Una lección abierta de matemáticas sobre el tema "propiedades de los logaritmos". Lección "Logaritmos y sus propiedades" (grado 10) Lección abierta sobre logaritmos

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¡Atención! Las vistas previas de diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen todas las características de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Metas y objetivos de la lección:

considere el concepto de logaritmo de un número y las propiedades de los logaritmos;
dar el concepto de logaritmos decimales y naturales;
dominar los conocimientos y habilidades para utilizar la identidad logarítmica básica, fórmulas para pasar de una base a otra en el proceso de resolución de ejercicios;
desarrollar el pensamiento de los estudiantes al realizar ejercicios;
continuar desarrollando la capacidad de percibir correctamente y recordar activamente nueva información;
enseñar a los estudiantes a determinar el logaritmo de un número y sus propiedades;
calcular los valores de expresiones logarítmicas simples.

Tipo de lección: dominar nuevos conocimientos.

Soporte metodológico: proyector, presentación de lecciones, libros de texto, tarjetas individuales.

Progreso de la lección

1. Momento organizacional

Antes del inicio de la lección, el profesor comprueba que el aula esté preparada para la lección.

Saludar a los estudiantes, identificar a los ausentes, completar un registro de grupo. Se comunican el tema y el propósito de la lección. (Diapositiva 2)

2. Actualización de conocimientos

En un breve discurso introductorio, el profesor centra la atención de los estudiantes en los aspectos importantes.

el papel de los logaritmos en los cursos de matemáticas, así como en disciplinas técnicas generales y especiales, al tiempo que enfatiza la importancia de los logaritmos decimales y naturales.

3. Repetición de material previamente estudiado

encuesta exprés

El profesor hace preguntas:

a) ¿Qué es un título? cuál es la base de un título; ¿Qué es un exponente?

b) Trabajar las propiedades básicas de los grados. Considere la conexión entre exponentes en igualdades.

c) Resolver ejemplos de forma oral:

4. Aprender material nuevo

Plan

1. Logaritmo de un número. Propiedades básicas de los logaritmos.

2. Identidad logarítmica básica.

2. Fórmula para convertir una base de logaritmos a otra.

3. Logaritmo decimal.

4. Logaritmo natural.

El profesor presenta nuevo material educativo.

Logaritmo de un número

El concepto de logaritmo de un número está asociado con la resolución de ecuaciones exponenciales.

Centrémonos en resolver dos ecuaciones exponenciales. Resolver la ecuación no es difícil. Dado que esta ecuación tomará la forma Por lo tanto, la ecuación tiene una solución única

Ahora intentemos resolver la ecuación según el teorema de la raíz, esta ecuación también tiene una solución única. Sin embargo, a diferencia de la ecuación anterior, esta ecuación es un número irracional. Demostremos que la raíz de esta ecuación es un número racional, es decir Entonces la igualdad o Pero para cualquier potencia natural será un número par, y para cualquier potencia natural será un número impar. Obtenemos una contradicción que demuestra que la raíz de la ecuación es un número irracional. Al reflexionar sobre la situación de la ecuación exponencial, los matemáticos introdujeron en consideración un nuevo símbolo: el logaritmo. Usando este símbolo, la raíz de la ecuación se escribió de la siguiente manera: (léase: logaritmo de un número elevado a la base

Detengámonos ahora en el concepto de logaritmo de un número. Muy a menudo tenemos que resolver un problema: se sabe que es necesario encontrar el exponente, es decir Resuelve el inverso de elevar un número a una potencia. Al encontrar este exponente surge el concepto de logaritmo de un número en la base.

se da la definición de logaritmo (Diapositiva 3)

Por ejemplo

a) log 3 81 = 4, ya que 3 4 = 81;

b) log 5 125 = 3, ya que 5 3 = 125;

c) log 0,5 16 = -4, ya que (0,5) -4 = 16;

d), ya que ==

Introducción de la identidad logarítmica básica.(Diapositiva 4)

Presta atención a cuál es la raíz de la ecuación y por lo tanto =8

Así obtenemos la identidad logarítmica básica.

Esta igualdad es una breve representación simbólica de la definición de logaritmos.

Resolver ejemplos según la identidad: ;

5; .

