S šoninis cilindro paviršius. Kaip rasti cilindro plotą

Mokykloje tiriami sukimosi kūnai yra cilindras, kūgis ir rutulys.

Jei sprendžiant vieningo valstybinio matematikos egzamino problemą reikia apskaičiuoti kūgio tūrį arba sferos plotą, laikykis laimingu.

Taikykite cilindro, kūgio ir sferos tūrio ir paviršiaus ploto formules. Visi jie yra mūsų lentelėje. Išmokti atmintinai. Čia prasideda stereometrijos žinios.

Kartais pravartu piešti vaizdą iš viršaus. Arba, kaip šioje problemoje, iš apačios.

2. Kiek kartų apie taisyklingą keturkampę piramidę apibrėžto kūgio tūris yra didesnis už įbrėžto į šią piramidę kūgio tūrį?

Tai paprasta – nupieškite vaizdą iš apačios. Matome, kad didesnio apskritimo spindulys yra kartus didesnis nei mažesnio. Abiejų kūgių aukščiai vienodi. Todėl didesnio kūgio tūris bus dvigubai didesnis.

Kitas svarbus punktas. Atminkite, kad B dalies uždaviniuose Vieningo valstybinio egzamino parinktys matematikoje atsakymas rašomas kaip sveikas skaičius arba baigtinė dešimtainė trupmena. Todėl jūsų atsakyme B dalyje neturėtų būti jokių žodžių. Taip pat nereikia keisti apytikslės skaičiaus reikšmės! Jis tikrai turi susitraukti! Būtent šiuo tikslu kai kuriose problemose užduotis formuluojama, pavyzdžiui, taip: „Raskite cilindro šoninio paviršiaus plotą, padalintą iš“.

Kur dar naudojamos sukimosi kūnų tūrio ir paviršiaus ploto formulės? Žinoma, užduotyje C2 (16). Apie tai taip pat papasakosime.

Cilindras yra figūra, susidedanti iš cilindrinio paviršiaus ir dviejų lygiagrečiai išdėstytų apskritimų. Cilindro ploto apskaičiavimas yra matematikos geometrinės šakos problema, kurią galima išspręsti gana paprastai. Yra keli jo sprendimo būdai, kurie galiausiai visada susiveda į vieną formulę.

Kaip rasti cilindro plotą - skaičiavimo taisyklės

Norėdami sužinoti cilindro plotą, turite pridėti dvi pagrindo sritis su šoninio paviršiaus plotu: S = Sside + 2Sbase. Išsamesnėje versijoje ši formulė atrodo taip: S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
Tam tikro geometrinio kūno šoninio paviršiaus plotą galima apskaičiuoti, jei žinomas jo aukštis ir apskritimo, esančio prie pagrindo, spindulys. IN tokiu atveju galima išreikšti spindulį nuo apskritimo perimetro, jei nurodyta. Aukštį galima rasti, jei sąlygoje nurodyta generatoriaus vertė. Šiuo atveju generatrix bus lygi aukščiui. Šio kūno šoninio paviršiaus formulė atrodo taip: S= 2 π rh.
Pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal formulę apskritimo plotui rasti: S osn= π r 2 . Kai kuriose problemose spindulys gali būti nenurodytas, bet gali būti nurodytas apskritimas. Su šia formule spindulys išreiškiamas gana lengvai. С=2π r, r= С/2π. Taip pat turite atsiminti, kad spindulys yra pusė skersmens.
Atliekant visus šiuos skaičiavimus, skaičius π dažniausiai nevirsta į 3,14159... Tereikia jį pridėti prie skaitinė reikšmė, kuris buvo gautas atlikus skaičiavimus.
Tada jums tereikia rastą pagrindo plotą padauginti iš 2 ir prie gauto skaičiaus pridėti apskaičiuotą figūros šoninio paviršiaus plotą.
Jei problema rodo, kad cilindras turi ašinę dalį ir kad jis yra stačiakampis, sprendimas bus šiek tiek kitoks. Šiuo atveju stačiakampio plotis bus apskritimo, esančio kūno pagrinde, skersmuo. Figūros ilgis bus lygus generatrix arba cilindro aukščiui. Būtina apskaičiuoti reikiamas reikšmes ir pakeisti jas į jau žinomą formulę. Tokiu atveju stačiakampio plotis turi būti padalintas iš dviejų, kad būtų nustatytas pagrindo plotas. Norėdami rasti šoninį paviršių, ilgis padauginamas iš dviejų spindulių ir skaičiaus π.
Galite apskaičiuoti tam tikro geometrinio kūno plotą pagal jo tūrį. Norėdami tai padaryti, iš formulės V=π r 2 h reikia išvesti trūkstamą reikšmę.
Apskaičiuojant cilindro plotą nėra nieko sudėtingo. Jums tereikia žinoti formules ir mokėti iš jų išvesti kiekius, reikalingus skaičiavimams atlikti.

