ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 2 ಸಾಲುಗಳು. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು. ಮೂರು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ. ವೈಯಕ್ತಿಕ ಮಾಹಿತಿಯ ರಕ್ಷಣೆ

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವಿಭಿನ್ನ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇರಿಸಬಹುದು. ಮೊದಲನೆಯದಾಗಿ, ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊಂದಿರಬಹುದು. ನಂತರ ಅವರು ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದಾರೆ. ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಂತಹ ಸಮತಲವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು, ಅದನ್ನು ಮೂರು ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಕು: ಸೂಚಿಸಿದ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು A (ಅಂಜೂರ 323) ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು ಸಿ ಮತ್ತು ಬಿ, ಕ್ರಮವಾಗಿ ರೇಖೆಗಳ ಮೇಲೆ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲುಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ವಿಮಾನವು ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಈ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳಿಲ್ಲ. ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿದೆ ಎಂದು ಷರತ್ತು ವಿಧಿಸುವುದರಿಂದ ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿವೆ ಎಂದು ಇದರ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ನಮ್ಮ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಸ್ಥಳದ ಪ್ರಶ್ನೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದರ ಮೂಲಕ ಪ್ಲೇನ್ ಕೆ ಅನ್ನು ಸೆಳೆಯೋಣ, ಮತ್ತು ನಿರಂಕುಶವಾಗಿ ತೆಗೆದ ಪಾಯಿಂಟ್ ಎ ಅನ್ನು ಮತ್ತೊಂದು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಾಡಬಹುದು:

1) ನಿರ್ಮಿಸಿದ ಸಮತಲವು ಸಂಪೂರ್ಣ ಎರಡನೇ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೊಂದಿರುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 324). ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೇರಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

2) ಪ್ಲೇನ್ X ರೇಖೆಯನ್ನು A ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಎರಡೂ ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂತಹ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಲೈನ್ಸ್ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 325).

ಆದ್ದರಿಂದ, ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನದ ಮೂರು ಪ್ರಮುಖ ಸಂಭವನೀಯ ಪ್ರಕರಣಗಳಿವೆ.

1. ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

2. ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಮತ್ತು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

3. ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ, ಅವರು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗುವುದಿಲ್ಲ.

ಉದಾಹರಣೆ. ಘನದ 12 ಅಂಚುಗಳಿಂದ, ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಜೋಡಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ 24 ಜೋಡಿಗಳು ದಾಟುತ್ತಿವೆ, 24 ಛೇದಿಸುತ್ತಿವೆ ಮತ್ತು 18 ಜೋಡಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು. ಮಾದರಿ ಅಥವಾ ರೇಖಾಚಿತ್ರದಿಂದ ಓದುಗರು ಇದರ ನಿಖರತೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಪೋಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ ಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಉಳಿಯುತ್ತದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ:

ರೇಖೆಯ ಹೊರಗಿನ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದೇ ಒಂದು ರೇಖೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ಸರಳ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಹೊರಗೆ ನೀಡಲಾದ ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಸಮತಲವನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುತ್ತದೆ, ಅದರಲ್ಲಿ ಅಪೇಕ್ಷಿತ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅದರ ವಿಶಿಷ್ಟತೆಯು ಸಮಾನಾಂತರಗಳ ನಿಲುವಿನಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ಎರಡು ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಪ್ರಸ್ತಾಪಗಳಿಗೆ ಜಾಗದ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೆ ವಿಶೇಷ ಸಮರ್ಥನೆ ಅಗತ್ಯವಿರುತ್ತದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 232 ನೋಡಿ).

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ, ಅವು ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ; ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಮಾನಾಂತರ ಮತ್ತು ಒಂದೇ ನಿರ್ದೇಶನದ ಬದಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಎರಡು ಕೋನಗಳು ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಈ ಪ್ರಸ್ತಾವನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡನೆಯದಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ, ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಲೈನ್‌ಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಅದರ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನಾವು ಗಮನಿಸುತ್ತೇವೆ: ಎರಡು ದಾಟುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಅವುಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು M ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ಅಂತಹ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವು ಕೋನವು ಪಾಯಿಂಟ್ M ನ ಆಯ್ಕೆಯಿಂದ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದೆ ಎಂಬ ಊಹೆಯ ಮೇಲೆ ಆಧಾರಿತವಾಗಿದೆ (ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ 232 ನೋಡಿ).

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಬೀಳುವ ಲಂಬವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲಂಬ ಕೋನದಲ್ಲಿ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಎಳೆಯುವ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಂದು ಅರ್ಥೈಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ, ಒಬ್ಬರು ಅದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಒಂದನ್ನು ಸೆಳೆಯಬಹುದು.

ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಅಗತ್ಯವಿರುವ ಲಂಬವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ಸಮತಲದಲ್ಲಿರಬೇಕು ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯ ನಿಬಂಧನೆಗಳು ಇದಕ್ಕೆ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಒಂದು ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಮಲಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನಿಂದ, ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಂಬಗಳನ್ನು ಎಳೆಯಬಹುದು: ಪ್ರತಿ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಈ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ನಾನು ಹೊಸ ವರ್ಡೋವ್ ಫೈಲ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸುವ ಮೊದಲು ಮತ್ತು ಅಂತಹ ಆಕರ್ಷಕ ವಿಷಯವನ್ನು ಮುಂದುವರಿಸುವ ಮೊದಲು ಒಂದು ನಿಮಿಷವೂ ಕಳೆದಿಲ್ಲ. ನೀವು ಕೆಲಸದ ಮನಸ್ಥಿತಿಯ ಕ್ಷಣಗಳನ್ನು ಸೆರೆಹಿಡಿಯಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ ಯಾವುದೇ ಸಾಹಿತ್ಯದ ಪರಿಚಯವಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಗದ್ಯದ ಹೊಡೆತ ಇರುತ್ತದೆ =)

ಎರಡು ನೇರ ಸ್ಥಳಗಳು ಮಾಡಬಹುದು:

1) ಅಂತರ್ಜಾತಿ;

2) ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿ;

3) ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಿ;

4) ಹೊಂದಾಣಿಕೆ.

ಪ್ರಕರಣ ಸಂಖ್ಯೆ 1 ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಇತರ ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗಿಂತ ಭಿನ್ನವಾಗಿದೆ. ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದಿದ್ದರೆ ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ಒಂದು ತೋಳನ್ನು ಮೇಲಕ್ಕೆತ್ತಿ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ತೋಳನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ವಿಸ್ತರಿಸಿ - ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟುವ ಉದಾಹರಣೆ ಇಲ್ಲಿದೆ. ಅಂಕ ಸಂಖ್ಯೆ 2-4 ರಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಸುಳ್ಳು ಮಾಡಬೇಕು ಒಂದು ವಿಮಾನದಲ್ಲಿ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಎರಡು ನೇರ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ:

- ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮೂಲಕ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ;
- ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾದ ನೇರ ರೇಖೆ.

ಉತ್ತಮ ತಿಳುವಳಿಕೆಗಾಗಿ, ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೋರಿಸುತ್ತದೆ.

ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಹೇಗೆ ಎದುರಿಸುವುದು?

ಅಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿರುವುದರಿಂದ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಸುಲಭ.

ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅಂತರ್ಜಾತಿ, ನಂತರ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಅಲ್ಲ(ಪಾಠ ನೋಡಿ ವಾಹಕಗಳ ರೇಖೀಯ (ಅಲ್ಲದ) ಅವಲಂಬನೆ. ವಾಹಕಗಳ ಆಧಾರ), ಮತ್ತು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನಿರ್ಣಾಯಕವು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ. ಅಥವಾ, ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಅದೇ ವಿಷಯ, ಅದು ಶೂನ್ಯವಲ್ಲ: .

ಪ್ರಕರಣಗಳು ಸಂಖ್ಯೆ 2-4 ರಲ್ಲಿ, ನಮ್ಮ ರಚನೆಯು ಒಂದು ಸಮತಲಕ್ಕೆ "ಬೀಳುತ್ತದೆ", ಆದರೆ ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್, ಮತ್ತು ರೇಖಾತ್ಮಕವಾಗಿ ಅವಲಂಬಿತ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಅನ್ನು ಮತ್ತಷ್ಟು ವಿಸ್ತರಿಸೋಣ. ಹಾಗೆ ನಟಿಸೋಣ ಆದ್ದರಿಂದ, ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

ದಿಕ್ಕು ವಾಹಕಗಳಾಗಿದ್ದರೆ ಕೊಲಿನಿಯರ್, ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಅಂತಿಮ ಉಗುರುಗಾಗಿ, ನಾನು ಈ ಕೆಳಗಿನ ತಂತ್ರವನ್ನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುತ್ತೇನೆ: ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸಿ; ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು "ಸರಿಹೊಂದಿದರೆ", ನಂತರ ಸಾಲುಗಳು "ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳದಿದ್ದರೆ" ರೇಖೆಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ.

ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಸರಳವಾಗಿದೆ, ಆದರೆ ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಉದಾಹರಣೆಗಳು ಇನ್ನೂ ಸಹಾಯ ಮಾಡುತ್ತವೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 11

ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ಪರಿಹಾರ: ಅನೇಕ ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಂತೆ, ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಪರಿಹಾರ ಬಿಂದುವನ್ನು ರೂಪಿಸಲು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿದೆ:

1) ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

2) ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹುಡುಕಿ:

ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನಾರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸಬಹುದು, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗಬಹುದು.

4) ಕೋಲಿನಿಯರಿಟಿಗಾಗಿ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ.

ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಇಂದ ಎಲ್ಲರೂಇದು ಅನುಸರಿಸುವ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಪ್ರಕಾರ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ.

ತೀರ್ಮಾನ: ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಅಥವಾ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತವೆ.

5) ಸಾಲುಗಳು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಕಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆಯೇ ಎಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಮೊದಲ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದುವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ ಮತ್ತು ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಹೀಗಾಗಿ, ರೇಖೆಗಳು ಯಾವುದೇ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿಲ್ಲ, ಮತ್ತು ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದನ್ನು ಬಿಟ್ಟು ಬೇರೆ ಆಯ್ಕೆಯಿಲ್ಲ.

ಉತ್ತರ:

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕ ಉದಾಹರಣೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 12

ರೇಖೆಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ

ನೀವೇ ಪರಿಹರಿಸಲು ಇದು ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಕ್ಷರವನ್ನು ನಿಯತಾಂಕವಾಗಿ ಹೊಂದಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ. ತಾರ್ಕಿಕ. ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಇವು ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಸಾಲುಗಳಾಗಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಪ್ರತಿ ಸಾಲು ತನ್ನದೇ ಆದ ನಿಯತಾಂಕವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ.

