Surface latérale S du cylindre. Comment trouver l'aire d'un cylindre

Les corps de rotation étudiés à l'école sont le cylindre, le cône et la boule.

Si, dans un problème de l'examen d'État unifié de mathématiques, vous devez calculer le volume d'un cône ou l'aire d'une sphère, considérez-vous chanceux.

Appliquer des formules pour le volume et la surface d'un cylindre, d'un cône et d'une sphère. Ils sont tous dans notre table. Apprendre par cœur. C'est là que commence la connaissance de la stéréométrie.

Parfois, il est bon de dessiner la vue d'en haut. Ou, comme dans ce problème, par le bas.

2. Combien de fois le volume d'un cône circonscrit à une pyramide quadrangulaire régulière est-il supérieur au volume d'un cône inscrit dans cette pyramide ?

C'est simple : dessinez la vue d'en bas. Nous voyons que le rayon du plus grand cercle est plusieurs fois plus grand que le rayon du plus petit. Les hauteurs des deux cônes sont les mêmes. Le volume du plus grand cône sera donc deux fois plus grand.

Un autre point important. Rappelez-vous que dans les problèmes de la partie B Options d'examen d'État unifié en mathématiques, la réponse s’écrit sous forme d’un nombre entier ou d’une fraction décimale finie. Il ne devrait donc y avoir aucun or dans votre réponse à la partie B. Il n’est pas non plus nécessaire de remplacer la valeur approximative du nombre ! Il faut absolument qu'il rétrécisse ! C'est dans ce but que dans certains problèmes la tâche est formulée, par exemple, comme suit : « Trouver l'aire de la surface latérale du cylindre divisée par ».

Où d'autre les formules de volume et de surface des corps de révolution sont-elles utilisées ? Bien sûr, dans le problème C2 (16). Nous vous en parlerons également.

Un cylindre est une figure constituée d'une surface cylindrique et de deux cercles parallèles. Le calcul de l'aire d'un cylindre est un problème de la branche géométrique des mathématiques, qui peut être résolu assez simplement. Il existe plusieurs méthodes pour le résoudre, qui en fin de compte se résument toujours à une seule formule.

Comment trouver l'aire d'un cylindre - règles de calcul

Pour connaître l'aire du cylindre, il faut additionner les deux aires de la base avec l'aire de la surface latérale : S = Sside + 2Sbase. Dans une version plus détaillée, cette formule ressemble à ceci : S= 2 π rh+ 2 π r2= 2 π r(h+ r).
La surface latérale d'un corps géométrique donné peut être calculée si sa hauteur et le rayon du cercle situé à sa base sont connus. DANS dans ce cas on peut exprimer le rayon à partir de la circonférence d'un cercle, s'il est donné. La hauteur peut être trouvée si la valeur du générateur est spécifiée dans la condition. Dans ce cas, la génératrice sera égale à la hauteur. La formule pour la surface latérale de ce corps ressemble à ceci : S= 2 π rh.
L'aire de la base est calculée à l'aide de la formule pour trouver l'aire d'un cercle : S osn= π r 2 . Dans certains problèmes, le rayon peut ne pas être indiqué, mais la circonférence peut l'être. Avec cette formule, le rayon s'exprime assez facilement. С=2π r, r= С/2π. Vous devez également vous rappeler que le rayon est la moitié du diamètre.
Lors de l'exécution de tous ces calculs, le nombre π ne se traduit généralement pas par 3,14159... Il suffit de l'ajouter à côté de valeur numérique, qui a été obtenu à la suite de calculs.
Ensuite, il vous suffit de multiplier la surface trouvée de la base par 2 et d'ajouter au nombre obtenu la surface calculée de la surface latérale de la figure.
Si le problème indique que le cylindre a une section axiale et qu’il s’agit d’un rectangle, alors la solution sera légèrement différente. Dans ce cas, la largeur du rectangle sera le diamètre du cercle situé à la base du corps. La longueur de la figure sera égale à la génératrice ou hauteur du cylindre. Il est nécessaire de calculer les valeurs requises et de les substituer à la formule déjà connue. Dans ce cas, la largeur du rectangle doit être divisée par deux pour trouver l'aire de la base. Pour trouver la surface latérale, la longueur est multipliée par deux rayons et le nombre π.
Vous pouvez calculer l'aire d'un corps géométrique donné grâce à son volume. Pour ce faire, vous devez dériver la valeur manquante de la formule V=π r 2 h.
Il n'y a rien de compliqué dans le calcul de l'aire d'un cylindre. Il suffit de connaître les formules et de pouvoir en déduire les quantités nécessaires pour effectuer les calculs.