Studijuojant stereometriją viena pagrindinių temų yra „Cilindras“. Šoninio paviršiaus plotas laikomas jei ne pagrindine, tai svarbia formule sprendžiant geometrines problemas. Tačiau svarbu atsiminti apibrėžimus, kurie padės naršyti pavyzdžiuose ir įrodant įvairias teoremas.

Cilindro koncepcija

Pirmiausia reikia apsvarstyti keletą apibrėžimų. Tik juos ištyrę galime pradėti svarstyti cilindro šoninio paviršiaus ploto formulės klausimą. Remiantis šiuo įrašu, galima apskaičiuoti kitas išraiškas.

Cilindrinis paviršius suprantamas kaip generatrix aprašyta plokštuma, kuri juda ir lieka lygiagreti nurodyta kryptimi, slysdama esama kreive.
Taip pat yra ir antras apibrėžimas: cilindrinį paviršių sudaro lygiagrečių linijų, kertančių tam tikrą kreivę, rinkinys.
Generatorius paprastai vadinamas cilindro aukščiu. Kai jis juda aplink ašį, einančią per pagrindo centrą, gaunamas nurodytas geometrinis kūnas.
Ašimi reiškia tiesią liniją, einančią per abu figūros pagrindus.
Cilindras yra stereometrinis kūnas, kurį riboja susikertantis šoninis paviršius ir dvi lygiagrečios plokštumos.

Yra šios tūrinės figūros veislių:

Apskritimu mes turime omenyje cilindrą, kurio kreiptuvas yra apskritimas. Pagrindiniai jo komponentai yra pagrindo spindulys ir generatrix. Pastarasis yra lygus figūros aukščiui.
Yra tiesus cilindras. Jis gavo savo pavadinimą dėl formuojančios figūros statmenumo pagrindams.
Trečias tipas yra nuožulnus cilindras. Vadovėliuose galite rasti kitą pavadinimą: „apvalus cilindras su nuožulniu pagrindu“. Šis skaičius nustatomas pagal pagrindo spindulį, mažiausią ir didžiausią aukščius.
Lygiakraštis cilindras suprantamas kaip kūnas, kurio apskritimo plokštuma yra vienodo aukščio ir skersmens.

Legenda

Tradiciškai pagrindiniai cilindro „komponentai“ vadinami taip:

Pagrindo spindulys yra R (jis taip pat pakeičia panašią stereometrinės figūros reikšmę).
Generatorius – L.
Aukštis - H.
Pagrindo plotas yra S bazė (kitaip tariant, reikia rasti nurodytą apskritimo parametrą).
Nuožulniojo cilindro aukščiai yra h 1 , h 2 (minimalus ir didžiausias).
Šoninio paviršiaus plotas yra S pusė (jei išskleiskite, gausite savotišką stačiakampį).
Stereometrinės figūros tūris yra V.
Bendras paviršiaus plotas - S.

Stereometrinės figūros „komponentai“.

Tiriant cilindrą, svarbus vaidmuo tenka šoniniam paviršiaus plotui. Taip yra dėl to, kad ši formulė įtraukta į keletą kitų, sudėtingesnių. Todėl būtina gerai išmanyti teoriją.

