En esta lección veremos cómo resolver ecuaciones exponenciales más complejas y recordaremos los principios teóricos básicos sobre la función exponencial.

1. Definición y propiedades de la función exponencial, métodos para resolver las ecuaciones exponenciales más simples.

Recordemos la definición y las propiedades básicas de la función exponencial. La solución de todas las ecuaciones y desigualdades exponenciales se basa en estas propiedades.

Funcion exponencial es una función de la forma , donde la base es el grado y aquí x es la variable independiente, argumento; y es la variable dependiente, función.

Arroz. 1. Gráfica de función exponencial

La gráfica muestra exponentes crecientes y decrecientes, lo que ilustra la función exponencial con una base mayor que uno y menor que uno pero mayor que cero, respectivamente.

Ambas curvas pasan por el punto (0;1)

Propiedades de la función exponencial:

Dominio: ;

Rango de valores: ;

La función es monótona, aumenta con, disminuye con.

Una función monótona toma cada uno de sus valores dado un único valor de argumento.

Cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función aumenta de cero inclusive a más infinito. Por el contrario, cuando el argumento aumenta de menos a más infinito, la función disminuye de infinito a cero, no inclusive.

2. Resolver ecuaciones exponenciales estándar

Te recordamos cómo resolver las ecuaciones exponenciales más simples. Su solución se basa en la monotonicidad de la función exponencial. Casi todas las ecuaciones exponenciales complejas se pueden reducir a este tipo de ecuaciones.

La igualdad de exponentes con bases iguales se debe a la propiedad de la función exponencial, es decir, su monotonicidad.

Método de solución:

Igualar las bases de los grados;

Iguala los exponentes.

Pasemos a considerar ecuaciones exponenciales más complejas; nuestro objetivo es reducir cada una de ellas a la más simple.

Deshagámonos de la raíz del lado izquierdo y llevemos los grados a la misma base:

Para reducir una ecuación exponencial compleja a su forma más simple, a menudo se utiliza la sustitución de variables.

Usemos la propiedad de potencia:

Estamos introduciendo un reemplazo. Déjalo ser entonces

Multipliquemos la ecuación resultante por dos y muevamos todos los términos al lado izquierdo:

La primera raíz no satisface el rango de valores de y, por lo que la descartamos. Obtenemos:

Reduzcamos los grados al mismo indicador:

Introduzcamos un reemplazo:

Déjalo ser entonces . Con tal reemplazo, es obvio que y toma valores estrictamente positivos. Obtenemos:

Sabemos cómo resolver este tipo de ecuaciones cuadráticas, podemos escribir la respuesta:

Para asegurarte de que las raíces se encuentran correctamente, puedes verificar usando el teorema de Vieta, es decir, encontrar la suma de las raíces y su producto y compararlos con los coeficientes correspondientes de la ecuación.

Obtenemos:

3. Metodología para la resolución de ecuaciones exponenciales homogéneas de segundo grado.

Estudiemos el siguiente tipo importante de ecuaciones exponenciales:

Las ecuaciones de este tipo se denominan homogéneas de segundo grado con respecto a las funciones f y g. En su lado izquierdo hay un trinomio cuadrado con respecto a f con el parámetro g o un trinomio cuadrado con respecto a g con el parámetro f.

Método de solución:

Esta ecuación se puede resolver como una ecuación cuadrática, pero es más fácil hacerlo de otra manera. Hay dos casos a considerar:

En el primer caso obtenemos

En el segundo caso, tenemos derecho a dividir por el grado más alto y obtener:

Deberíamos introducir un cambio de variables, obtenemos ecuación cuadrática relativo a y:

Observemos que las funciones f y g pueden ser cualquiera, pero nos interesa el caso en que sean funciones exponenciales.

4. Ejemplos de resolución de ecuaciones homogéneas.

Movamos todos los términos al lado izquierdo de la ecuación:

Dado que las funciones exponenciales adquieren valores estrictamente positivos, tenemos derecho a dividir inmediatamente la ecuación por , sin considerar el caso en el que:

Obtenemos:

Introduzcamos un reemplazo: (según las propiedades de la función exponencial)

Tenemos una ecuación cuadrática:

Determinamos las raíces usando el teorema de Vieta:

La primera raíz no satisface el rango de valores de y, la descartamos y obtenemos:

Usemos las propiedades de los grados y reduzcamos todos los grados a bases simples:

Es fácil notar las funciones f y g:

Escuela secundaria GBOU n.° 149, San Petersburgo

Resumen de la lección

Novikova Olga Nikolaevna

2016

Tema: "Sistema de ecuaciones y desigualdades exponenciales".