Lors de l'étude de la stéréométrie, l'un des sujets principaux est le « Cylindre ». L'aire de la surface latérale est considérée, sinon la principale, alors comme une formule importante lors de la résolution de problèmes géométriques. Cependant, il est important de se rappeler les définitions qui vous aideront à naviguer dans les exemples et à prouver divers théorèmes.

Concept de cylindre

Il y a d’abord quelques définitions à considérer. Ce n'est qu'après les avoir étudiés que nous pourrons commencer à considérer la question de la formule de l'aire de la surface latérale d'un cylindre. Sur la base de cet enregistrement, d'autres expressions peuvent être calculées.

Par surface cylindrique, on entend un plan décrit par une génératrice qui se déplace et reste parallèle à une direction donnée, glissant le long d'une courbe existante.
Il existe également une deuxième définition : une surface cylindrique est formée par un ensemble de lignes parallèles coupant une courbe donnée.
La génératrice est classiquement appelée hauteur du cylindre. Lorsqu'il se déplace autour d'un axe passant par le centre de la base, on obtient le corps géométrique indiqué.
Par axe, nous entendons une droite passant par les deux bases de la figure.
Un cylindre est un corps stéréométrique délimité par une surface latérale sécante et deux plans parallèles.

Il existe des variétés de cette figure volumétrique :

Par circulaire on entend un cylindre dont le guide est un cercle. Ses principales composantes sont le rayon de la base et la génératrice. Cette dernière est égale à la hauteur du personnage.
Il y a un cylindre droit. Il doit son nom à la perpendiculaire de la figure qui le forme par rapport aux bases.
Le troisième type est un cylindre biseauté. Dans les manuels scolaires, vous pouvez lui trouver un autre nom : « un cylindre circulaire avec une base biseautée ». Ce chiffre est déterminé par le rayon de la base, les hauteurs minimale et maximale.
Un cylindre équilatéral est compris comme un corps ayant la même hauteur et le même diamètre d'un plan circulaire.

Légende

Traditionnellement, les principaux « composants » du cylindre sont appelés ainsi :

Le rayon de la base est R (il remplace également la valeur similaire d'une figure stéréométrique).
Générateur - L.
Hauteur - H.
L'aire de la base est la base S (en d'autres termes, il faut trouver le paramètre spécifié du cercle).
Les hauteurs du cylindre biseauté sont h 1 , h 2 (minimum et maximum).
La surface latérale est du côté S (si vous la dépliez, vous obtenez une sorte de rectangle).
Le volume d'une figure stéréométrique est V.
Superficie totale - S.

"Composants" d'une figure stéréométrique

Lors de l’étude d’un cylindre, la surface latérale joue un rôle important. Cela est dû au fait que cette formule est incluse dans plusieurs autres formules plus complexes. Il est donc nécessaire de bien connaître la théorie.