Destacamos que el mismo modelo matemático

La operación de encontrar el logaritmo de un número se llama LOGARITMACIÓN. (Diapositiva 5) Esta operación es la inversa de la exponenciación con la base correspondiente. Comparar.

exponenciación	Logaritmo

Propiedades básicas de los logaritmos.(Diapositiva 6)

Estas propiedades se derivan de la definición del logaritmo y de las propiedades de la función exponencial.

Para cualquier a > 0 (a 1) y cualquier x e y positivos, se cumplen las siguientes igualdades:

iniciar sesión 1 = 0.
iniciar sesión a = 1.
log a xy = log a x + log a y.
iniciar sesión a = iniciar sesión x - iniciar sesión a y.
log a x p = p log a x

para cualquier p real.

Resolver ejemplos de forma oral. encontrar x

Logaritmos decimales y naturales(Diapositiva 7)

En la práctica, los logaritmos se consideran en varias bases, en particular en base 10.

El logaritmo de un número positivo en base 10 se llama logaritmo decimal del número en y se denota, es decir en cambio escriben.; b)

¿Qué tema se estudió en la lección?
¿Se logró el objetivo de la lección?

Se pide a los estudiantes que recuerden lo que han aprendido y analicen las conclusiones a las que llegaron a lo largo de la lección.

¿Qué es lo que más recuerdas de la lección de hoy, qué te gustó?

Tema de la lección: Logaritmos y sus propiedades.

Objetivo de la lección:

Educativo– formular el concepto de logaritmo, estudiar las propiedades básicas de los logaritmos y contribuir a la formación de la capacidad de aplicar las propiedades de los logaritmos al resolver problemas.
De desarrollo – desarrollar el pensamiento lógico; técnica de cálculo; capacidad de trabajar racionalmente.
Educativo – promover el interés por las matemáticas, cultivar el sentido de autocontrol y responsabilidad.

tipo de lección : Una lección de estudio y consolidación inicial de nuevos conocimientos.

Equipo: computadora, proyector multimedia, presentación "Logaritmos y sus propiedades", folletos.

Libro de texto: Álgebra y los inicios del análisis matemático, 10-11. Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin et al., Educación, 2014.

Progreso de la lección:

1. Momento organizativo:comprobar la preparación de los estudiantes para la lección.

2. Repetición del material tratado.

Preguntas del maestro:

1) Definir grado. ¿Cuáles son la base y el exponente? (La raíz enésima del número A este numero se llama enésimo grado que es igual a A . 3 4 = 81.)

2) Formular las propiedades del título.

3. Estudiar un tema nuevo.

El tema de la lección de hoy es Logaritmos y sus propiedades (abran sus cuadernos y anoten la fecha y el tema).

En esta lección nos familiarizaremos con el concepto de "logaritmo" y también consideraremos las propiedades de los logaritmos.

Hagamos una pregunta:

1) ¿A qué potencia debes elevar 5 para obtener 25? Obviamente, el segundo. El exponente al que debes elevar el número 5 para obtener 25 es 2.

2) ¿A qué potencia necesitas elevar 3 para obtener 27? Evidentemente, el tercero. El exponente al que debes elevar el número 3 para obtener 27 es 3.

En todos los casos buscábamos un exponente al que hay que elevar algo para obtener algo. El exponente al que es necesario elevar algo se llama logaritmo y se denota por log.

El número que elevamos a una potencia, es decir La base del grado se llama base del logaritmo y se escribe como subíndice. Luego se escribe el número que recibimos, es decir. el numero que buscamos: iniciar sesión 5 25=2

Esta entrada dice: "El logaritmo de 25 en base 5". El logaritmo de 25 en base 5 es el exponente al que se debe elevar 5 para obtener 25. Este exponente es 2.

Veamos el segundo ejemplo de la misma manera.

Definamos un logaritmo.

Definición . Logaritmo de un número b>0 a la base a>0, a ≠ 1 es el exponente al que se debe elevar un número a, para obtener el numero b.

Logaritmo de un número b a base a se denota por log a b.

Historia del logaritmo:

Los logaritmos fueron introducidos por el matemático escocés John Napier (1550-1617) y el matemático Joost Burgi (1552-1632).