Pagrindiniai paveikslo komponentai yra šie:

Šoninis paviršius. Kaip žinoma, jis gaunamas dėl generatrix judėjimo išilgai tam tikros kreivės.
Visas paviršius apima esamus pagrindus ir šoninę plokštumą.
Cilindro skerspjūvis, kaip taisyklė, yra stačiakampis, esantis lygiagrečiai figūros ašiai. Priešingu atveju jis vadinamas lėktuvu. Pasirodo, ilgis ir plotis taip pat yra kitų figūrų komponentai. Taigi, paprastai, sekcijos ilgiai yra generatoriai. Plotis – lygiagrečios stereometrinės figūros stygos.
Ašiniu pjūviu turime omenyje plokštumos vietą per kūno centrą.
Ir galiausiai, galutinis apibrėžimas. Liestinė yra plokštuma, einanti per cilindro generatorių ir esanti stačiu kampu ašinei pjūviui. Šiuo atveju turi būti įvykdyta viena sąlyga. Nurodytas generatrix turi būti įtrauktas į ašinės pjūvio plokštumą.

Pagrindinės darbo su cilindru formulės

Norint atsakyti į klausimą, kaip rasti cilindro paviršiaus plotą, būtina ištirti pagrindinius stereometrinės figūros „komponentus“ ir jų radimo formules.

Šios formulės skiriasi tuo, kad pirmiausia pateikiamos nuožulniojo cilindro išraiškos, o paskui - tiesus.

Pavyzdžiai su išardytu tirpalu

Būtina išsiaiškinti cilindro šoninio paviršiaus plotą. Pateikta pjūvio įstrižainė AC = 8 cm (ir ji yra ašinė). Susisiekus su generatoriumi paaiškėja< ACD = 30°

Sprendimas. Kadangi įstrižainės ir kampo vertės yra žinomos, šiuo atveju:

CD = AC*cos 30°.

Komentaras. Konkrečiame pavyzdyje trikampis ACD yra stačiakampis. Tai reiškia, kad CD ir AC koeficientas = esamo kampo kosinusas. Trigonometrinių funkcijų reikšmę galima rasti specialioje lentelėje.

Panašiai galite rasti AD reikšmę:

AD = AC*sin 30°

Dabar reikia apskaičiuoti norimą rezultatą pagal šią formulę: cilindro šoninio paviršiaus plotas yra lygus dvigubam rezultatui, padauginus „pi“, figūros spindulį ir jo aukštį. Reikėtų naudoti kitą formulę: cilindro pagrindo plotą. Jis lygus rezultatui, padauginus "pi" iš spindulio kvadrato. Ir galiausiai paskutinė formulė: bendras paviršiaus plotas. Jis lygus ankstesnių dviejų sričių sumai.

Cilindrai duoti. Jų tūris = 128*p cm³. Kurio cilindro bendras paviršiaus plotas yra mažiausias?

Sprendimas. Pirmiausia turite naudoti figūros tūrio ir aukščio nustatymo formules.

Kadangi bendras cilindro paviršiaus plotas yra žinomas iš teorijos, būtina taikyti jo formulę.

Jei gautą formulę laikysime cilindro ploto funkcija, tada minimalus „rodiklis“ bus pasiektas kraštutiniame taške. Norėdami gauti paskutinę vertę, turite naudoti diferencijavimą.

Formules galima peržiūrėti specialioje išvestinių išvestinių duomenų lentelėje. Vėliau rastas rezultatas prilyginamas nuliui ir randamas lygties sprendimas.

Atsakymas: S min bus pasiektas esant h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Pateikta stereometrinė figūra - cilindras ir pjūvis. Pastaroji atliekama taip, kad ji būtų lygiagreti stereometrinio kūno ašiai. Cilindras turi tokius parametrus: VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm Būtina rasti atstumą tarp sekcijos ir ašies.

Kadangi cilindro skerspjūvis suprantamas kaip VSKM, t.y., stačiakampis, tai jo kraštinė BM = h. Reikia atsižvelgti į VMC. Trikampis yra stačiakampis. Remdamiesi šiuo teiginiu, galime padaryti teisingą prielaidą, kad MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² – VM²

MK² = 17² - 15²

Iš to galime daryti išvadą, kad MK = BC = 8 cm.

Kitas žingsnis yra nubrėžti atkarpą per figūros pagrindą. Būtina atsižvelgti į gautą plokštumą.