Les principales composantes de la figure sont :

Surface latérale. Comme on le sait, il est obtenu grâce au mouvement de la génératrice le long d'une courbe donnée.
La surface complète comprend les bases existantes et le plan latéral.
En règle générale, la section transversale d'un cylindre est un rectangle situé parallèlement à l'axe de la figure. Sinon, cela s'appelle un avion. Il s’avère que la longueur et la largeur sont également des composantes d’autres figures. Ainsi, classiquement, les longueurs de section sont les génératrices. Largeur - accords parallèles d'une figure stéréométrique.
Par section axiale, nous entendons l'emplacement du plan passant par le centre du corps.
Et enfin, une dernière définition. Une tangente est un plan passant par la génératrice du cylindre et situé perpendiculairement à la section axiale. Dans ce cas, une condition doit être remplie. La génératrice spécifiée doit être incluse dans le plan de la coupe axiale.

Formules de base pour travailler avec un cylindre

Afin de répondre à la question de savoir comment trouver la surface d'un cylindre, il est nécessaire d'étudier les principaux « composants » d'une figure stéréométrique et les formules pour les trouver.

Ces formules diffèrent en ce que les premières expressions sont données pour un cylindre biseauté, puis pour un cylindre droit.

Exemples avec une solution démontée

Il est nécessaire de connaître l'aire de la surface latérale du cylindre. La diagonale de la section AC = 8 cm est donnée (et elle est axiale). Au contact de la génératrice il s'avère< ACD = 30°

Solution. Puisque les valeurs de diagonale et d'angle sont connues, alors dans ce cas :

CD = AC*cos 30°.

Commentaire. Le triangle ACD, dans l'exemple précis, est rectangulaire. Cela signifie que le quotient de CD et AC = cosinus de l'angle existant. La signification des fonctions trigonométriques peut être trouvée dans un tableau spécial.

De même, vous pouvez trouver la valeur de AD :

AD = AC*sin 30°

Vous devez maintenant calculer le résultat souhaité en utilisant la formulation suivante : l'aire de la surface latérale du cylindre est égale au double du résultat de la multiplication de « pi », du rayon de la figure et de sa hauteur. Une autre formule doit être utilisée : l'aire de la base du cylindre. Il est égal au résultat de la multiplication de « pi » par le carré du rayon. Et enfin, dernière formule : la surface totale. Elle est égale à la somme des deux aires précédentes.

Les cylindres sont donnés. Leur volume = 128*p cm³. Quel cylindre a la plus petite surface totale ?

Solution. Vous devez d’abord utiliser les formules permettant de trouver le volume d’une figure et sa hauteur.

La surface totale du cylindre étant connue en théorie, il est nécessaire d'appliquer sa formule.

Si l'on considère la formule résultante en fonction de la surface du cylindre, alors « l'indicateur » minimum sera atteint au point extrême. Pour obtenir la dernière valeur, vous devez utiliser la différenciation.

Les formules peuvent être visualisées dans un tableau spécial pour trouver des dérivées. Par la suite, le résultat trouvé est égal à zéro et une solution à l'équation est trouvée.

Réponse : S min sera atteint à h = 1/32 cm, R = 64 cm.

Une figure stéréométrique est donnée - un cylindre et une section. Cette dernière est réalisée de telle manière qu'elle se situe parallèlement à l'axe du corps stéréométrique. Le cylindre a les paramètres suivants : VK = 17 cm, h = 15 cm, R = 5 cm Il faut trouver la distance entre la section et l'axe.

Puisque la section transversale d'un cylindre est comprise comme VSKM, c'est-à-dire un rectangle, alors son côté BM = h. La VMC est à prendre en compte. Un triangle est un triangle rectangle. Sur la base de cette affirmation, nous pouvons déduire l’hypothèse correcte selon laquelle MK = BC.

VK² = VM² + MK²

MK² = VK² - VM²

MK² = 17² - 15²

De là, nous pouvons conclure que MK = BC = 8 cm.

L'étape suivante consiste à tracer une coupe à travers la base de la figure. Il faut considérer le plan résultant.

AD est le diamètre d'une figure stéréométrique. Elle est parallèle à la section mentionnée dans l'énoncé du problème.