Objetivos de la lección:

educativo:

Generalizar y consolidar conocimientos sobre formas de resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades contenidas en sistemas de ecuaciones y desigualdades.

desarrollando: activación actividad cognitiva; desarrollo de habilidades de autocontrol y autoestima, autoanálisis de las propias actividades.

educativo: desarrollar la capacidad de trabajar de forma independiente; tomar decisiones y sacar conclusiones; alimentar la aspiración de autoeducación y superación personal.

tipo de lección : conjunto.

Tipo de lección: lección de taller.

durante las clases

I. Momento organizacional (1 minuto)

Planteamiento del objetivo de la clase: Generalizar y consolidar conocimientos sobre métodos de resolución de ecuaciones exponenciales y desigualdades contenidas en sistemas de ecuaciones y desigualdades. basado en las propiedades de la función exponencial.

II. Trabajo oral (1 minutos)

Definición de una ecuación exponencial.
Métodos para resolver ecuaciones exponenciales.
Algoritmo para resolver desigualdades exponenciales.

III . Revisar la tarea (3 min)

Estudiantes en sus lugares. El profesor comprueba las respuestas y pregunta cómo resolver ecuaciones y desigualdades exponenciales. No. 228-231 (impar)

IV. Actualización de conocimientos básicos. "Idea genial": (3 minutos)

Las preguntas se muestran en hojas impresas sobre los escritorios de los estudiantes “Funciones exponenciales, ecuaciones, desigualdades” y se ofrecen a los estudiantes para que las respondan oralmente desde sus asientos.

1. ¿Qué función se llama exponencial?

2. ¿Cuál es el dominio de definición de la función? y= 0,5X?

3. ¿Cuál es el dominio de definición de la función exponencial?

4. ¿Cuál es el rango de la función? y= 0,5X?

5. ¿Qué propiedades puede tener una función?

6. ¿Bajo qué condición aumenta la función exponencial?

7. ¿Bajo qué condición está decreciente la función exponencial?

8. La función exponencial aumenta o disminuye.

9. ¿Qué ecuación se llama exponencial?

Diagnóstico del nivel de formación de habilidades prácticas.

Décima tarea: anota la solución en tus cuadernos. (7 minutos)

10. Conociendo las propiedades de una función exponencial creciente y decreciente, resuelve las desigualdades.

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Resuelve la ecuación: 3 X = 1

12 . Calcula 7,8 0 ; 9.8 0

13 . Indique un método para resolver ecuaciones exponenciales y resuélvalo:

Una vez finalizado, las parejas intercambian hojas. Evaluarse unos a otros. Criterios en el tablero. Verificación de registros en hojas del archivo.

Así, repetimos las propiedades de la función exponencial y los métodos para resolver ecuaciones exponenciales.

El profesor toma y evalúa selectivamente el trabajo de 2-3 estudiantes.

Taller de soluciones sistemas ecuaciones y desigualdades exponenciales: (23 minutos)

Consideremos la resolución de sistemas de ecuaciones y desigualdades exponenciales basadas en las propiedades de la función exponencial.

Al resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades exponenciales se utilizan las mismas técnicas que al resolver sistemas de ecuaciones y desigualdades algebraicas (método de sustitución, método de suma, método de introducción de nuevas variables). En muchos casos, antes de aplicar uno u otro método de solución, es necesario transformar cada ecuación (desigualdad) del sistema a la forma más simple posible.

Ejemplos.

1.

Solución:

Respuesta: (-7; 3); (1; -1).

2.

Solución:

Denotemos 2 X= tu, 3 y=v. Entonces el sistema se escribirá así:

Resolvamos este sistema usando el método de sustitución:

Ecuación 2 X= -2 no tiene soluciones, porque –2<0, а 2 X> 0.

b)

Respuesta: (2;1).

№244(1)

Respuesta: 1,5; 2

Resumiendo. Reflexión. (5 minutos)

Resumen de la lección: Hoy repetimos y generalizamos el conocimiento de los métodos para resolver ecuaciones exponenciales y desigualdades contenidas en sistemas, basados ​​en las propiedades de la función exponencial.

Se pide a los niños, uno por uno, que seleccionen y continúen la frase de las frases que se presentan a continuación.

Reflexión:

hoy me entere...

fue dificil…

Entiendo que…

Yo me enseñe...

Pude)…

Fue interesante saber que...

Me sorprendió...

Quise…

Tarea. (2 minutos)

No. 240-242 (impar) p.86

“Desigualdades con una variable” - No puedes dejar de aprender. Especifique el número entero más grande que pertenece al intervalo. Aprendemos de los ejemplos. La solución a una desigualdad en una variable es el valor de la variable. Desigualdad lineal. Encuentra el error. Desigualdades. Objetivos de la lección. Resolver una desigualdad significa encontrar todas sus soluciones. Referencia histórica.