ಮತ್ತು ಉದಾಹರಣೆಗಳನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬೇಡಿ ಎಂದು ನಾನು ಮತ್ತೊಮ್ಮೆ ನಿಮ್ಮನ್ನು ಒತ್ತಾಯಿಸುತ್ತೇನೆ, ನಾನು ಪ್ರಸ್ತಾಪಿಸುವ ಕಾರ್ಯಗಳು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕತೆಯಿಂದ ದೂರವಿದೆ ;-)

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಾಲಿನ ತೊಂದರೆಗಳು

ಪಾಠದ ಅಂತಿಮ ಭಾಗದಲ್ಲಿ, ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ ಸಂಖ್ಯೆಯ ವಿವಿಧ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಲು ನಾನು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತೇನೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಕಥೆಯ ಮೂಲ ಕ್ರಮವನ್ನು ಗಮನಿಸಬಹುದು: ಮೊದಲು ನಾವು ದಾಟುವ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ, ನಂತರ ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುತ್ತೇವೆ. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಈ ಪಾಠದ ಕೆಲವು ಕಾರ್ಯಗಳನ್ನು ರೇಖೆಗಳ ಸ್ಥಳದ ಹಲವಾರು ಪ್ರಕರಣಗಳಿಗೆ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ರೂಪಿಸಬಹುದು ಎಂದು ನಾನು ಹೇಳಲೇಬೇಕು ಮತ್ತು ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ, ವಿಭಾಗವನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಗಳಾಗಿ ವಿಂಗಡಿಸುವುದು ಸ್ವಲ್ಪಮಟ್ಟಿಗೆ ಅನಿಯಂತ್ರಿತವಾಗಿದೆ. ಸರಳವಾದ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಹೆಚ್ಚು ಸಂಕೀರ್ಣ ಉದಾಹರಣೆಗಳಿವೆ, ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ತಮಗೆ ಬೇಕಾದುದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಲೈನ್ಸ್

ಇವೆರಡೂ ಇರುವ ಯಾವುದೇ ಸಮತಲವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾನು ನಿಮಗೆ ನೆನಪಿಸುತ್ತೇನೆ. ನಾನು ಅಭ್ಯಾಸದ ಮೂಲಕ ಯೋಚಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ, ದೈತ್ಯಾಕಾರದ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಮನಸ್ಸಿಗೆ ಬಂದಿತು, ಮತ್ತು ಈಗ ನಿಮ್ಮ ಗಮನಕ್ಕೆ ನಾಲ್ಕು ತಲೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಡ್ರ್ಯಾಗನ್ ಅನ್ನು ಪ್ರಸ್ತುತಪಡಿಸಲು ನನಗೆ ಸಂತೋಷವಾಗಿದೆ:

ಉದಾಹರಣೆ 13

ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ. ಅಗತ್ಯವಿದೆ:

ಎ) ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ;

ಬಿ) ಕೊಟ್ಟಿರುವ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ;

ಸಿ) ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬದಾಟುವ ಸಾಲುಗಳು;

ಡಿ) ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ: ನಡೆಯುವವನು ರಸ್ತೆಯನ್ನು ಕರಗತ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳುತ್ತಾನೆ:

ಎ) ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ನಾವು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸೋಣ. ಈ ರೇಖೆಗಳ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕೋಣ ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ:

ಹೀಗಾಗಿ, ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಅಲ್ಲ, ಅಂದರೆ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾದದ್ದು.

ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟಲು ಪರಿಶೀಲನಾ ಅಲ್ಗಾರಿದಮ್ ಚಿಕ್ಕದಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬಹುಶಃ ಪ್ರತಿಯೊಬ್ಬರೂ ಬಹಳ ಹಿಂದಿನಿಂದಲೂ ಗಮನಿಸಿದ್ದಾರೆ.

ಬಿ) ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ. ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ಬದಲಾವಣೆಗಾಗಿ ನಾನು ನೇರವಾಗಿ ಪೋಸ್ಟ್ ಮಾಡಿದ್ದೇನೆ ಹಿಂದೆನೇರವಾಗಿ, ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಪಾಯಿಂಟ್‌ಗಳಲ್ಲಿ ಅದು ಹೇಗೆ ಸ್ವಲ್ಪ ಅಳಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿದೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನೋಡಿ. ಮಿಶ್ರ ತಳಿ? ಹೌದು, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ನೇರ ರೇಖೆ "ಡಿ" ಅನ್ನು ಮೂಲ ನೇರ ರೇಖೆಗಳೊಂದಿಗೆ ದಾಟಲಾಗುತ್ತದೆ. ಈ ಕ್ಷಣದಲ್ಲಿ ನಮಗೆ ಆಸಕ್ತಿಯಿಲ್ಲದಿದ್ದರೂ, ನಾವು ಲಂಬವಾದ ರೇಖೆಯನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅದು ಅಷ್ಟೆ.

ನೇರ "ಡಿ" ಬಗ್ಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದೆ? ಅದಕ್ಕೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು ಗೊತ್ತಾಗಿದೆ. ಸಾಕಷ್ಟು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಇಲ್ಲ.

ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ನೇರ ರೇಖೆಯು ನೇರ ರೇಖೆಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು, ಅಂದರೆ ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ಗಳಿಗೆ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 9 ರಿಂದ ಈಗಾಗಲೇ ಪರಿಚಿತವಾಗಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು "ಡಿ" ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ಸಿದ್ಧವಾಗಿದೆ. ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಛೇದಗಳಲ್ಲಿ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಬದಲಾಯಿಸಬಹುದು ಮತ್ತು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಉತ್ತರವನ್ನು ಬರೆಯಬಹುದು , ಆದರೆ ಇದರ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನೀವು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪರಿಣಾಮವಾಗಿ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಬೇಕು, ನಂತರ ಬಳಸಿ ವಾಹಕಗಳ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನವೆಕ್ಟರ್ "pe one" ಮತ್ತು "pe two" ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳಿಗೆ ನಿಜವಾಗಿಯೂ ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದೆ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ.

ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಸಿ) ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯು ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಡಮ್ಮೀಸ್ ಈ ಅಂಶವನ್ನು ಬಿಟ್ಟುಬಿಡಬೇಕೆಂದು ನಾನು ಶಿಫಾರಸು ಮಾಡುತ್ತೇವೆ, ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಬಗ್ಗೆ ನಿಮ್ಮ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕ ಸಹಾನುಭೂತಿಯನ್ನು ತಣ್ಣಗಾಗಲು ನಾನು ಬಯಸುವುದಿಲ್ಲ =) ಮೂಲಕ, ಹೆಚ್ಚು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಿದ ಓದುಗರು ಸಹ ತಡೆಹಿಡಿಯುವುದು ಉತ್ತಮವಾಗಿದೆ, ವಾಸ್ತವವೆಂದರೆ ಸಂಕೀರ್ಣತೆಯ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿದೆ ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಇಡಬೇಕು, ಆದರೆ ಪ್ರಸ್ತುತಿಯ ತರ್ಕದ ಪ್ರಕಾರ ಅದು ಇಲ್ಲಿ ನೆಲೆಗೊಂಡಿರಬೇಕು.

ಆದ್ದರಿಂದ, ಓರೆ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀವು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

- ಇದು ಈ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಂಪರ್ಕಿಸುವ ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಒಂದು ವಿಭಾಗವಾಗಿದೆ:

ಇಲ್ಲಿ ನಮ್ಮ ಸುಂದರ ವ್ಯಕ್ತಿ: - ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬ. ಅವನು ಒಬ್ಬನೇ. ಅದರಂತೆ ಮತ್ತೊಂದಿಲ್ಲ. ಈ ವಿಭಾಗವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ನೇರ "ಉಮ್" ಬಗ್ಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದೆ? ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ತಿಳಿದಿದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ, ದುರದೃಷ್ಟವಶಾತ್, "ಎಮ್" ಎಂಬ ಸರಳ ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದ ಒಂದು ಬಿಂದುವೂ ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಅಥವಾ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ತುದಿಗಳು ನಮಗೆ ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಈ ಲಂಬ ರೇಖೆಯು ಎರಡು ಮೂಲ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಎಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ? ಆಫ್ರಿಕಾದಲ್ಲಿ, ಅಂಟಾರ್ಟಿಕಾದಲ್ಲಿ? ಸ್ಥಿತಿಯ ಆರಂಭಿಕ ವಿಮರ್ಶೆ ಮತ್ತು ವಿಶ್ಲೇಷಣೆಯಿಂದ, ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿಲ್ಲ. ಆದರೆ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಬಳಕೆಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಒಂದು ಟ್ರಿಕಿ ಟ್ರಿಕ್ ಇದೆ.

ನಾವು ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ:

1) ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸೋಣ. ನಮಗೆ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ. ಆದರೆ. ಒಂದು ಬಿಂದುವು ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಅದನ್ನು ನಾವು ಸೂಚಿಸೋಣ. ನಂತರ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ರೂಪದಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಜೀವನವು ಉತ್ತಮಗೊಳ್ಳುತ್ತಿದೆ, ಒಂದು ಅಪರಿಚಿತ ಇನ್ನೂ ಮೂರು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ.

2) ಎರಡನೇ ಅಂಶದ ಮೇಲೆ ಅದೇ ಆಕ್ರೋಶವನ್ನು ನಡೆಸಬೇಕು. ಎರಡನೇ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಒಂದು ಬಿಂದುವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ್ದರೆ, ಆಗ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅರ್ಥದೊಂದಿಗೆಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸಬೇಕು:

ಅಥವಾ:

3) ವೆಕ್ಟರ್, ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆ, ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು ಎಂದು ತರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅನಾದಿ ಕಾಲದಲ್ಲಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ ಡಮ್ಮೀಸ್‌ಗಾಗಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು. ಈಗ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಅಜ್ಞಾತ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ. ಏನೀಗ? ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಪ್ರಾರಂಭದ ಅನುಗುಣವಾದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಅಂತ್ಯದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಿಂದ ಕಳೆಯುವುದನ್ನು ಯಾರೂ ನಿಷೇಧಿಸುವುದಿಲ್ಲ.

ಎರಡು ಅಂಶಗಳಿವೆ: .

ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು:

4) ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೇಖೀಯವಾಗಿ ಇನ್ನೊಂದರ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತದ ಗುಣಾಂಕ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ನೊಂದಿಗೆ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಅಥವಾ ಸಂಘಟಿತವಾಗಿ:

ಇದು ಅತ್ಯಂತ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಬದಲಾಯಿತು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಮೂರು ಅಪರಿಚಿತರೊಂದಿಗೆ, ಇದು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿ ಪರಿಹರಿಸಬಹುದಾದ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಕ್ರಾಮರ್ ವಿಧಾನ. ಆದರೆ ಇಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ನಷ್ಟದಿಂದ ಹೊರಬರಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಹೀಗೆ: , ಮತ್ತು ನಮಗೆ "ಲ್ಯಾಂಬ್ಡಾ" ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ. ಪ್ಯಾರಾಮೀಟರ್ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ ಎಂಬ ಅಂಶವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಅಪಘಾತವಾಗಿದೆ.

5) ಆಕಾಶವು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ತೆರವುಗೊಳಿಸುತ್ತಿದೆ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡ ಮೌಲ್ಯಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ನಮ್ಮ ಅಂಕಗಳಿಗೆ:

ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಅಗತ್ಯವಿಲ್ಲ, ಏಕೆಂದರೆ ಅದರ ಪ್ರತಿರೂಪವು ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ.

ದೀರ್ಘ ಪ್ರಯಾಣದ ನಂತರ ಪರಿಶೀಲಿಸಲು ಯಾವಾಗಲೂ ಆಸಕ್ತಿದಾಯಕವಾಗಿದೆ.

:

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸೋಣ :

ಸರಿಯಾದ ಸಮಾನತೆಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

6) ಅಂತಿಮ ಸ್ವರಮೇಳ: ಒಂದು ಬಿಂದು (ನೀವು ಅದನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು) ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

ತಾತ್ವಿಕವಾಗಿ, ನೀವು ಅಖಂಡ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ "ಉತ್ತಮ" ಬಿಂದುವನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು, ಆದರೆ ಇದು ಕಾಸ್ಮೆಟಿಕ್ ಆಗಿದೆ.

ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

ಡಿ) ನಾವು ಡ್ರ್ಯಾಗನ್‌ನ ನಾಲ್ಕನೇ ತಲೆಯನ್ನು ಕತ್ತರಿಸಿದ್ದೇವೆ.

ವಿಧಾನ ಒಂದು. ಒಂದು ವಿಧಾನವೂ ಅಲ್ಲ, ಆದರೆ ಒಂದು ಸಣ್ಣ ವಿಶೇಷ ಪ್ರಕರಣ. ದಾಟುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: .

ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾದ ತೀವ್ರ ಬಿಂದುಗಳು ಹಿಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ, ಮತ್ತು ಕಾರ್ಯವು ಪ್ರಾಥಮಿಕವಾಗಿದೆ:

ವಿಧಾನ ಎರಡು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕವಾಗಿ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾದ ತುದಿಗಳು ತಿಳಿದಿಲ್ಲ, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಭಿನ್ನ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾನಾಂತರ ವಿಮಾನಗಳನ್ನು ಎರಡು ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲಕ ಎಳೆಯಬಹುದು ಮತ್ತು ಈ ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವು ಈ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ಈ ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾದ ಅಂಟಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ.

ವಿಶ್ಲೇಷಣಾತ್ಮಕ ರೇಖಾಗಣಿತದ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಿನ ಪರಿಗಣನೆಗಳಿಂದ, ಛೇದಿಸುವ ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ:
(ನಮ್ಮ ಅಂಕಗಳ ಬದಲಿಗೆ "ಉಮ್ ಒಂದು, ಎರಡು" ನೀವು ಸಾಲುಗಳ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಅಂಕಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು).

ವಾಹಕಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನ"a" ಪಾಯಿಂಟ್‌ನಲ್ಲಿ ಈಗಾಗಲೇ ಕಂಡುಬಂದಿದೆ: .

ವಾಹಕಗಳ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನ"ಆಗಿದೆ" ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ: , ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡೋಣ:

ಹೀಗೆ:

ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಟ್ರೋಫಿಗಳನ್ನು ಹೆಮ್ಮೆಯಿಂದ ಪ್ರದರ್ಶಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:
ಎ) , ಅಂದರೆ ನೇರ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ, ಇದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಲು ಅಗತ್ಯವಾಗಿತ್ತು;
b) ;
ವಿ) ;
ಜಿ)

ಕ್ರಾಸಿಂಗ್ ಲೈನ್ಗಳ ಬಗ್ಗೆ ನೀವು ಇನ್ನೇನು ಹೇಳಬಹುದು? ಅವುಗಳ ನಡುವೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಕೋನವಿದೆ. ಆದರೆ ಮುಂದಿನ ಪ್ಯಾರಾಗ್ರಾಫ್ನಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ಕೋನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನೇರ ಸ್ಥಳಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವುದು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಇರುತ್ತದೆ:

ನಿಮ್ಮ ಎಲ್ಲಾ ಶಕ್ತಿಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಕ ಬಿಂದುವಿನ ಮೇಲೆ ಒಲವು ತೋರುವುದು ಮೊದಲ ಆಲೋಚನೆ. ಮತ್ತು ನಾನು ತಕ್ಷಣ ಯೋಚಿಸಿದೆ, ಸರಿಯಾದ ಆಸೆಗಳನ್ನು ನೀವೇ ಏಕೆ ನಿರಾಕರಿಸುತ್ತೀರಿ?! ಈಗಲೇ ಅವಳ ಮೇಲೆ ಬರೋಣ!

ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೇಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು?

ಉದಾಹರಣೆ 14

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಪರಿಹಾರ: ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಸಾಲುಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಈ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ಈ ಪಾಠದ ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 7 ರಲ್ಲಿ ವಿವರವಾಗಿ ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ (ನೋಡಿ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳು) ಮತ್ತು ಮೂಲಕ, ನಾನು ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 12 ರಿಂದ ನೇರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ತೆಗೆದುಕೊಂಡಿದ್ದೇನೆ. ನಾನು ಸುಳ್ಳು ಹೇಳುವುದಿಲ್ಲ, ಹೊಸದರೊಂದಿಗೆ ಬರಲು ನಾನು ತುಂಬಾ ಸೋಮಾರಿಯಾಗಿದ್ದೇನೆ.

ಪರಿಹಾರವು ಪ್ರಮಾಣಿತವಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಲು ನಾವು ಪ್ರಯತ್ನಿಸುತ್ತಿರುವಾಗ ಈಗಾಗಲೇ ಎದುರಾಗಿದೆ.

ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ರೇಖೆಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಈ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿರುತ್ತವೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯ:

ಆದರೆ ಇದೇ ಹಂತವು ಎರಡನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ:

ನಾವು ಅನುಗುಣವಾದ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಸರಳೀಕರಣಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಎರಡು ಅಜ್ಞಾತಗಳೊಂದಿಗೆ ಮೂರು ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 12 ರಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಬೀತಾಗಿದೆ), ನಂತರ ಸಿಸ್ಟಮ್ ಅಗತ್ಯವಾಗಿ ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬಹುದು ಗಾಸಿಯನ್ ವಿಧಾನ, ಆದರೆ ಅಂತಹ ಶಿಶುವಿಹಾರದ ಮಾಂತ್ರಿಕತೆಯೊಂದಿಗೆ ನಾವು ಪಾಪ ಮಾಡುವುದಿಲ್ಲ, ನಾವು ಅದನ್ನು ಸರಳವಾಗಿ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ: ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು "ಟಿ ಸೊನ್ನೆ" ಅನ್ನು ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಕೊನೆಯ ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ ಒಂದೇ ಆಗಿವೆ, ಮತ್ತು ಅದು ಅವರಿಂದ ಅನುಸರಿಸುತ್ತದೆ . ನಂತರ:

ನಿಯತಾಂಕದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸೋಣ:

ಉತ್ತರ:

ಪರಿಶೀಲಿಸಲು, ನಾವು ನಿಯತಾಂಕದ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:
ಪರಿಶೀಲಿಸಬೇಕಾದ ಅದೇ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಲಾಗಿದೆ. ನಿಖರವಾದ ಓದುಗರು ಪಾಯಿಂಟ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸಬಹುದು.

ಮೂಲಕ, ಇದಕ್ಕೆ ವಿರುದ್ಧವಾಗಿ ಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು: "es zero" ಮೂಲಕ ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಮತ್ತು ಅದನ್ನು "te zero" ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಿ.

ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತದ ಮೂಢನಂಬಿಕೆಯು ಹೇಳುತ್ತದೆ: ಅಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಛೇದನವನ್ನು ಚರ್ಚಿಸಲಾಗಿದೆ, ಯಾವಾಗಲೂ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ವಾಸನೆ ಇರುತ್ತದೆ.

ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಒಂದಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಜಾಗದ ರೇಖೆಯನ್ನು ಹೇಗೆ ನಿರ್ಮಿಸುವುದು?

(ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ)

ಉದಾಹರಣೆ 15

a) ರೇಖೆಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ (ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ).

ಬಿ) ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಸೂಚನೆ : ಷರತ್ತು "ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ" - ಗಮನಾರ್ಹ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ
"el" ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಛೇದಿಸುವ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಂಬ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ನೀವು ಸೆಳೆಯಬಹುದು. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಎಳೆಯುವಾಗ ಮಾತ್ರ ಪರಿಹಾರವು ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎರಡುನೇರ ರೇಖೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ (ಉದಾಹರಣೆ ಸಂಖ್ಯೆ 13, ಪಾಯಿಂಟ್ "ಬಿ" ನೋಡಿ).

ಎ) ಪರಿಹಾರ: ನಾವು ಅಜ್ಞಾತ ರೇಖೆಯನ್ನು ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಸ್ಕೀಮ್ಯಾಟಿಕ್ ಡ್ರಾಯಿಂಗ್ ಮಾಡೋಣ:

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಏನು ತಿಳಿದಿದೆ? ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ. ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಸಂಯೋಜಿಸಲು, ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ವೆಕ್ಟರ್ ಅಂತಹ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಸಾಕಷ್ಟು ಸೂಕ್ತವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾವು ಅದನ್ನು ನಿಭಾಯಿಸುತ್ತೇವೆ. ಹೆಚ್ಚು ನಿಖರವಾಗಿ, ಕುತ್ತಿಗೆಯ ಸ್ಕ್ರಫ್ನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ನ ಅಜ್ಞಾತ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

1) "ಎಲ್" ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯೋಣ ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಪುನಃ ಬರೆಯೋಣ:

ಪಾಠದ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಈಗ ಮೂರನೇ ಬಾರಿಗೆ ಜಾದೂಗಾರನು ತನ್ನ ಟೋಪಿಯಿಂದ ಬಿಳಿ ಹಂಸವನ್ನು ಎಳೆಯುತ್ತಾನೆ ಎಂದು ಹಲವರು ಊಹಿಸಿದ್ದಾರೆ. ಅಜ್ಞಾತ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳೊಂದಿಗೆ ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಆಗಿರುವುದರಿಂದ, ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು "el" ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಪೂರೈಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯತಾಂಕ ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ:

ಅಥವಾ ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ:

2) ಸ್ಥಿತಿಯ ಪ್ರಕಾರ, ರೇಖೆಗಳು ಲಂಬವಾಗಿರಬೇಕು, ಆದ್ದರಿಂದ, ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳು ಆರ್ಥೋಗೋನಲ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ನಂತರ ಅವರ ಸ್ಕೇಲಾರ್ ಉತ್ಪನ್ನಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಏನಾಯಿತು? ಅಜ್ಞಾತ ಒಂದನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಸರಳ ರೇಖೀಯ ಸಮೀಕರಣ:

3) ನಿಯತಾಂಕದ ಮೌಲ್ಯವು ತಿಳಿದಿದೆ, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್:
.

4) ನಾವು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ :

ಅನುಪಾತದ ಛೇದಗಳು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮಿದವು, ಮತ್ತು ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ತೊಡೆದುಹಾಕಲು ಸೂಕ್ತವಾದಾಗ ಇದು ನಿಖರವಾಗಿ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ. ನಾನು ಅವುಗಳನ್ನು -2 ರಿಂದ ಗುಣಿಸುತ್ತೇನೆ:

ಉತ್ತರ:

ಸೂಚನೆ : ಪರಿಹಾರಕ್ಕೆ ಹೆಚ್ಚು ಕಠಿಣವಾದ ಅಂತ್ಯವನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಔಪಚಾರಿಕಗೊಳಿಸಲಾಗಿದೆ: ಒಂದು ಬಿಂದು ಮತ್ತು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ರಚಿಸೋಣ . ವಾಸ್ತವವಾಗಿ, ಒಂದು ವೆಕ್ಟರ್ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕೊಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್, ಸ್ವಾಭಾವಿಕವಾಗಿ, ಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಪರಿಶೀಲನೆಯು ಎರಡು ಹಂತಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ:

1) ಆರ್ಥೋಗೋನಾಲಿಟಿಗಾಗಿ ರೇಖೆಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿ;

2) ನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿ ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಗಳಾಗಿ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ, ಅವರು ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಅಲ್ಲಿ ಎರಡೂ "ಹೊಂದಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು".

ವಿಶಿಷ್ಟ ಕ್ರಿಯೆಗಳ ಕುರಿತು ಸಾಕಷ್ಟು ಚರ್ಚೆಗಳು ನಡೆದಿವೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ನಾನು ಡ್ರಾಫ್ಟ್ ಅನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದೆ.