BC est une droite située sur le plan du rectangle existant.

ABCD - trapèze. Dans ce cas particulier, elle est considérée comme isocèle, puisqu’un cercle est circonscrit autour d’elle.

Si vous trouvez la hauteur du trapèze obtenu, vous pouvez obtenir la réponse donnée au début du problème. A savoir : trouver la distance entre l'axe et la section dessinée.

Pour ce faire, vous devez trouver les valeurs d'AD et du système d'exploitation.

Réponse : la section est située à 3 cm de l'axe.

Tâches pour consolider le matériel

Étant donné un cylindre. La surface latérale est utilisée dans la solution suivante. D'autres paramètres sont connus. L'aire de base est Q, l'aire de section axiale est M. Il faut trouver S. En d'autres termes, l'aire totale du cylindre.

Étant donné un cylindre. La surface de la surface latérale doit être trouvée dans l'une des étapes de résolution du problème. On sait que hauteur = 4 cm, rayon = 2 cm Il faut trouver l'aire totale de la figure stéréométrique.

Superficie d'un cylindre. Dans cet article, nous examinerons les tâches liées à la surface. Le blog a déjà couvert des tâches avec un corps de rotation tel qu'un cône. Un cylindre appartient également aux corps de rotation. De quoi avez-vous besoin et devez-vous savoir sur la surface d'un cylindre ? Regardons l'évolution du cylindre :

Les bases supérieure et inférieure sont deux cercles égaux :

La surface latérale est un rectangle. De plus, un côté de ce rectangle est égal à la hauteur du cylindre, et l'autre est égal à la circonférence de la base. Je vous rappelle que la circonférence d'un cercle vaut :

Ainsi, la formule de la surface d’un cylindre est :

*Pas besoin d'apprendre cette formule ! Il suffit de connaître les formules pour l'aire d'un cercle et la longueur de sa circonférence, vous pouvez alors toujours écrire la formule spécifiée. Le comprendre est important ! Considérons les tâches :

La circonférence de la base du cylindre est de 3. La surface latérale est de 6. Trouvez la hauteur et la surface du cylindre (supposons que Pi soit 3,14 et arrondissez le résultat au dixième le plus proche).

Surface totale du cylindre :

La circonférence de la base et la surface latérale du cylindre sont données. C'est-à-dire qu'on nous donne l'aire d'un rectangle et un de ses côtés, il faut trouver l'autre côté (c'est la hauteur du cylindre) :

Le rayon est requis et nous pouvons ensuite trouver la zone spécifiée.

La circonférence de la base est égale à trois, alors on écrit :

Ainsi

En arrondissant au dixième le plus proche, nous obtenons 7,4.

Réponse : h = 2 ; S = 7,4

La surface latérale du cylindre est de 72Pi et le diamètre de la base est de 9. Trouvez la hauteur du cylindre.

Moyens

Réponse : 8

La surface latérale du cylindre est de 64Pi et la hauteur est de 8. Trouvez le diamètre de la base.

La surface latérale du cylindre se trouve par la formule :

Le diamètre est égal à deux rayons, ce qui signifie :

Réponse : 8

27058. Le rayon de la base du cylindre est 2 et la hauteur est 3. Trouvez la surface latérale du cylindre divisée par Pi.

27133. La circonférence de la base du cylindre est de 3, la hauteur est de 2. Trouvez l'aire de la surface latérale du cylindre.

Comment calculer la surface d'un cylindre est le sujet de cet article. Dans tout problème mathématique, vous devez commencer par saisir des données, déterminer ce qui est connu et avec quoi opérer à l'avenir, puis procéder directement au calcul.

Ce corps volumétrique est une figure géométrique cylindrique, délimitée en haut et en bas par deux plans parallèles. Si vous faites preuve d'un peu d'imagination, vous remarquerez qu'un corps géométrique est formé en faisant tourner un rectangle autour d'un axe, l'un de ses côtés étant l'axe.