Bürgi llegó a los logaritmos antes, pero publicó sus tablas tarde (en 1620) y la primera en 1614. Apareció el trabajo de Napier "Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos".

Desde el punto de vista de la práctica informática, la invención de los logaritmos se puede colocar con seguridad junto a otra gran invención más antigua: nuestro sistema de numeración decimal.

Diez años después de la aparición de los logaritmos de Napier, el científico inglés Gunther inventó un dispositivo de cálculo que antes era muy popular: la regla de cálculo. Ayudó a los astrónomos e ingenieros con los cálculos; les permitió obtener rápidamente una respuesta con suficiente precisión hasta tres cifras significativas. Ahora ha sido sustituida por las calculadoras, pero sin la regla de cálculo no se habrían creado ni los primeros ordenadores ni las primeras microcalculadoras.

Veamos ejemplos:

iniciar sesión 3 27=3; iniciar sesión 5 25=2; iniciar sesión 25 5 = 1/2;

Registro 5 1/125 =-3; iniciar sesión -2 (-8) - no existe; registro 5 1=0; registro 4 4=1

Consideremos estos ejemplos:

1 0 . iniciar sesión a 1=0, a>0, a ≠ 1;

2 0 . iniciar sesión a a=1, a>0, a ≠ 1.

Estas dos fórmulas son propiedades del logaritmo. Se pueden utilizar para resolver problemas.

¿Cómo pasar de la igualdad logarítmica a la exponencial? log a b=с, с – este es un logaritmo, un exponente al que se debe elevar a para obtener b. Por tanto, a de potencia c es igual a b: a c = b.

Derivemos la identidad logarítmica principal: a iniciar sesión = b. (El profesor da la prueba en la pizarra).

Veamos un ejemplo.

5 registro 5 13 =13

Echemos un vistazo más de cerca propiedades importantes logaritmos.

Propiedades de los logaritmos:

3°. log a xy = log a x + log a y.

4°. log a x/y = log a x - log a y.

5°. log a x p = p log a x, para cualquier p real.

Veamos un ejemplo para comprobar 3 propiedades:

registro 2 8 + registro 2 16= registro 2 8∙16= registro 2 128=7

3 +4 = 7

Veamos un ejemplo para verificar la propiedad 5:

3 ∙ registro 2 8 = registro 2 8 3 = registro 2 512 =9

3∙3 = 9

4. Fijación.

Tarea 1. Nombra la propiedad que se aplica al calcular los siguientes logaritmos y calcula (oralmente):

iniciar sesión 6 6

registro 0,5 1
iniciar sesión 6 3+ iniciar sesión 6 2
registro 3 6- registro 3 2
iniciar sesión 4 4 8

Tarea 2.

Aquí tienes 8 ejemplos resueltos, algunos correctos y otros con errores. Determine la igualdad correcta (indique su número), corrija los errores en el resto.

registro 2 32+ registro 2 2= registro 2 64=6
iniciar sesión 5 5 3 = 2;
registro 3 45 - registro 3 5 = registro 3 40
3∙log 2 4 = registro 2 (4∙3)
registro 3 15 + registro 3 3 = registro 3 45;
2∙log 5 6 = registro 5 12
3∙log 2 3 = registro 2 27
Iniciar sesión 2 16 2 = 8.

Diapositiva 2

Objetivos de la lección:

Educativo: revise la definición de logaritmo; familiarizarse con las propiedades de los logaritmos; Aprenda a aplicar las propiedades de los logaritmos al resolver ejercicios.

Diapositiva 3

Definición de logaritmo

El logaritmo de un número positivo b en base a, donde a > 0 y a ≠ 1, es el exponente al que se debe elevar el número a para obtener el número b.

Identidad logarítmica básica alogab=b (donde a>0, a≠1, b>0)

Diapositiva 4

Historia de los logaritmos

La palabra logaritmo proviene de dos palabras griegas y se traduce como proporción de números. Durante el siglo XVI. Ha aumentado considerablemente el volumen de trabajo asociado con la realización de cálculos aproximados en el curso de la resolución de diversos problemas, y principalmente los problemas de astronomía, que tienen una aplicación práctica directa (para determinar la posición de los barcos según las estrellas y el Sol). Los mayores problemas surgieron al realizar operaciones de multiplicación y división. Los intentos de simplificar parcialmente estas operaciones reduciéndolas a sumas no tuvieron mucho éxito.