AD yra stereometrinės figūros skersmuo. Jis yra lygiagretus problemos pareiškime minėtam skyriui.

BC yra tiesi linija, esanti esamo stačiakampio plokštumoje.

ABCD – trapecija. Šiuo konkrečiu atveju jis laikomas lygiašoniu, nes aplink jį yra apskritimas.

Jei radote gautos trapecijos aukštį, galite gauti atsakymą, pateiktą užduoties pradžioje. Būtent: rasti atstumą tarp ašies ir nubrėžtos pjūvio.

Norėdami tai padaryti, turite rasti AD ir OS reikšmes.

Atsakymas: sekcija yra 3 cm atstumu nuo ašies.

Užduotys sutvirtinti medžiagą

Duotas cilindras. Vėlesniame tirpale naudojamas šoninis paviršiaus plotas. Kiti parametrai žinomi. Bazinis plotas yra Q, ašinis pjūvio plotas yra M. Reikia rasti S. Kitaip tariant, bendras cilindro plotas.

Duotas cilindras. Šoninio paviršiaus plotas turi būti rastas viename iš problemos sprendimo žingsnių. Yra žinoma, kad aukštis = 4 cm, spindulys = 2 cm. Būtina rasti bendrą stereometrinės figūros plotą.

Cilindro paviršiaus plotas. Šiame straipsnyje apžvelgsime užduotis, susijusias su paviršiaus plotu. Tinklaraštyje jau aprašytos užduotys su sukimosi korpusu, pavyzdžiui, kūgiu. Cilindras taip pat priklauso sukimosi kūnams. Ką reikia ir reikia žinoti apie cilindro paviršiaus plotą? Pažvelkime į cilindro vystymąsi:

Viršutinė ir apatinė bazė yra du vienodi apskritimai:

Šoninis paviršius yra stačiakampis. Be to, viena šio stačiakampio kraštinė yra lygi cilindro aukščiui, o kita - pagrindo perimetrui. Leiskite jums priminti, kad apskritimo perimetras yra:

Taigi, cilindro paviršiaus formulė yra tokia:

* Nereikia mokytis šios formulės! Pakanka žinoti apskritimo ploto ir jo apskritimo ilgio formules, tada visada galite užsirašyti nurodytą formulę. Svarbu tai suprasti! Apsvarstykime užduotis:

Cilindro pagrindo perimetras yra 3. Šoninio paviršiaus plotas yra 6. Raskite cilindro aukštį ir paviršiaus plotą (tarkime, kad Pi yra 3,14, ir suapvalinkite rezultatą iki artimiausios dešimtosios).

Bendras cilindro paviršiaus plotas:

Pateikiamas pagrindo perimetras ir cilindro šoninio paviršiaus plotas. Tai yra, mums suteikiamas stačiakampio plotas ir viena iš jo kraštinių, turime rasti kitą pusę (tai yra cilindro aukštis):

Spindulį reikia nurodyti ir tada galime rasti nurodytą sritį.

Pagrindo perimetras yra lygus trims, tada rašome:

Taigi

Suapvalinus iki artimiausios dešimtosios, gauname 7,4.

Atsakymas: h = 2; S = 7,4

Cilindro šoninio paviršiaus plotas yra 72Pi, o pagrindo skersmuo yra 9. Raskite cilindro aukštį.

Reiškia

Atsakymas: 8

Cilindro šoninio paviršiaus plotas yra 64Pi, o aukštis - 8. Raskite pagrindo skersmenį.

Cilindro šoninio paviršiaus plotas randamas pagal formulę:

Skersmuo yra lygus dviem spinduliams, o tai reiškia:

Atsakymas: 8

27058. Cilindro pagrindo spindulys lygus 2, o aukštis – 3. Raskite cilindro šoninio paviršiaus plotą, padalintą iš Pi.

27133. Cilindro pagrindo perimetras 3, aukštis 2. Raskite cilindro šoninio paviršiaus plotą.

Kaip apskaičiuoti cilindro paviršiaus plotą, yra šio straipsnio tema. Bet kurią matematinę problemą pirmiausia turite įvesti duomenis, nustatyti, kas yra žinoma ir ką daryti ateityje, ir tik tada pereiti tiesiai prie skaičiavimo.