ಅಂದಹಾಗೆ, ನಾನು ಇನ್ನೊಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಮರೆತಿದ್ದೇನೆ - "el" ಎಂಬ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಹೋಲಿಸಿದರೆ "en" ಬಿಂದುವಿಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿ "zyu" ಬಿಂದುವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಲು. ಆದಾಗ್ಯೂ, ಉತ್ತಮವಾದ "ಫ್ಲಾಟ್ ಅನಲಾಗ್" ಇದೆ, ಅದನ್ನು ಲೇಖನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆಯೊಂದಿಗೆ ಸರಳವಾದ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು. ಇಲ್ಲಿ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಹೆಚ್ಚುವರಿ "Z" ನಿರ್ದೇಶಾಂಕದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಇರುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಹೇಗೆ?

b) ಪರಿಹಾರ: ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ.

ವಿಧಾನ ಒಂದು. ಈ ಅಂತರವು ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಉದ್ದಕ್ಕೆ ನಿಖರವಾಗಿ ಸಮನಾಗಿರುತ್ತದೆ: . ಪರಿಹಾರವು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ: ಅಂಕಗಳು ತಿಳಿದಿದ್ದರೆ , ಅದು:

ವಿಧಾನ ಎರಡು. ಪ್ರಾಯೋಗಿಕ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ, ಲಂಬವಾದ ಮೂಲವು ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಮೊಹರು ರಹಸ್ಯವಾಗಿದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಸಿದ್ಧ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಲು ಇದು ಹೆಚ್ಚು ತರ್ಕಬದ್ಧವಾಗಿದೆ.

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂತರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:
, "el" ನೇರ ರೇಖೆಯ ನಿರ್ದೇಶನ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಿದೆ, ಮತ್ತು - ಉಚಿತನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಾಲಿಗೆ ಸೇರಿದ ಬಿಂದು.

1) ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಹೆಚ್ಚು ಪ್ರವೇಶಿಸಬಹುದಾದ ಬಿಂದುವನ್ನು ಹೊರತೆಗೆಯುತ್ತೇವೆ.

2) ಸ್ಥಿತಿಯಿಂದ ಪಾಯಿಂಟ್ ತಿಳಿದಿದೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ತೀಕ್ಷ್ಣಗೊಳಿಸಿ:

3) ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನಮತ್ತು ಅದರ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಹಾಕಿ:

4) ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡಿ:

5) ಹೀಗಾಗಿ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ರೇಖೆಯ ಅಂತರ:

ಛೇದಿಸುವ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವಾಗಿದೆ ಎಂದು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ, ನೇರವಾಗಿದ್ದರೆ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ದಾಟಿದೆ, ನಂತರ ನಾವು ಸಾಲಿನ ಸಮಾನಾಂತರ ಅನುವಾದವನ್ನು ಮಾಡಬೇಕು ಎಲ್ o , ಇದರಿಂದ ಅದು ನೇರ ರೇಖೆಯಾಗಿ ಹೊರಹೊಮ್ಮುತ್ತದೆ ಎಲ್ o ¢ ಜೊತೆ ಛೇದಿಸುತ್ತಿದೆ ಎಲ್ 1, ಮತ್ತು ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಅಳೆಯಿರಿ ಎಲ್ o ¢ ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 .

ಎರಡು ಓರೆ ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಲಂಬವಾಗಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಇದರ ಉದ್ದವನ್ನು ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸೋಣ:

ಎಲ್ o: = =, ಎಲ್ 1: = = . (35)

ನಂತರ ನಾವು ತಕ್ಷಣ ತೀರ್ಮಾನಿಸಬಹುದು ( ಎ 1 , ಎ 2 , ಎ 3) ½½ ಎಲ್ o, ( ಬಿ 1 , ಬಿ 2 , ಬಿ 3) ½½ ಎಲ್ 1 , ಎ o( Xಓ, ವೈಓ, z o)Î ಎಲ್ಓ, ಎ 1 (X 1 , ವೈ 1 , z 1) ಓ ಎಲ್ 1 . ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ ಅನ್ನು ರಚಿಸೋಣ

X 1 – X o ವೈ 1 – ವೈ o z 1 –z o

ಎ = ಎ 1 ಎ 2 ಎ 3 ,

ಬಿ 1 ಬಿ 2 ಬಿ 3

ಮತ್ತು D = det ಅನ್ನು ಬಿಡಿ ಎ.

ಪ್ರಮೇಯ 8.1.l ಮತ್ತು p ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

cos a = = . (36)

2. ನೇರ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಅಂತರ್ಜಾತಿÛ D ≠ 0.

3. ನೇರ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಛೇದಿಸುತ್ತವೆÛ D = 0 ಮತ್ತು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ.

4. ಎಲ್ o½½ ಎಲ್ 1 ಶ್ರೇಣಿ ಎ= 2 ಮತ್ತು ½½.

5. ಎಲ್ o = ಎಲ್ 1 ಶ್ರೇಣಿ ಎ = 1.

ಪುರಾವೆ. 1. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವೆ ಕೋನ a ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ b ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರಬಹುದು ಅಥವಾ ಅದರ ಪಕ್ಕದಲ್ಲಿರಬಹುದು. ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ

cos a = cos b = ,

ಮತ್ತು ಎರಡನೇ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

cos a = – cos b =½ cos b½ = .

ಈ ಸೂತ್ರವು ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣಕ್ಕೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖಾಚಿತ್ರವು ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ತೋರಿಸುವುದಿಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನು ದಯವಿಟ್ಟು ಗಮನಿಸಿ ಎಲ್ o , ಮತ್ತು ಅದಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಸಾಲು ಎಲ್ o ¢ .

2, 3. ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ನೇರವಾಗಿ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರದಿದ್ದರೆ ಮಾತ್ರ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ - ವಾಹಕಗಳು ಕಾಪ್ಲಾನಾರ್ - ಅವುಗಳ ಮಿಶ್ರ ಉತ್ಪನ್ನವು ಶೂನ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ: = 0. ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಲ್ಲಿ, ನಿಖರತೆಯ ಈ ಉತ್ಪನ್ನವು D ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಅದರಂತೆ, D ≠ 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ವಾಹಕಗಳು ಕೋಪ್ಲಾನರ್ ಆಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ನೇರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಬೇಡಿ;

4, 5. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಲ್ o½½ ಎಲ್ 1 ಅಥವಾ ಎಲ್ o = ಎಲ್ 1, ನಂತರ ½½. ಆದರೆ ಮೊದಲ ಪ್ರಕರಣದಲ್ಲಿ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಎಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳಿಗೆ ಅಸಮಾನವಾಗಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಶ್ರೇಣಿ ಎ = 2.

ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಆದ್ದರಿಂದ, ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು

ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನಲ್ಲಿ ಎಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾದ. ಆದ್ದರಿಂದ ಶ್ರೇಣಿ ಎ = 1.

ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯಾಗಿ || , ನಂತರ ನೇರವಾಗಿ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಸಮಾನಾಂತರ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯ; ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್ನ ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೇ ಸಾಲುಗಳು ಎಪ್ರಮಾಣಾನುಗುಣವಾದ. ಒಂದು ವೇಳೆ, ಅದೇ ಸಮಯದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಣಿ ಎ= 2, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನ ಮೊದಲ ಸಾಲು ಎರಡನೇ ಮತ್ತು ಮೂರನೆಯದಕ್ಕೆ ಅಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ, ಅಂದರೆ ವೆಕ್ಟರ್ ಕೊಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲ ಮತ್ತು Û ಎಲ್ಓ || ಎಲ್ 1 . ಒಂದು ವೇಳೆ ಶ್ರೇಣಿ ಎ= 1, ನಂತರ ಮ್ಯಾಟ್ರಿಕ್ಸ್‌ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಎಅನುಪಾತದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ, ಅಂದರೆ ಎಲ್ಲಾ ಮೂರು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳು ಒಂದಕ್ಕೊಂದು ಕೋಲಿನಿಯರ್ ಆಗಿರುತ್ತವೆ Û ಎಲ್ o = ಎಲ್ 1 .

ಪ್ರಮೇಯ 9.ಎರಡು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳು l o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಅವುಗಳ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ (35). ನಂತರ

1. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಲ್ o½½ ಎಲ್ 1 , ನಂತರ l ನಡುವಿನ ಅಂತರ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಗಂ = , (37)

2. ಒಂದು ವೇಳೆ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ಅಡ್ಡ, ನಂತರ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಗಂ = . (38)

ಪುರಾವೆ. 1. ಅವಕಾಶ ಎಲ್ o½½ ಎಲ್ 1 . ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ರೂಪಿಸೋಣ ಎ o , ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ಮೇಲೆ ಮತ್ತು ನಾವು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತೇವೆ. ನಂತರ ಅದರ ಎತ್ತರ ಗಂನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 . ಈ ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜದ ಪ್ರದೇಶವು: ಎಸ್=½ ´½, ಮತ್ತು ಬೇಸ್ ½ ½ ಆಗಿದೆ. ಅದಕ್ಕೇ

ಗಂ = ಎಸ್/½ ½ = (37).

2. ಅವಕಾಶ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 ದಾಟಿದೆ. ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಸೆಳೆಯೋಣ ಎಲ್ o ವಿಮಾನ p o ½½ ಎಲ್ 1, ಮತ್ತು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಮೂಲಕ ಎಲ್ 1 ಸಮತಲವನ್ನು ಎಳೆಯಿರಿ p 1 ½½ ಎಲ್ o.

ನಂತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 p o ಮತ್ತು p 1 ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಯೋಜಿಸೋಣ ಎ o ಮತ್ತು ವಾಹಕಗಳ ಮೇಲೆ, ಮತ್ತು ಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ ಅನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸಿ. ನಂತರ ಅದರ ಕೆಳಗಿನ ತಳವು p o ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ತಳವು p 1 ಸಮತಲದಲ್ಲಿದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಸಮಾನಾಂತರದ ಎತ್ತರವು p o ಮತ್ತು p 1 ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೌಲ್ಯ ಗಂನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಎಲ್ o ಮತ್ತು ಎಲ್ 1 . ಸಮಾನಾಂತರ ಪೈಪ್ನ ಪರಿಮಾಣವು ½ ½ ಆಗಿದೆ, ಮತ್ತು ಬೇಸ್ನ ಪ್ರದೇಶವು ½´½ Þ

ಗಂ= ವಿ/ಎಸ್ಮೂಲ = (38).

ಪರಿಣಾಮ. ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ A 1 (X 1 , ವೈ 1 , z 1) ನೇರ ರೇಖೆಗೆ l, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

ಸೂತ್ರದ ಮೂಲಕ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗಿದೆ (37).

ಸಮಸ್ಯೆ ಪರಿಹಾರದ ಉದಾಹರಣೆಗಳು.

1. ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ(1,– 6), ಬಿ(–3, 0), ಸಿ(6, 9) ತ್ರಿಕೋನ ABC. ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತ ಸುತ್ತುವರೆದಿರುವ ವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು, ನಾವು ಅದರ ತ್ರಿಜ್ಯವನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳಬೇಕು ಆರ್ಮತ್ತು ಕೇಂದ್ರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಬಗ್ಗೆ(ಎ, ಬಿ) ನಂತರ ಸಮೀಕರಣವು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತದೆ:

(X–ಎ) 2 +(ವೈ–ಬಿ) 2 = ಆರ್ 2 .