Diapositiva 5

Los logaritmos se pusieron en práctica con una rapidez inusual. Los inventores de los logaritmos no se limitaron a desarrollar una nueva teoría. Se creó una herramienta práctica, las tablas de logaritmos, que aumentó considerablemente la productividad de las calculadoras. Añadamos que ya en 1623, es decir Tan sólo 9 años después de la publicación de las primeras tablas, el matemático inglés D. Gunter inventó la primera regla de cálculo, que se convirtió en una herramienta de trabajo durante muchas generaciones. Las primeras tablas de logaritmos fueron compiladas de forma independiente por el matemático escocés J. Napier (1550 - 1617) y el suizo I. Burgi (1552 - 1632). Las tablas de Napier incluían los valores de logaritmos de senos, cosenos y tangentes para ángulos de 0 a 900 en pasos de 1 minuto. Burgi preparó sus tablas de logaritmos de números, pero fueron publicadas en 1620, después de la publicación de las tablas de Napier, y por tanto pasaron desapercibidas. Juan Napier (1550-1617)

La invención de los logaritmos, al reducir el trabajo del astrónomo, alargó su vida.

P. S. Laplace Por tanto, el descubrimiento de los logaritmos, que reduce la multiplicación y división de números a la suma y resta de sus logaritmos, alargó, según Laplace, la vida de las calculadoras.

Diapositiva 7

Propiedades del grado

hacha ay = hacha +y = hacha –y (x)y = hacha y

Diapositiva 8

Calcular:

Diapositiva 9

Controlar:

Diapositiva 10

PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS

Diapositiva 11

Aplicación del material estudiado.

a) log 153 + log 155 = log 15(3 5) = log 1515 =1, b) log 1545 – log 153 = log 15 = log 1515 = 1 c) log 243 = log 226 = 6 log 22 = 6, d ) log 7494 = log 7(72)4 = log 7 78 = 8 log 77 = 8. Página. 93; N° 290.291 - 294, 296* (ejemplos impares)

Diapositiva 12

Encuentra la segunda mitad de la fórmula.

Diapositiva 9

Diapositiva 13

Diapositiva 14

Tarea: 1. Aprender las propiedades de los logaritmos 2. Libro de texto: § 16 págs. 92-93; 3. Libro de problemas: nº 290.291.296 (ejemplos pares)

Diapositiva 15

Continúa la frase: “Hoy en clase aprendí...” “Hoy en clase aprendí...” “Hoy en clase aprendí...” “Hoy en clase repetí...” “Hoy en clase reforcé ...” ¡La lección ha terminado!

Diapositiva 16 Libros de texto utilizados y material didáctico : Mordkovich A.G. Álgebra y los inicios del análisis. 11º grado: libro de texto a nivel de perfil / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov y otros - M.: Mnemosyna, 2007. Mordkovich A.G. Álgebra y los inicios del análisis. 11º grado: libro de problemas a nivel de perfil / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov et al. - M.: Mnemosyne, 2007. Literatura metodológica utilizada: Mordkovich A.G. Álgebra. 10-11: manual metodologico

para el maestro. – M.: Mnemosyne, 2000 (Kaliningrado: Amber Tale, GIPP). Matemáticas. Suplemento semanal del diario “Primero de Septiembre”.

Lección de álgebra en el grado 11. Sujeto:

"Propiedades de los logaritmos" Maestro:

Gurushkina Natalia Valerievna

Objetivos de la lección:

Crear condiciones para la autorrealización personal de cada estudiante en el proceso de repetición del tema “Propiedades de los Logaritmos”, promover el desarrollo de competencias informativas, comunicativas, educativas, reflexivas y preservadoras de la salud.

