszar powierzchni bocznej należy znaleźć w jednym z etapów rozwiązania problemu. Wiadomo, że wysokość = 4 cm, promień = 2 cm Konieczne jest znalezienie całkowitego pola figury stereometrycznej.

Powierzchnia cylindra. W tym artykule przyjrzymy się zadaniom związanym z powierzchnią. Na blogu omawialiśmy już zadania z korpusem obrotowym, takim jak stożek. Cylinder również należy do ciał obrotowych. Co musisz i musisz wiedzieć o powierzchni cylindra? Przyjrzyjmy się rozwojowi cylindra:

Górna i dolna podstawa to dwa równe koła:

Powierzchnia boczna jest prostokątem. Co więcej, jeden bok tego prostokąta jest równy wysokości walca, a drugi jest równy obwodowi podstawy. Przypominam, że obwód koła wynosi:

Zatem wzór na powierzchnię walca jest następujący:

*Nie musisz uczyć się tej formuły! Wystarczy znać wzory na pole koła i długość jego obwodu, wtedy zawsze można zapisać wskazany wzór. Zrozumienie tego jest ważne! Rozważmy zadania:

Obwód podstawy walca wynosi 3. Pole powierzchni bocznej wynosi 6. Znajdź wysokość i pole powierzchni walca (załóż, że Pi wynosi 3,14 i zaokrąglij wynik do najbliższej dziesiątej).

Całkowita powierzchnia cylindra:

Podano obwód podstawy i powierzchnię boczną cylindra. Oznacza to, że mamy obszar prostokąta i jeden z jego boków, musimy znaleźć drugi bok (jest to wysokość cylindra):

Promień jest wymagany i wtedy możemy znaleźć określony obszar.

Obwód podstawy jest równy trzy, następnie piszemy:

Zatem

Zaokrąglając do najbliższej dziesiątej, otrzymujemy 7,4.

Odpowiedź: h = 2; S = 7,4

Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi 72Pi, a średnica podstawy wynosi 9. Znajdź wysokość cylindra.

Oznacza

Odpowiedź: 8

Pole powierzchni bocznej cylindra wynosi 64Pi, a wysokość wynosi 8. Znajdź średnicę podstawy.

Pole powierzchni bocznej cylindra oblicza się ze wzoru:

Średnica jest równa dwóm promieniom, co oznacza:

Odpowiedź: 8

27058. Promień podstawy walca wynosi 2, a wysokość 3. Znajdź pole powierzchni bocznej walca podzielone przez Pi.

27133. Obwód podstawy cylindra wynosi 3, wysokość wynosi 2. Znajdź pole powierzchni bocznej cylindra.

Sposób obliczenia pola powierzchni cylindra jest tematem tego artykułu. W każdym problemie matematycznym należy zacząć od wprowadzenia danych, określić, co jest znane i z czym pracować w przyszłości, a dopiero potem przejść bezpośrednio do obliczeń.

Ta bryła wolumetryczna jest cylindryczną figurą geometryczną, ograniczoną u góry iu dołu dwiema równoległymi płaszczyznami. Jeśli zastosujesz odrobinę wyobraźni, zauważysz, że bryła geometryczna powstaje poprzez obrót prostokąta wokół osi, której jednym z boków jest oś.

Wynika z tego, że krzywa opisana powyżej i poniżej cylindra będzie kołem, którego głównym wskaźnikiem jest promień lub średnica.

Powierzchnia cylindra – kalkulator online

Ta funkcja ostatecznie upraszcza proces obliczeń, a wszystko sprowadza się do automatycznego podstawienia określonych wartości dla wysokości i promienia (średnicy) podstawy figury. Jedyne, czego potrzeba, to dokładne określenie danych i nie popełnianie błędów przy wprowadzaniu liczb.

Powierzchnia boczna cylindra

Najpierw musisz sobie wyobrazić, jak wygląda skan w przestrzeni dwuwymiarowej.

To nic innego jak prostokąt, którego jeden bok jest równy obwodowi. Jego formuła znana jest od niepamiętnych czasów – 2π*R, Gdzie R- promień okręgu. Drugi bok prostokąta jest równy wysokości H. Znalezienie tego, czego szukasz, nie będzie trudne.

Sstrona= 2π *r*h,

gdzie jest numer π = 3,14.

Całkowita powierzchnia cylindra

Aby znaleźć całkowitą powierzchnię cylindra, musisz użyć wyniku Strona S dodaj pola dwóch okręgów, górę i dół walca, które oblicza się za pomocą wzoru Więc =2π * r 2 .

Ostateczna formuła wygląda następująco:

Spodłoga= 2π * r2+ 2π * r * godz.

Powierzchnia cylindra - wzór na średnicę

Aby ułatwić obliczenia, czasami konieczne jest wykonanie obliczeń po średnicy. Na przykład istnieje kawałek pustej rury o znanej średnicy.

Bez zawracania sobie głowy niepotrzebnymi obliczeniami, mamy gotowa formuła. Z pomocą przychodzi algebra klasy 5.

Spłeć = 2π * r 2 + 2 π * r * godz= 2 π * re 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *D 2 /2 + π *d*h,

Zamiast R V pełna formuła należy wstawić wartość r =d/2.

Przykłady obliczania powierzchni cylindra

Uzbrojeni w wiedzę zacznijmy ćwiczyć.

Przykład 1. Konieczne jest obliczenie powierzchni ściętego kawałka rury, czyli cylindra.

Mamy r = 24 mm, h = 100 mm. Musisz użyć wzoru na promień:

S podłoga = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Przeliczamy na zwykłe m2 i otrzymujemy 0,01868928, około 0,02 m2.

Przykład 2. Konieczne jest sprawdzenie powierzchni wewnętrznej rury pieca azbestowego, której ściany są wyłożone cegłami ogniotrwałymi.

Dane są następujące: średnica 0,2 m; wysokość 2 m. Korzystamy ze wzoru na średnicę:

S podłoga = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Przykład 3. Jak dowiedzieć się, ile materiału potrzeba na uszycie torby, r = 1 m i 1 m wysokości.

W pewnym momencie istnieje formuła:

Strona S = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Wniosek

Na koniec artykułu pojawiło się pytanie: czy te wszystkie obliczenia i przeliczenia jednej wartości na drugą są naprawdę potrzebne? Po co to wszystko jest potrzebne i, co najważniejsze, dla kogo? Ale nie zaniedbuj i nie zapomnij o prostych formułach z liceum.

Świat stał i będzie opierać się na wiedzy elementarnej, w tym na matematyce. Rozpoczynając jakąkolwiek ważną pracę, nie jest złym pomysłem odświeżenie pamięci o tych obliczeniach i zastosowanie ich w praktyce z doskonałym skutkiem. Precyzja to uprzejmość królów.