ತ್ರಿಕೋನದ ಸುತ್ತಲೂ ಸುತ್ತುವರಿದ ವೃತ್ತದ ಕೇಂದ್ರವು ಈ ತ್ರಿಕೋನದ ಬದಿಗಳಿಗೆ ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕಗಳ ಛೇದಕದಲ್ಲಿದೆ. ಮಧ್ಯಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಂ 1 (X 1 , ವೈ 1), ಮತ್ತು ಎಂ 3 (X 3 , ವೈ 3) ಬದಿಗಳು ಬಿ.ಸಿ.ಮತ್ತು ಎಬಿಕ್ರಮವಾಗಿ:

x 1 = = =, ವೈ 1 = = = , ಎಂ 1 .

ಅಂತೆಯೇ ಎಂ 3 (–1,–3).

ಅವಕಾಶ ಎಲ್ 3 - ನೇರ ರೇಖೆ, ಇದು ಲಂಬ ದ್ವಿಭಾಜಕವಾಗಿದೆ ಎಬಿ, ಎ ಎಲ್ 1 ರಿಂದ ಬಿ.ಸಿ.. ನಂತರ = (– 4, 6) ^ ಎಲ್ 3 ಮತ್ತು ಎಲ್ 3 ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಎಂ 3. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದರ ಸಮೀಕರಣ ಹೀಗಿದೆ:

– 4(X+1) + 6(ವೈ+3) = 0.

ಅಂತೆಯೇ = (9, 9)^ ಎಲ್ 3. ಆದ್ದರಿಂದ ಸಮೀಕರಣ ಎಲ್ 1:

9(X-) + 9(ವೈ -) = 0

X + ವೈ – 6 = 0.

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಬಗ್ಗೆ =ಎಲ್ 1 I ಎಲ್ 3. ಆದ್ದರಿಂದ, ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಬಗ್ಗೆಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಎಲ್ 3:

X + ವೈ – 6 = 0 ,

– 4X + 6ವೈ +14 = 0.

ಮೊದಲ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಎರಡನೇ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಸೇರಿಸೋಣ, 4 ರಿಂದ ಗುಣಿಸಿ:

X + ವೈ – 6 = 0,

10ವೈ – 10 = 0.

ಇಲ್ಲಿಂದ ವೈ = 1, X = 5, ಓ(5, 1).

ತ್ರಿಜ್ಯವು ದೂರಕ್ಕೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಬಗ್ಗೆತ್ರಿಕೋನದ ಯಾವುದೇ ಶೃಂಗಗಳಿಗೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ:

ಆರ್ =½½= = .

ಆದ್ದರಿಂದ ವೃತ್ತದ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿರುತ್ತದೆ:

(X – 5) 2 + (ವೈ–1) 2 = 65.

2. ಬಲ ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯಲ್ಲಿ, ಒಂದು ಕಾಲುಗಳ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ 3X – 2ವೈ + 5 = 0, ಶೃಂಗದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಿ(–5,–5) ಮತ್ತು ಮಧ್ಯಮ O ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು(– 3/2,–3)ಹೈಪೊಟೆನ್ಯೂಸ್ ಎಬಿ. ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ

ಶೃಂಗಗಳು A, B ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ E ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು, BC ಯ ಬದಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ O ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿದೆ. ತ್ರಿಕೋನ ABC ಯ ಮಧ್ಯದ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ .

ಪರಿಹಾರ.ನಮಗೆ ನೀಡಿದ ಸಮೀಕರಣದ ಕಾಲು ಇರಲಿ NE. ಇದನ್ನು ರೂಪದ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

ಕೊಡಲಿ + ಮೂಲಕ + ಸಿ = 0.

ಈ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅರ್ಥ

ಗುಣಾಂಕಗಳು ಎಮತ್ತು ಬಿಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ( ಎ, ಬಿ) ಆದ್ದರಿಂದ (3,-2)^ ಸೂರ್ಯ.

ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಎಲ್ = ಒ.ಡಿ.ಬದಿಗೆ NEಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಡಿ. ವೆಕ್ಟರ್ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ ಒ.ಡಿ., ಅಂದರೆ ಇದು ಈ ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಹೆಚ್ಚುವರಿಯಾಗಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ತಿಳಿದಿದ್ದೇವೆ ಬಗ್ಗೆಈ ಸರಳ ರೇಖೆಯಲ್ಲಿ. ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಎಲ್:

X = – + 3ಟಿ, (*)

ವೈ = – 3 - 2ಟಿ .

ನಾವು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ ಡಿ = ಎಲ್ I ಬಿ.ಸಿ.. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಹಂತದ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು ಎಲ್ಮತ್ತು ಬಿ.ಸಿ.. ಬದಲಿ ಮಾಡೋಣ Xಮತ್ತು ವೈ Eq ನಿಂದ. ಎಲ್ಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಬಿ.ಸಿ.:

3(– + 3ಟಿ) –2(–3 -2ಟಿ)+5 = 0,

– + 9ಟಿ +6 +4ಟಿ+5 = 0,

13ಟಿ = –, ಟಿ ಡಿ= – .

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡದ್ದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಟಿಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಎಲ್ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ ಡಿ(–3,–2). ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಇಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸೋಣ: ಇದು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಬಗ್ಗೆ OEವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ OD. ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೇಳೆ ಟಿ ಡಿ= - ನಾವು ಬಹಳ ದೂರ ಬಂದಿದ್ದೇವೆ ಬಗ್ಗೆಮೊದಲು ಡಿ, ನಂತರ ಮಾರ್ಗ ಬಗ್ಗೆಮೊದಲು ಇನಾವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಟಿ ಇ= 2ಟಿ ಡಿ= –1. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (*) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಇ(– 4,5;–1).

ಡಾಟ್ ಡಿಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಬಿ.ಸಿ.ಅರ್ಧದಲ್ಲಿ. ಅದಕ್ಕೇ

x D =, ವೈ ಡಿ = .

ಇಲ್ಲಿಂದ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

x ಬಿ= 2xD– xC= –1, ವೈ ಬಿ = 2ವೈ ಡಿ – ವೈ ಸಿ =1, ಬಿ(–1, 1).

ಅಂತೆಯೇ, ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ ಬಗ್ಗೆ- ಮಧ್ಯಮ ಎಬಿ, ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಎ(-2,-7). ಈ ಸಮಸ್ಯೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಇನ್ನೊಂದು ಮಾರ್ಗವಿದೆ: Δ ಅನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಿ ಎಬಿಸಿಒಂದು ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜಕ್ಕೆ.

ಈ ನಿಟ್ಟಿನಲ್ಲಿ ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸೂತ್ರಗಳು ಈ ರೀತಿ ಕಾಣುತ್ತವೆ:

x ಸಿ =, ವೈ ಡಿ = ,

ಪಾಯಿಂಟ್ ವೇಳೆ ಜೊತೆಗೆಒಂದು ವಿಭಾಗವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ ಎಬಿ l 1: l 2 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ, ಅಂದರೆ. ½ ಎ.ಸಿ.½:½ ಬಿ.ಸಿ.½=l 1:l 2.

ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವು ಮಧ್ಯವನ್ನು 2: 1 ರ ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ಶೃಂಗದಿಂದ ಎಣಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆರ್ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ CO 2:1 ಅನುಪಾತದಲ್ಲಿ. ಅದಕ್ಕೇ

xP = = = – ,

yP = = = – .

ಉತ್ತರ:ಎ(–2,–7), ಬಿ(–1, 1), ಪ.

3. ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ ಎ(– 4,–2), ಬಿ(9, 7), ಸಿ(2,– 4)ತ್ರಿಕೋನ ABC. ದ್ವಿಭಾಜಕ AD ಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ ಮತ್ತು D ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ. ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಗಣಿತದ ಕೋರ್ಸ್‌ನಿಂದ ಇದು = ಎಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ. ನಾವು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ

(13, 9), (6,–2);

½½= = 5, ½½= = 2.

x D = = = 4,

ವೈ ಡಿ = = = – , ಡಿ(4,–).

ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಾವು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಮತ್ತು ಡಿ. ಅವಳಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿದೆ. ಆದರೆ ನಾವು ಯಾವುದೇ ಕಾಲಿನಿಯರ್ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, = , (7, 1) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಲು ಇದು ಅನುಕೂಲಕರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ನಂತರ ಸಮೀಕರಣ

ಕ್ರಿ.ಶ: = ವೈ+ 2 ಎ X – 7ವೈ– 10 = 0.

ಉತ್ತರ:ಡಿ(4,–), ಕ್ರಿ.ಶ: X – 7ವೈ– 10 = 0.

4. ಎರಡು ಸರಾಸರಿಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ x – ವೈ– 3 = 0, 5X + 4ವೈ– 9 = 0 ತ್ರಿಕೋನ ABC ಮತ್ತು ಶೃಂಗ A ಯ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು(– 1, 2). ಮೂರನೇ ಸರಾಸರಿಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಮೊದಲು ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಂದು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಎಈ ಮಧ್ಯವರ್ತಿಗಳಿಗೆ ಸೇರಿಲ್ಲ. ತ್ರಿಕೋನದ ಮಧ್ಯಭಾಗಗಳು ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಎಂ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವುಗಳನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಗಳ ಬಂಡಲ್ನಲ್ಲಿ ಸೇರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ ಎಂ. ಈ ಕಿರಣಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ:

l( X – ವೈ– 3) + ಮೀ(5 X + 4ವೈ– 9) = 0.

ಗುಣಾಂಕಗಳು l ಮತ್ತು m ಅನುಪಾತದವರೆಗೆ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ; ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು m = 1 (m = 0 ಆಗಿದ್ದರೆ, ಕಿರಣದ ಸಮೀಕರಣವು ಮೊದಲ ಮಧ್ಯಂತರವನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಬಯಸಿದ ನೇರ ರೇಖೆಯು ಅದರೊಂದಿಗೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ) ಎಂದು ನಾವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ನಾವು ಕಿರಣದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

(l + 5) X+ (–l + 4) ವೈ– 3l – 9 = 0.

ಈ ಕಿರಣದಿಂದ ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ನೇರ ರೇಖೆಯನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ ಎ(- 12) ಕಿರಣದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ:

– (l + 5) + 2(–l + 4) – 3l – 9 = 0,

– 6l – 6 = 0, l = –1.

ನಾವು l ನ ಕಂಡುಬರುವ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಿರಣದ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅಪೇಕ್ಷಿತ ಮಧ್ಯದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

4X + 5ವೈ– 6 = 0.

ಉತ್ತರ: 4X + 5ವೈ– 6 = 0.

5. ತ್ರಿಕೋನ ಪಿರಮಿಡ್ SABC ಯ ಶೃಂಗಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ: ಎ(–3, 7, 1), ಬಿ(–1, 9, 2), ಸಿ(–3, 6, 6) ಎಸ್(6,–5,–2). ಬೇಸ್ ಪ್ಲೇನ್ ABC ಯ ಸಮೀಕರಣ ಮತ್ತು ಎತ್ತರ SD ಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ ಎಸ್ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ¢ , ಬೇಸ್ನ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯ ಎಸ್.

ಪರಿಹಾರ.ಬೇಸ್ p = ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಎಬಿಸಿ:

= (2, 1, 1), = (0,–1, 5).

ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ ಎ(Xಓ, ವೈಓ, z o) ಎರಡು ಕಾಲಿನಿಯರ್ ಅಲ್ಲದ ವಾಹಕಗಳಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ( ಎ 1 ,ಎ 2 , ಎ 3), (ಬಿ 1 ,ಬಿ 2 , ಬಿ 3) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

X – X o ವೈ – ವೈ o z – z o

ಎ 1 ಎ 2 ಎ 3 = 0.