Objetivos de la lección:Ampliar la comprensión de los estudiantes sobre logaritmos.

usarlos para convertir expresiones que contienen logaritmos; aplicación de las propiedades de los logaritmos en situaciones no estándar;

Contribuir al desarrollo de las operaciones mentales a través de observaciones, comparaciones, yuxtaposiciones, generalizaciones, especificaciones;

Promover el desarrollo del interés por la historia de las matemáticas y sus aplicaciones prácticas y la alfabetización matemática en el habla de los estudiantes;

Fomentar la actividad cognitiva, el sentido de responsabilidad, la cultura de la comunicación y el diálogo.Equipos y materiales para la lección:proyector multimedia, computadora, pantalla, regla de cálculo, tarjetas de tareas, folletos, prueba "Conversión de expresiones logarítmicas"

tipo de lección : combinado

Formato de lección: clase-lección

Forma de trabajo: grupal, frontal, individual.

Tecnologías de lección: centrado en la persona, TIC, tecnología de juegos, tecnología de aprendizaje diferenciado.

Progreso de la lección:

Momento organizacional(saludo, comprobando la preparación de los estudiantes para la lección).
Establecer una meta.

El tema de nuestra lección de hoy es "Propiedades de los logaritmos" Diapositiva 1

Me gustaría tomar como epígrafe de nuestra lección una declaración de un antiguo filósofo chino Diapositiva 2

Tres caminos conducen al conocimiento:
el camino de la reflexión es el camino más noble,
El camino de la imitación es el más fácil y
el camino de la experiencia es el camino más amargo.

Confucio

Entonces, en clase haremosreflejar, imitar, es decir. sigue el ejemplo yganar experiencia.
Nuestro objetivo es resumir y sistematizar los conocimientos adquiridos sobre el tema “Propiedades de los logaritmos”.

3. Trabajo oral.

Te deseo Ofrécete a jugar una batalla naval. Yo nombro la letra de la fila y el número de la columna, y tú nombras la respuesta y buscas la letra correspondiente en la tabla.

Calentamiento “Acorazado”

La clase se divide en tres subgrupos y cada subgrupo tiene su propia tarea.

Grupo 1

A3, G4, D9, B5, D8, F5, G7, C9, E3, A8 PIERRE LAPLACE

grupo 2

E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D5 JUAN NAPER

grupo 3

GUILLERMO AUTHRED

Comprobando los resultados.

John Napier - matemático escocés.(Diapositiva 3) John Napier posee el término "logaritmo", que tradujo como "número artificial". Después de 25 años de cálculos, no publicó sus tablas hasta 1614. Fueron publicados con el título "Descripción de maravillosas tablas logarítmicas". EN Napier visitó Oxford profesor de matemáticas. Napier ya estaba enfermo, por lo que no pudo mejorar sus tablas, pero le dio recomendaciones a Briggs para modificar la definición del logaritmo, acercándolo a la moderna. Briggs publicó sus tablas el año de la muerte de Napier (). Ya incluían logaritmos decimales, no naturales, y no sólo los senos, sino también los propios números (del 1 al 1000, con 14 dígitos). El logaritmo de la unidad era ahora, como se esperaba, igual a cero.

William Oughtred - matemático inglés. (Diapositiva 4) Conocido como inventor () y uno de los creadores del simbolismo matemático moderno. En todo el mundo, las reglas de cálculo se utilizaron ampliamente para realizar cálculos de ingeniería hasta principios del siglo XIX.década de 1980 años en los que fueron expulsadoscalculadoras . Otred es autor de varias notaciones estándar en matemáticas modernas y: Diapositiva 5

Pierre Laplace - matemático francés. ( Diapositiva 6) Han pasado casi cuatrocientos años desde que se publicaron las primeras tablas logarítmicas en 1614. Es difícil sobreestimar la importancia de los logaritmos. Los necesitan un ingeniero y un astrónomo, un navegante y un artillero, todos los que tienen que realizar cálculos engorrosos. El gran matemático y astrónomo francés Laplace tiene toda la razón cuando dijo: “La invención de los logaritmos, que reduce los cálculos de varios meses al trabajo de varios días, parece duplicar la vida de los astrónomos”.

Para demostrar esto, mostraremos cómo las propiedades de los logaritmos simplifican los cálculos.Desarrollamos flexibilidad mental a través de la resolución de problemas. Diapositivas 8-11

Encuentra el error

4. Generalización y sistematización del conocimiento.

Nos encontramos con tantas fórmulas hermosas en este tema. Diapositiva 12

Ejercicio: Termina la frase.

En el tablero:

¡Qué armonía y belleza tienen! Pero, al mismo tiempo, no son sólo signos, ¡encierran un enorme significado!