Il s'ensuit que la courbe décrite au-dessus et au-dessous du cylindre sera un cercle dont le principal indicateur est le rayon ou le diamètre.

Surface d'un cylindre - calculateur en ligne

Cette fonction simplifie enfin le processus de calcul, et tout se résume à substituer automatiquement les valeurs spécifiées pour la hauteur et le rayon (diamètre) de la base de la figure. La seule chose qui est nécessaire est de déterminer avec précision les données et de ne pas commettre d'erreurs lors de la saisie des chiffres.

Surface côté cylindre

Vous devez d’abord imaginer à quoi ressemble un scan dans un espace bidimensionnel.

Ce n'est rien de plus qu'un rectangle dont un côté est égal à la circonférence. Sa formule est connue depuis des temps immémoriaux - 2π*r, Où r- rayon du cercle. L'autre côté du rectangle est égal à la hauteur h. Trouver ce que vous cherchez ne sera pas difficile.

Scôté= 2π*r*h,

où est le numéro π = 3,14.

Surface totale d'un cylindre

Pour trouver la surface totale du cylindre, vous devez utiliser le résultat Côté S additionnez les aires de deux cercles, le haut et le bas du cylindre, qui sont calculées à l'aide de la formule S o =2π * r 2 .

La formule finale ressemble à ceci :

Ssol= 2π * r 2+ 2π * r * h.

Aire d'un cylindre - formule par diamètre

Pour faciliter les calculs, il est parfois nécessaire d'effectuer des calculs passant par le diamètre. Par exemple, il existe un morceau de tuyau creux de diamètre connu.

Sans nous embêter avec des calculs inutiles, nous avons formule toute prête. L'algèbre de 5e année vient à la rescousse.

Ssexe = 2π * r 2 + 2 π * r * h= 2 π*d 2 /4 + 2 π*h*d/2 = π *d 2 /2 + π *merde,

Au lieu de r V formule complète besoin d'insérer une valeur r =j/2.

Exemples de calcul de l'aire d'un cylindre

Armés de connaissances, commençons à pratiquer.

Exemple 1. Il est nécessaire de calculer l'aire d'un morceau de tuyau tronqué, c'est-à-dire d'un cylindre.

On a r = 24 mm, h = 100 mm. Vous devez utiliser la formule passant par le rayon :

Plancher S = 2 * 3,14 * 24 2 + 2 * 3,14 * 24 * 100 = 3617,28 + 15072 = 18689,28 (mm 2).

Nous convertissons au m2 habituel et obtenons 0,01868928, soit environ 0,02 m2.

Exemple 2. Il est nécessaire de connaître la superficie de la surface interne d'un tuyau de poêle en amiante dont les parois sont revêtues de briques réfractaires.

Les données sont les suivantes : diamètre 0,2 m ; hauteur 2 m. On utilise la formule en termes de diamètre :

Plancher S = 3,14 * 0,2 2 /2 + 3,14 * 0,2 * 2 = 0,0628 + 1,256 = 1,3188 m2.

Exemple 3. Comment savoir combien de matériel est nécessaire pour coudre un sac, r = 1 m et 1 m de haut.

Un instant, il y a une formule :

Côté S = 2 * 3,14 * 1 * 1 = 6,28 m2.

Conclusion

A la fin de l'article, la question s'est posée : tous ces calculs et conversions d'une valeur en une autre sont-ils vraiment nécessaires ? Pourquoi tout cela est-il nécessaire et surtout, pour qui ? Mais ne négligez pas et n’oubliez pas les formules simples du lycée.

Le monde s’est appuyé et s’appuiera encore sur les connaissances élémentaires, notamment les mathématiques. Et, lorsque l'on commence un travail important, ce n'est jamais une mauvaise idée de se rafraîchir la mémoire de ces calculs, en les appliquant dans la pratique avec beaucoup d'effet. La précision est la politesse des rois.