ಬಿ 1 ಬಿ 2 ಬಿ 3

ನಾವು ನಮ್ಮ ಡೇಟಾವನ್ನು ಈ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

X + 3 ವೈ – 7 z – 1

2 2 1 = 0.

0 –1 5

ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕವನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ವೆಕ್ಟರ್ (11,–10,–2) ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಂದು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ. ಅದೇ ವೆಕ್ಟರ್ ನೇರ ರೇಖೆಗೆ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ ಗಂ = SD. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣ ಎ(Xಓ, ವೈಓ, z o) ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್‌ನೊಂದಿಗೆ ( ಎ 1 ,ಎ 2 , ಎ 3) ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ

X = X o + ಎ 1 ಟಿ ,

ವೈ = ವೈ o + ಎ 2 ಟಿ ,

z = z o + ಎ 3 ಟಿ .

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆಯುತ್ತೇವೆ:

X = 6 + 11ಟಿ ,

ಗಂ: ವೈ = –5 – 10ಟಿ , (*)

z = –2 – 2ಟಿ .

ಲಂಬವಾದ ಆಧಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ. ಇದು ಸಮತಲ p ಯೊಂದಿಗೆ ರೇಖೆಯ ಛೇದನದ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಮತ್ತು p ಅನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಬದಲಿ ಎಲ್π ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ:

11(6 + 11ಟಿ) – 10(–5 – 10 ಟಿ) – 2(–2 – 2ಟಿ) + 105 = 0,

66 + 121 ಟಿ + 50 + 100 ಟಿ + 4 + 4 ಟಿ + 105 = 0,

225 ವೈ = –225, ಟಿ = –1.

ಕಂಡು ಟಿಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಯಾಗಿ ಎಲ್ಮತ್ತು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಡಿ(–5, 5, 0).

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣದ ಭೌತಿಕ ಅರ್ಥವನ್ನು ನಾವು ನೆನಪಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ: ಇದು ರೆಕ್ಟಿಲಿನಿಯರ್ ಮತ್ತು ಏಕರೂಪದ ಚಲನೆಯನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಆರಂಭಿಕ ಹಂತವಾಗಿದೆ ಎಸ್, ವೇಗ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ. ಲೈನ್ ವಿಭಾಗ SSವಿಭಾಗಕ್ಕಿಂತ ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಉದ್ದವಾಗಿದೆ SDಮತ್ತು ಅದನ್ನು ಪೂರ್ಣಗೊಳಿಸಲು ಎರಡು ಪಟ್ಟು ಹೆಚ್ಚು ಸಮಯ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಸಮಯದಲ್ಲಿ ವೇಳೆ ಟಿ ಡಿ= – 1 ನಾವು ಹೋಗಿದ್ದೇವೆ ಎಸ್ಮೊದಲು ಡಿ, ನಂತರ ಮಾರ್ಗ ಎಸ್ಮೊದಲು ಎಸ್¢ ನಾವು ಸಮಯಕ್ಕೆ ಹೋಗುತ್ತೇವೆ ಟಿ¢= 2 ಟಿ ಡಿ=-2. ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು (*) ಗೆ ಬದಲಿಸಿ, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎಸ್¢(–16, 15; 2).

ಉತ್ತರ:ಎಬಿಸಿ: 11X – 10ವೈ– 2z +105 = 0, ಡಿ(–5, 5, 0), ಎಸ್¢(–16, 15; 2),

X = 6 + 11ಟಿ ,

SD: ವೈ = –5 – 10ಟಿ ,

z = –2 – 2ಟಿ .

6. ಸಮತಲ p ನ ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

l ಮತ್ತು p ಛೇದಿಸುವುದನ್ನು ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ ಮತ್ತು l ನ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ¢ ನೇರ ರೇಖೆ ಎಲ್ ವಿಮಾನಕ್ಕೆ. l ಮತ್ತು p ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ .

ಪರಿಹಾರ. ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನಾವು ಅದರ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (1,–1, 2) ಮತ್ತು ಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದು: ಎ(6, 0, 2) , ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ - ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್:

(5,–2, 4). ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ, ವೇಳೆ ಎಲ್½½ p ಅಥವಾ, ನಂತರ ^ ಅಂದರೆ. · = 0. ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ:

· = 5 1 – 2 (–1) + 4 2 = 15 ¹ 0.

ಅಂದರೆ, ಎಲ್π ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ. ನಡುವಿನ ಕೋನ ಎಲ್ಮತ್ತು p ಅನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ:

ಪಾಪ ಎ = ;

|| = = , || = = = 3 .

ಪಾಪ ಎ = = .

ಅವಕಾಶ ಎ o - ಪಾಯಿಂಟ್ ಪ್ರೊಜೆಕ್ಷನ್ ಎವಿಮಾನದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಬಿ = ಎಲ್ I π . ನಂತರ ಎಲ್¢= ಎ o ಬಿನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ರಕ್ಷೇಪಣವಾಗಿದೆ. ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಬಿ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪುನಃ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ ಎಲ್ನಿಯತಾಂಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ:

X = 6 + ಟಿ,

ಎಲ್: ವೈ = – ಟಿ,

z = 2 + 2ಟಿ,

ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಿ π . ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಬದಲಿ ಎಲ್ಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ π :

5(6 + ಟಿ) – 2(– ಟಿ) + 4(2 + 2ಟಿ) + 7 = 0,

30 + 5ಟಿ + 2ಟಿ + 8 + 8ಟಿ + 7 = 0,

15ಟಿ = – 45, ಟಿ = – 3.

ಇದನ್ನು ಬದಲಿಸುವುದು ಟಿಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಎಲ್ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ ಬಿ(3, 3, 4). ಲಂಬವಾಗಿರುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸೋಣ ಗಂ = ಎ.ಎ. o. ನೇರಕ್ಕೆ ಗಂವೆಕ್ಟರ್ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ಅದಕ್ಕೇ ಗಂಸಮೀಕರಣದಿಂದ ನೀಡಲಾಗಿದೆ

X = 6 + 5ಟಿ,

ಗಂ: ವೈ = –2 ಟಿ,

z = 2 + 4ಟಿ,

ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ನಾವು ಅದನ್ನು π ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣದೊಂದಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ o:

5(6 + 5ಟಿ) – 2(–2ಟಿ) + 4(2 + 4ಟಿ) + 7 = 0,

30 + 25ಟಿ + 4ಟಿ + 8 + 16ಟಿ + 7 = 0,

45ಟಿ = – 45, ಟಿ = – 1.

ಇದನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಟಿಸಮೀಕರಣದೊಳಗೆ ಗಂಮತ್ತು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಎ o (1, 2,–2). ರೇಖೆಯ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಅನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಲ್": ಎ o ಬಿ(2, 1,–2) ಮತ್ತು ಅದರ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಿ:

.

7. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ನೇರ ರೇಖೆ l ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನೀಡಲಾಗುತ್ತದೆ

2X+2ವೈ– z– 1=0,

4X– 8ವೈ+ z – 5= 0,

ಮತ್ತು ಪಾಯಿಂಟ್ A ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ(–5,6,1). ನೇರ ರೇಖೆ l ಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ A ಗೆ ಸಮ್ಮಿತೀಯವಾಗಿರುವ ಪಾಯಿಂಟ್ B ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ.

ಪರಿಹಾರ.ಅವಕಾಶ ಪ- ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ಲಂಬವಾದ ತಳವು ಕುಸಿಯಿತು ಎನೇರವಾಗಿ ಎಲ್. ಮೊದಲು ನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಪ. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ಪಾಯಿಂಟ್ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಪ್ಲೇನ್ p ಗೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎ p 1 ಮತ್ತು p 2 ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ. ಈ ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (2, 2,–1), (4,–8, 1). ಪ್ಲೇನ್ p ಗೆ ಅವರು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳಾಗಿರುತ್ತಾರೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಈ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವು ಹೀಗಿದೆ:

X + 5 ವೈ – 6 z – 1

2 2 –1 = 0.

4 –8 1

– 6(X + 5) – 6(ವೈ – 6) –24(z – 1) = 0 .

ಆವರಣವನ್ನು ತೆರೆಯುವ ಮೊದಲು, ಖಚಿತಪಡಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ

ಮೊದಲಿಗೆ, ಸಂಪೂರ್ಣ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು - 6 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ:

X + 5 + ವೈ – 6 + 4(z – 1) = 0,

x+ y+ 4z – 5 = 0.

ಈಗ ಪ- p, p 1 ಮತ್ತು p 2 ವಿಮಾನಗಳ ಛೇದನದ ಬಿಂದು. ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಈ ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ಮಾಡಲ್ಪಟ್ಟ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಬೇಕು:

X + ವೈ + 4z – 5 = 0,

4X – 8ವೈ + z – 5 = 0,

2X + 2ವೈ – z – 1 = 0.

ಗಾಸ್ ವಿಧಾನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಅದನ್ನು ಪರಿಹರಿಸುವುದು, ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಪ(1,0,1) ಮುಂದೆ, ಎಂಬ ಅಂಶವನ್ನು ಬಳಸಿ ಪ- ಮಧ್ಯಮ ಎಬಿನಾವು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಬಿ(7,–6,1).

ಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಪಹತ್ತಿರವಿರುವ ಇನ್ನೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಎನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದು ಎಲ್. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಈ ಸಾಲಿಗೆ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ. ಇದನ್ನು ಹೇಗೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ 10 . ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಗಳಿಗಾಗಿ, ಕಾರ್ಯವನ್ನು ನೋಡಿ 8 .

8. INಡಿ ಎಬಿಸಿ ಶೃಂಗಗಳೊಂದಿಗೆ A(9, 5, 1), ಬಿ(–3, 8, 4), ಸಿ(9,–13,–8) ಎತ್ತರದ AD ಅನ್ನು ಎಳೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿ ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಹುಡುಕಿ, AD ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ, h ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ=½ ಕ್ರಿ.ಶ½ ಮತ್ತು h ಅನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವ ಮೂಲಕ ಪರಿಶೀಲಿಸಿಎಸ್ ಡಿ ಅಡ್ಡ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವ ಎಬಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ನಿಸ್ಸಂಶಯವಾಗಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಡಿಈ ರೀತಿ ಕಾಣಬಹುದು: ಡಿ= πI ಬಿ.ಸಿ., ಇಲ್ಲಿ π ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲವಾಗಿದೆ ಎಬದಿಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಬಿ.ಸಿ.. ಈ ವಿಮಾನವು ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿ ಕಾರ್ಯನಿರ್ವಹಿಸುತ್ತದೆ. ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ (12,–21,–12). ಈ ವೆಕ್ಟರ್‌ನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ 3 ರಿಂದ ಭಾಗಿಸಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ, p ಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ನಂತೆ ನಾವು = , (4,–7,–4) ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣ ಎ o( Xಓ, ವೈಓ, zಒ) ವೆಕ್ಟರ್ಗೆ ಲಂಬವಾಗಿ ( ಎ, ಬಿ, ಸಿ), ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ಎ(X – X o) + ಬಿ(ವೈ – ವೈ o) + ಸಿ(z – z o) = 0.