Šis tūrinis kūnas yra cilindrinė geometrinė figūra, iš viršaus ir apačios apribota dviem lygiagrečiomis plokštumomis. Jei pritaikysite šiek tiek vaizduotės, pastebėsite, kad geometrinis kūnas susidaro sukant aplink ašį stačiakampį, kurio viena iš jo kraštinių yra ašis.

Iš to išplaukia, kad aukščiau ir žemiau cilindro aprašyta kreivė bus apskritimas, kurio pagrindinis rodiklis yra spindulys arba skersmuo.

Cilindro paviršiaus plotas - internetinis skaičiuotuvas

Ši funkcija pagaliau supaprastina skaičiavimo procesą ir viskas priklauso nuo to, kad automatiškai pakeičiamos nurodytos figūros pagrindo aukščio ir spindulio (skersmens) reikšmės. Vienintelis dalykas, kurio reikia, yra tiksliai nustatyti duomenis ir nepadaryti klaidų įvedant skaičius.

Cilindro šoninio paviršiaus plotas

Pirmiausia turite įsivaizduoti, kaip nuskaitymas atrodo dvimatėje erdvėje.

Tai ne kas kita, kaip stačiakampis, kurio viena kraštinė yra lygi apskritimui. Jo formulė buvo žinoma nuo neatmenamų laikų - 2π*r, Kur r- apskritimo spindulys. Kita stačiakampio pusė lygi aukščiui h. Surasti tai, ko ieškote, nebus sunku.

Spusėje= 2π *r*h,

kur numeris π = 3,14.

Bendras cilindro paviršiaus plotas

Norėdami rasti bendrą cilindro plotą, turite naudoti gautą skaičių S pusė pridėkite dviejų apskritimų – cilindro viršaus ir apačios – plotus, kurie apskaičiuojami pagal formulę S o =2π * r 2 .

Galutinė formulė atrodo taip:

Sgrindų= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Cilindro plotas - formulė per skersmenį

Kad būtų lengviau atlikti skaičiavimus, kartais reikia atlikti skaičiavimus per skersmenį. Pavyzdžiui, yra žinomo skersmens tuščiavidurio vamzdžio gabalas.

Nevargindami savęs nereikalingais skaičiavimais, turime paruošta formulė. Į pagalbą ateina 5 klasės algebra.

Slytis = 2π*r 2 + 2 π * r * h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *d*h,

Vietoj r V pilna formulė reikia įvesti vertę r =d/2.

Cilindro ploto skaičiavimo pavyzdžiai

Apsiginklavę žiniomis, pradėkime praktikuoti.

1 pavyzdys. Būtina apskaičiuoti nupjauto vamzdžio, tai yra cilindro, plotą.

Turime r = 24 mm, h = 100 mm. Turite naudoti formulę per spindulį:

S grindys = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Konvertuojame į įprastą m2 ir gauname 0,01868928, maždaug 0,02 m2.

2 pavyzdys. Būtina išsiaiškinti asbesto krosnies vamzdžio, kurio sienos išklotos ugniai atspariomis plytomis, vidinio paviršiaus plotą.

Duomenys tokie: skersmuo 0,2 m; aukštis 2 m Mes naudojame formulę pagal skersmenį:

S grindys = 3,14 * 0,2 2 / 2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

3 pavyzdys. Kaip sužinoti, kiek medžiagos reikia maišui, r = 1 m ir 1 m aukščio, pasiūti.

Vieną akimirką yra formulė:

Š pusė = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Išvada

Straipsnio pabaigoje iškilo klausimas: ar tikrai visi šie skaičiavimai ir vienos vertės konvertavimas į kitą būtini? Kam viso to reikia ir, svarbiausia, kam? Tačiau nepamirškite ir nepamirškite paprastų vidurinės mokyklos formulių.

Pasaulis stovėjo ir stovės ant elementarių žinių, įskaitant matematiką. Ir pradedant bet kokį svarbų darbą, niekada nėra bloga mintis atnaujinti atmintį apie šiuos skaičiavimus, labai efektyviai pritaikant juos praktikoje. Tikslumas – karalių mandagumas.