“Algoritmo para la resolución de desigualdades” - Función. Tarea. Sucediendo. Muchas soluciones. Resolver desigualdades. Desigualdades. Solución de desigualdad. Consideremos el discriminante. Resolvamos la desigualdad usando el método del intervalo. La desigualdad lineal más simple. Algoritmo para resolver desigualdades. Eje. Ahora resolvamos la desigualdad cuadrática.

“Ecuaciones y desigualdades logarítmicas”: descubre si un número es positivo o negativo. El propósito de la lección. Resuelve la ecuación. Propiedades de los logaritmos. Logaritmos. Fórmulas para la transición a una nueva base. Practicar habilidades en la resolución de ecuaciones y desigualdades logarítmicas. Definición de logaritmo. Calcular. Indique el proceso para resolver las siguientes ecuaciones.

“Demostración de desigualdades” - Aplicación del método de inducción matemática. Para n=3 obtenemos. Demuestre eso para cualquier n? N prueba. por el teorema de Bernoulli, según sea necesario. Pero esto demuestra claramente que nuestra suposición es incorrecta. El método se basa en la propiedad de no negatividad de un trinomio cuadrático, si y. Desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky.

“Resolver desigualdades por el método de intervalo” - Resolver desigualdades por el método de intervalo. 2. Algoritmo para resolver desigualdades mediante el método del intervalo. Dada la gráfica de la función: Resuelve la desigualdad:

“Resolución de ecuaciones y desigualdades irracionales” - Raíces extrañas. Un conjunto de tareas. Ingrese el multiplicador debajo del signo raíz. Trabajar con una tarea. Ecuaciones y desigualdades irracionales. Actualización de conocimientos. Ecuación irracional. Definición. Elija aquellos que sean irracionales. Ecuaciones irracionales. ¿Para qué valores de A es verdadera la igualdad? Desigualdades irracionales.

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones.

Para empezar, recordemos brevemente qué métodos existen generalmente para resolver sistemas de ecuaciones.

Existir cuatro formas principales soluciones a sistemas de ecuaciones:

Método de sustitución: tome cualquiera de las ecuaciones dadas y exprese $y$ en términos de $x$, luego $y$ se sustituye en la ecuación del sistema, de donde se encuentra la variable $x.$. Después de esto, podemos calcular fácilmente. la variable $y.$

Método de suma: en este método, necesitas multiplicar una o ambas ecuaciones por números tales que cuando sumas ambas, una de las variables "desaparece".

Método gráfico: ambas ecuaciones del sistema se representan en el plano de coordenadas y se encuentra el punto de su intersección.

Método de introducción de nuevas variables: en este método reemplazamos algunas expresiones para simplificar el sistema y luego usamos uno de los métodos anteriores.

Sistemas de ecuaciones exponenciales.

Definición 1

Los sistemas de ecuaciones que constan de ecuaciones exponenciales se denominan sistemas de ecuaciones exponenciales.

Consideraremos resolver sistemas de ecuaciones exponenciales usando ejemplos.

Ejemplo 1

Resolver sistema de ecuaciones.

Foto 1.

Solución.

Usaremos el primer método para resolver este sistema. Primero, expresemos $y$ en la primera ecuación en términos de $x$.

Figura 2.

Sustituyamos $y$ en la segunda ecuación:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Respuesta: $(-4,6)$.

Ejemplo 2

Resolver sistema de ecuaciones.

Figura 3.

Solución.

Este sistema es equivalente al sistema

Figura 4.

Apliquemos el cuarto método para resolver ecuaciones. Sean $2^x=u\ (u >0)$, y $3^y=v\ (v >0)$, obtenemos:

Figura 5.

Resolvamos el sistema resultante usando el método de la suma. Sumemos las ecuaciones:

\ \

Luego de la segunda ecuación obtenemos que

Volviendo al reemplazo, recibido. nuevo sistema ecuaciones exponenciales:

Figura 6.

Obtenemos:

Figura 7.

Respuesta: $(0,1)$.

Sistemas de desigualdades exponenciales.

Definición 2

Los sistemas de desigualdades que constan de ecuaciones exponenciales se denominan sistemas de desigualdades exponenciales.

Consideraremos resolver sistemas de desigualdades exponenciales usando ejemplos.

Ejemplo 3

Resolver el sistema de desigualdades.

Figura 8.

Solución:

Este sistema de desigualdades es equivalente al sistema

Figura 9.

Para resolver la primera desigualdad, recuerde el siguiente teorema sobre la equivalencia de desigualdades exponenciales:

Teorema 1. La desigualdad $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, donde $a >0,a\ne 1$ es equivalente a la colección de dos sistemas

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