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ:

4(X – 9) - 7(ವೈ – 5) - 4(z – 1) = 0,

4X - 7ವೈ - 4z + 3 = 0,

ಸರಳ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಮಾಡೋಣ ಬಿ.ಸಿ.. ಅವಳಿಗೆ, ವೆಕ್ಟರ್ ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಯಾಗಿರುತ್ತದೆ:

X = –3 + 4ಟಿ,

ಬಿ.ಸಿ.: ವೈ = 8 – 7ಟಿ, (*)

z = 4 – 4ಟಿ,

ಏಕೆಂದರೆ ದಿ ಡಿ= πI ಬಿ.ಸಿ., ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಡಿಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಹರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ π ಮತ್ತು ಬಿ.ಸಿ.. ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಬದಲಿ ಬಿ.ಸಿ.π ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ:

4(–3 + 4ಟಿ) – 7(8 – 7ಟಿ) – 4(4 – 4ಟಿ) + 3 = 0,

–12 + 16 ಟಿ – 56 + 49ಟಿ – 16 + 16 ಟಿ + 3 = 0,

81ಟಿ = 81, ಟಿ = 1.

ಇದನ್ನು ಬದಲಿಸೋಣ ಟಿಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಿ.ಸಿ.ಮತ್ತು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಡಿ(1, 1, 0). ಮುಂದೆ, ಬಿಂದುಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ತಿಳಿದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಎಮತ್ತು ಡಿ, ನಾವು ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಕ್ರಿ.ಶಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಬಿಂದುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರವನ್ನು ನಾವು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುತ್ತೇವೆ:

ಐ ಜೆ ಕೆ ಐ ಜೆ ಕೆ

´ = –12 3 3 = –27· – 4 1 1 = –27(– i + 4ಜ– 8ಕೆ) .

0 –18 –9 0 2 1

(ಲೆಕ್ಕಾಚಾರದ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ, ನಾವು ನಿರ್ಣಾಯಕದ ಆಸ್ತಿಯನ್ನು ಬಳಸಿದ್ದೇವೆ: ಒಂದು ಸಾಲಿನ ಅಂಶಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅಂಶವನ್ನು ನಿರ್ಣಾಯಕ ಚಿಹ್ನೆಯಿಂದ ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳಬಹುದು).

SΔ ಎಬಿಸಿ= · 27 = .

ಮತ್ತೊಂದೆಡೆ, S Δ ಎಬಿಸಿ = | |· ಗಂ. ಇಲ್ಲಿಂದ ಗಂ= ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

ಅದಕ್ಕೇ ಗಂ= 9. ಇದು ಹಿಂದೆ ಕಂಡುಕೊಂಡ ಉತ್ತರಕ್ಕೆ ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ.

ಪೂರ್ಣ ವಿರಾಮ ಡಿಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬಹುದು ಎನೇರ ರೇಖೆಯ ಬಿಂದು ಬಿ.ಸಿ.ಡಿಫರೆನ್ಷಿಯಲ್ ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರದ ವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಬಳಸುವುದು. ಅವಕಾಶ ಎಂ(ಟಿ) - ನೇರ ರೇಖೆಯ ಅನಿಯಂತ್ರಿತ ಬಿಂದು ಬಿ.ಸಿ.; ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ (*):

ಎಂ(–3 + 4ಟಿ, 8 – 7ಟಿ, 4 – 4ಟಿ).

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ವರ್ಗದ ಅಂತರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಮೊದಲು ಎಂ(ಟಿ):

ಗಂ 2 (ಟಿ) = (9 + 3 – 4ಟಿ) 2 + (5 – 8 + 7ಟಿ) 2 + (1 – 4 + 4ಟಿ) 2

= (12 – 4ಟಿ) 2 + (–3 + 7ಟಿ) 2 + (–3 + 4ಟಿ) 2 =

144 – 96ಟಿ + 16ಟಿ 2 + 9 – 42ಟಿ + 49ಟಿ 2 + 9 – 24ಟಿ + 16ಟಿ 2 =

81ಟಿ 2 – 162ಟಿ + 162.

ಕಾರ್ಯದ ಚಿಕ್ಕ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ ಗಂ 2 (ಟಿವ್ಯುತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸುವುದು:

ಗಂ 2 (ಟಿ) = 162ಟಿ – 162; ಗಂ 2 (ಟಿ) = 0 Þ ಟಿ = 1.

ಈ ಮೌಲ್ಯವನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಟಿಒಂದು ಸಾಲಿನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬಿ.ಸಿ.ಮತ್ತು ನಾವು ಅದನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಡಿ(1, 1, 0) ಹತ್ತಿರದಲ್ಲಿದೆ ಎಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಪಾಯಿಂಟ್ ಬಿ.ಸಿ..

9. ಕೆಳಗಿನ ಜೋಡಿ ವಿಮಾನಗಳ ಸಂಬಂಧಿತ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ತನಿಖೆ ಮಾಡಿ(ಛೇದಿಸಿ, ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ, ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುತ್ತದೆ). ವಿಮಾನಗಳು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಅವು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಿರಿ – ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಅಂತರ.

ಎ) p1:2 ವೈ+ z + 5 = 0, ಪು 2: 5 X + 4ವೈ– 2z +11 = 0.

ಪರಿಹಾರ.ವಿಮಾನಗಳು p 1 ಮತ್ತು p 2 ಅನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನೀಡಿದರೆ

ಎ 1 X + ಬಿ 1 ವೈ + ಸಿ 1 z + ಡಿ 1 = 0, ಎ 2 X + ಬಿ 2 ವೈ + ಸಿ 2 z + ಡಿ 2 = 0,

p 1 ½½ p 2 Û = = ¹,

p 1 = p 2 Û = = = .

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ¹ ¹, ಆದ್ದರಿಂದ ವಿಮಾನಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ ಮತ್ತು ಹೊಂದಿಕೆಯಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರರ್ಥ ಅವು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ. ವಿಮಾನಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನವನ್ನು ಸೂತ್ರದಿಂದ ಲೆಕ್ಕಹಾಕಲಾಗುತ್ತದೆ

cos ಎ = ,

ಅಲ್ಲಿ ಮತ್ತು ಈ ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಾಹಕಗಳು. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ

(0, 2, 1), (5, 4,–2), · = 0·5 + 2· 4 + 1·(–2);

|| = = , || = = 3 .

ಆದ್ದರಿಂದ cos ಎ = = .

ಉತ್ತರ: a = ಆರ್ಕೋಸ್.

b) p1: X – ವೈ+ 2z + 8 = 0,

p2:2 X – ವೈ+ 4z –12 = 0.

ಪರಿಹಾರ.ಸಮಾನಾಂತರತೆ ಅಥವಾ ಕಾಕತಾಳೀಯತೆಗಾಗಿ ಪರಿಶೀಲಿಸಲಾಗುತ್ತಿದೆ:

ಇದರರ್ಥ p 1 ½½ p 2 ಆದರೆ p 1 ¹ p 2 . ಬಿಂದುವಿನಿಂದ ದೂರ ಎ(X, ವೈ, z) ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಸೂಚಿಸಲಾದ ಸಮತಲಕ್ಕೆ ಸೂತ್ರದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲಾಗುತ್ತದೆ

ಗಂ = .

ಒಂದು ಬಿಂದುವನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳೋಣ ಎಒಪಿ 1. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನೀವು p 1 ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪೂರೈಸುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ. ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ, ಸರಳವಾದ ವಿಷಯವೆಂದರೆ: ಎ o (0, 8, 0). ನಿಂದ ದೂರ ಎ o ನಿಂದ p 2 ಮತ್ತು p 1 ಮತ್ತು p 2 ನಡುವಿನ ಅಂತರವಾಗಿರುತ್ತದೆ:

ಗಂ = = .

10. ವಿಮಾನದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿಪ, ಇದು ಸಮತಲಗಳ ನಡುವಿನ ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ

p1:2 X– ವೈ+ 2= 0, ಪು 2: 5 X+ 4ವೈ– 2z–14 = 0,

ಇದು ಈ ಬಿಂದುವನ್ನು ಒಳಗೊಂಡಿದೆ A(0, 3,–2). ನೇರ ರೇಖೆಯ ಪ್ಯಾರಾಮೆಟ್ರಿಕ್ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಿ l = ಪ 1 I ಪ 2 ;

ಪರಿಹಾರ.ಬಿಂದುವು ಸಮತಲ p ಮೇಲೆ ಇದ್ದರೆ, ಅದು ದ್ವಿಮುಖ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುತ್ತದೆ, ನಂತರ ದೂರಗಳು ಗಂ 1 ಮತ್ತು ಗಂ 2 ಈ ಹಂತದಿಂದ p 1 ಮತ್ತು p 2 ಗೆ ಸಮಾನವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ನಾವು ಈ ದೂರವನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳನ್ನು ಸಮೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ:

ನಾವು ಒಂದೇ ಅಥವಾ ವಿಭಿನ್ನ ಚಿಹ್ನೆಗಳೊಂದಿಗೆ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ಗಳನ್ನು ತೆರೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು 2 ಉತ್ತರಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು, ಏಕೆಂದರೆ... p 1 ಮತ್ತು p 2 ಎರಡು ಡೈಹೆಡ್ರಲ್ ಕೋನಗಳನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದರೆ ಸ್ಥಿತಿಯು ಬಿಂದು ಇರುವ ಕೋನವನ್ನು ವಿಭಜಿಸುವ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವ ಅಗತ್ಯವಿದೆ. ಎ. ಆದ್ದರಿಂದ ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳು ಎಂಈ ಸಮತಲಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಎಡಭಾಗಕ್ಕೆ ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಪ 1 ಮತ್ತು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳಂತೆಯೇ ಅದೇ ಚಿಹ್ನೆಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರಬೇಕು ಎ. ಈ ಚಿಹ್ನೆಗಳು p 1 ಮತ್ತು "+" p 2 ಗಾಗಿ ಎಂದು ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದು ಸುಲಭ. ಆದ್ದರಿಂದ, ನಾವು ಮೊದಲ ಮಾಡ್ಯೂಲ್ ಅನ್ನು “–” ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ಮತ್ತು ಎರಡನೆಯದನ್ನು “+” ಚಿಹ್ನೆಯೊಂದಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸುತ್ತೇವೆ:

3(-2X + ವೈ- 2) = 5X+ 4ವೈ– 2z–14,

ಪು:11 X + ವೈ - 2z - 14 = 0.

ನೇರ ರೇಖೆಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಎಲ್, ನಾವು ಈ ಸಾಲಿನ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಮತ್ತು ಅದರ ಮೇಲಿನ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ p 1 ಮತ್ತು p 2 ಈ ವಿಮಾನಗಳಿಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ವೆಕ್ಟರ್‌ಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (2,–1, 0), (5, 4,–2). ನೇರ ವೆಕ್ಟರ್ ಎಲ್ಲಂಬವಾಗಿ ಮತ್ತು ವೆಕ್ಟರ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು ಇದನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು (ವ್ಯಾಖ್ಯಾನದ ಪ್ರಕಾರ, = ´, ನಂತರ ^ ಮತ್ತು ^):

= ´ = 2 –1 0 = 2 i + 4ಜ+ 13ಕೆ .

ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು, ನಾವು ಸಮೀಕರಣಗಳ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು.

ಎರಡು ಸಮೀಕರಣಗಳು ಮತ್ತು ಮೂರು ಅಜ್ಞಾತಗಳು ಇರುವುದರಿಂದ, ವ್ಯವಸ್ಥೆಯು ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪರಿಹಾರಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ. ನಾವು ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಹಾಕುವುದು ಸುಲಭವಾದ ಮಾರ್ಗವಾಗಿದೆ X= 0 ಮತ್ತು ನಂತರ ನಾವು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ

Þ z = – 3, .

ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ಹಾದುಹೋಗುವ ರೇಖೆಯ ಅಂಗೀಕೃತ ಸಮೀಕರಣ ಬಿ(Xಓ, ವೈಓ, z o) ವೆಕ್ಟರ್‌ಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ( ಎ 1 , ಎ 2 , ಎ 3), ರೂಪವನ್ನು ಹೊಂದಿದೆ:

ನಮ್ಮ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ನಾವು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಹೊಂದಿದ್ದೇವೆ:

ಎಲ್: = = .

ಉತ್ತರ:ಪು: 11 X + ವೈ – 2z = 0, ಎಲ್: = = .

11. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ನೀಡಲಾಗಿದೆ:

X = –1 – ಟಿ, X = –3 + 2ಟಿ¢,

ಎಲ್ 1: ವೈ = 6 + 2 ಟಿ, ಎಲ್ 2: ವೈ = –2 – 3ಟಿ¢,

z = 5 + 2ಟಿ, z = 3 – 2ಟಿ¢.

ಈ ರೇಖೆಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಅವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬಕ್ಕೆ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ನಿರ್ಮಿಸುತ್ತವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

ಪರಿಹಾರ.ರೇಖೆಗಳ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ ನಾವು ಅವುಗಳ ದಿಕ್ಕಿನ ವಾಹಕಗಳ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಳ್ಳುತ್ತೇವೆ: (–1, 2, 2), (2,–3,–2) ಮತ್ತು ಅಂಕಗಳು l 1, ಅಂದರೆ ಇದು ಸಾಮಾನ್ಯ ಲಂಬವಾಗಿರುವ ದಿಕ್ಕಿನ ವೆಕ್ಟರ್ ಆಗಿದೆ ಈ ಸಾಲುಗಳು. ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಅದರ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಕೊಂಡಿದ್ದೇವೆ: (2, 2,–1). ಸಲುವಾಗಿ

ಒಂದು ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬರೆಯಿರಿ ಗಂಈ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ನಾವು ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನ ನಿರ್ದೇಶಾಂಕಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬೇಕು. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ನಾವು ವಿಮಾನ π ಹಾದುಹೋಗುವ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ರಚಿಸುತ್ತೇವೆ ಎಲ್ 1 ಮತ್ತು ಗಂ. ಅವಳಿಗೆ, ವಾಹಕಗಳು ಮಾರ್ಗದರ್ಶಿಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ, ಮತ್ತು ಎÎp

X – 1 ವೈ – 2 z – 1

– 6(X – 1) + 3(ವೈ – 2) – 6(z – 1) = 0.

– 2(X – 1) + (ವೈ – 2) – 2(z – 1) = 0.

ಪು:-2 X + ವೈ – 2z + 2 = 0.

ಛೇದಕ ಬಿಂದುವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದು ಎಲ್ 2 ಮತ್ತು π. ಇದನ್ನು ಮಾಡಲು, ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಎಲ್ 2 ನಾವು π ಅನ್ನು ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ ಬದಲಿಸುತ್ತೇವೆ:

–2(–3 + 2ಟಿ¢) -2 + 3 ಟಿ¢ – 2(3 – 2 ಟಿ¢) + 2 = 0,

6 – 4ಟಿ¢ – 2 – 3 ಟಿ¢ – 6 – 4 ಟಿ¢ + 2 = 0,

–7ಟಿ¢= 0, ಟಿ¢= 0.

ನಾವು ಕಂಡುಕೊಂಡದ್ದನ್ನು ಬದಲಿಸಿ ಟಿ¢ ರಲ್ಲಿ

ಈ ಪಾಠದಲ್ಲಿ ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವಿಷಯದ ಕುರಿತು ಮೂಲಭೂತ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು ಮತ್ತು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ.
ಪಾಠದ ಆರಂಭದಲ್ಲಿ, ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನವನ್ನು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಸೆಳೆಯಲು ಸಾಧ್ಯ ಎಂಬ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮುಂದೆ ನಾವು ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಲೆಮ್ಮಾವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ. ಮತ್ತು ಅದರ ಸಹಾಯದಿಂದ ನಾವು ಮೂರನೇ ಸಾಲಿಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುತ್ತೇವೆ.

ವಿಷಯ: ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ

ಪಾಠ: ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು. ಮೂರು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ

ನಾವು ಈಗಾಗಲೇ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ. ಈಗ ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ಅನುಗುಣವಾದ ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ: ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ (ಚಿತ್ರ 1.).

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಪದನಾಮ: a || ಬಿ.

1. ಯಾವ ಸಾಲುಗಳನ್ನು ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ?

2. ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುವ ಎಲ್ಲಾ ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿವೆ ಎಂದು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸಿ.

3. ಒಂದು ರೇಖೆಯು ರೇಖೆಗಳನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ ಎಬಿಮತ್ತು ಬಿ.ಸಿ.ಲಂಬ ಕೋನಗಳಲ್ಲಿ. ಸಾಲುಗಳು ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿದೆಯೇ? ಎಬಿಮತ್ತು ಬಿ.ಸಿ.?

4. ಜ್ಯಾಮಿತಿ. ಶ್ರೇಣಿಗಳು 10-11: ಸಾಮಾನ್ಯ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಂಸ್ಥೆಗಳ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪಠ್ಯಪುಸ್ತಕ (ಮೂಲ ಮತ್ತು ವಿಶೇಷ ಮಟ್ಟಗಳು) / I. M. ಸ್ಮಿರ್ನೋವಾ, V. A. ಸ್ಮಿರ್ನೋವ್. - 5 ನೇ ಆವೃತ್ತಿ, ಸರಿಪಡಿಸಲಾಗಿದೆ ಮತ್ತು ವಿಸ್ತರಿಸಲಾಗಿದೆ - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p. : ಅನಾರೋಗ್ಯ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಎರಡು ರೇಖೆಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಮಲಗಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಛೇದಿಸದಿದ್ದರೆ ಸಮಾನಾಂತರ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರಮೇಯ.ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಇರದ ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದುವಿನ ಮೂಲಕ ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಗೆ ಸಮಾನಾಂತರವಾಗಿ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಹಾದುಹೋಗುತ್ತದೆ ಮತ್ತು ಮೇಲಾಗಿ ಕೇವಲ ಒಂದು.

ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು

ಆಸ್ತಿ 1.ಎರಡು ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ.

ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ.ಎರಡು ಸಾಲುಗಳು ಒಂದೇ ಸಮತಲದಲ್ಲಿ ಇರದಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳನ್ನು ಓರೆ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ದಾಟುವ ರೇಖೆಗಳ ಚಿಹ್ನೆ.

ಎರಡು ರೇಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಮತಲದಲ್ಲಿದ್ದರೆ ಮತ್ತು ಇನ್ನೊಂದು ರೇಖೆಯು ಈ ಸಮತಲವನ್ನು ಮೊದಲ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿರದೆ ಒಂದು ಹಂತದಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಿದರೆ, ಈ ಸಾಲುಗಳು ಛೇದಿಸುತ್ತವೆ.

ಅಕ್ಕಿ. 13

ಎ ಬಿ = ಕೆ ಕಾ

=> a ಮತ್ತು b ರೇಖೆಗಳನ್ನು ದಾಟುತ್ತಿವೆ.

ತೀರ್ಮಾನಗಳು:

ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಜೋಡಣೆಯ ಪ್ರಕರಣಗಳು.

ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು:

ವಿಷಯದ ಮೇಲೆ ಸಮಸ್ಯೆಗಳು ಮತ್ತು ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು "ವಿಷಯ 2. "ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ. ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ."

• ನೇರ ರೇಖೆಗಳು, ರೇಖೆ ಮತ್ತು ಸಮತಲದ ಸಮಾನಾಂತರತೆ
• ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಸ್ಥಾನ. ನೇರ ರೇಖೆಗಳ ನಡುವಿನ ಕೋನ - ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ, ಗ್ರೇಡ್ 10

  ಪಾಠಗಳು: 1 ನಿಯೋಜನೆಗಳು: 9 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು: 1

• ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ - ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ, ಗ್ರೇಡ್ 10
• ಎರಡು ಸಾಲುಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಚಿಹ್ನೆಗಳು. ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳ ಮೂಲತತ್ವ - ಸಮಾನಾಂತರ ರೇಖೆಗಳು ಗ್ರೇಡ್ 7

  ಪಾಠಗಳು: 2 ನಿಯೋಜನೆಗಳು: 11 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು: 1

• ಟೆಟ್ರಾಹೆಡ್ರನ್ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾರಲೆಲೆಪಿಪ್ಡ್ - ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆ, ಗ್ರೇಡ್ 10

  ಪಾಠಗಳು: 1 ನಿಯೋಜನೆಗಳು: 8 ಪರೀಕ್ಷೆಗಳು: 1

"ಆಕ್ಸಿಯಮ್ಸ್ ಆಫ್ ಸ್ಟಿರಿಯೊಮೆಟ್ರಿ" ಎಂಬ ವಿಷಯವು ಪ್ರಾದೇಶಿಕ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ಪಾತ್ರವನ್ನು ವಹಿಸುತ್ತದೆ, ಆದ್ದರಿಂದ ಹೆಚ್ಚಿನ ಮಾದರಿಗಳನ್ನು (ಕಾರ್ಡ್ಬೋರ್ಡ್ ಮತ್ತು ಹೆಣಿಗೆ ಸೂಜಿಗಳು) ಮತ್ತು ರೇಖಾಚಿತ್ರಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳಲು ಪ್ರಯತ್ನಿಸಿ.

"ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಸಮಾನಾಂತರತೆ" ಎಂಬ ವಿಷಯವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ರೇಖೆಗಳು ಮತ್ತು ವಿಮಾನಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಜ್ಞಾನವನ್ನು ಒದಗಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ವಸ್ತುವು ಸರಳ ರೇಖೆಗಳ ಸಮಾನಾಂತರತೆಯ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಮಾಹಿತಿಯನ್ನು ಸಾರಾಂಶಗೊಳಿಸುತ್ತದೆ. ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ರೇಖೆಯ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಮತ್ತು ಅನನ್ಯತೆಯ ಕುರಿತು ಪ್ರಮೇಯದ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು, ನಾವು ಬಾಹ್ಯಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ರೇಖೆಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮಾತನಾಡುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿಯಿಂದ ತಿಳಿದಿರುವ ಸಂಗತಿಗಳನ್ನು ಪುನಃ ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಅಗತ್ಯತೆಯ ಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು ನೀವು ಪಡೆಯುತ್ತೀರಿ. , ಮತ್ತು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ವಿಮಾನದ ಬಗ್ಗೆ ಅಲ್ಲ.

ಪ್ರೂಫ್ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಸಾಬೀತುಪಡಿಸುವ ಪ್ರಮೇಯಗಳೊಂದಿಗೆ ಸಾದೃಶ್ಯದ ಮೂಲಕ ಅನೇಕ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಪರಿಹರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಭಾಗಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಲೆಕ್ಕಾಚಾರ ಮಾಡುವಲ್ಲಿ ಸಮಸ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು, ಪ್ಲಾನಿಮೆಟ್ರಿ ಕೋರ್ಸ್ ಅನ್ನು ಪುನರಾವರ್ತಿಸುವುದು ಅವಶ್ಯಕ: ಸಮಾನತೆ ಮತ್ತು ತ್ರಿಕೋನಗಳ ಹೋಲಿಕೆ, ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಗಳು, ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು ಮತ್ತು ಆಯತದ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳು, ಸಮಾನಾಂತರ ಚತುರ್ಭುಜ, ರೋಂಬಸ್, ಚದರ, ಟ್ರೆಪೆಜಾಯಿಡ್.