Ahora trabajaremos por escrito y nuevamente en grupo.Veamos algunos ejemplos. Trabajo en grupos, discusión, decisión, verificación. Diapositivas 13-17

№1.

№2.

№3.

№4.

№5.

Sofismo

Sofística (del griego sophisma - truco, invención, acertijo), razonamiento que parece correcto, pero que contiene un error lógico oculto y sirve para dar apariencia de verdad a una afirmación falsa. Por lo general, la sofisma fundamenta algún absurdo deliberado, absurdo o afirmación paradójica que contradice las ideas generalmente aceptadas.

Te sugiero analizar el sofisma logarítmico. Diapositiva 18

Empecemos por la desigualdad., innegablemente cierto. Luego viene la transformación., también fuera de toda duda.

Un valor mayor corresponde a un logaritmo mayor, lo que significa, es decir. .
Después de la reducción por, tenemos 2>3.

Discusión, búsqueda de errores.

5. Espiral logarítmica
"Lo asombroso está cerca" Diapositiva 19

Una espiral es una línea curva plana que rodea repetidamente uno de los puntos del plano, que se llama polo de la espiral. Una espiral logarítmica es la trayectoria de un punto que se mueve a lo largo de una línea recta que gira uniformemente, alejándose del polo a una velocidad

proporcional a la distancia recorrida. Diapositivas 20-21.El primer científico que descubrió esta sorprendente curva fue el matemático francés René Descartes (1596-1650). Diapositiva 22.Jacob Bernoulli descubrió una sorprendente propiedad de la espiral: una curva con carácter “sólido”. No cambia con la compresión, el estiramiento y la rotación. Diapositiva 23

El mundo que nos rodea es interesante y misterioso. ¿Quién hubiera pensado que los logaritmos nos rodean por todas partes? Diapositiva 24.

En un girasol, las semillas están dispuestas en arcos cercanos a una espiral logarítmica.

Los cuernos de muchos animales están dispuestos en espirales logarítmicas.

Los caparazones de los animales marinos sólo pueden crecer en una dirección. Para no estirarse demasiado, hay que torcerlos, siendo cada vuelta posterior similar a la anterior. Por tanto, las conchas de muchos moluscos y caracoles están retorcidas en una espiral logarítmica.

El cuerpo del ciclón se forma a lo largo de una espiral logarítmica.

Muchas galaxias están retorcidas en espirales logarítmicas, en particular la galaxia a la que pertenece el Sistema Solar.

Incluso las arañas, al tejer sus telas, retuercen los hilos alrededor del centro en una espiral logarítmica.

Las trayectorias de los insectos que vuelan hacia la luz también describen una espiral logarítmica.

La espiral logarítmica es la única espiral que no cambia de forma a medida que aumenta su tamaño. Aparentemente, esta propiedad fue la razón por la cual la espiral logarítmica se encuentra con más frecuencia que otras en la naturaleza viva.

Puedes preparar información interesante sobre logaritmos y presentarla en clase, te ofrezco temas de muestra: Diapositiva 25.

- “Logaritmos y música”;

- “Estrellas, ruido y logaritmos”;

- “Logaritmos en pintura”;

- “Logaritmos y psicología”;

- “Logaritmos en poesía”:

- “Logaritmos en tecnología”

6. Prueba.

El TEST 1 consta de 10 ejemplos sobre el conocimiento de las propiedades de los logaritmos. El TEST 2 consta de 5 ejemplos sobre el conocimiento de las propiedades de los logaritmos. Los estudiantes eligen el nivel de dificultad de la prueba.

Dos estudiantes completan la prueba "Transformación de expresiones logarítmicas" en computadoras.

7. Resumiendo.

Análisis del curso de la lección y sus puntos principales.

Evaluar las actividades de cada alumno en la lección.

Resultados de la prueba.

8. Tarea.

9. Palabra final del profesor. Diapositiva 26.

Al gran geómetra de la antigüedad Tales se le preguntó:

¿Qué es lo máximo?

El espacio, respondió Tales.

¿Qué es lo más sabio?

Tiempo.

¿Cuál es la mejor parte?

Logra lo que deseas.

En unos meses los deseos de muchos de vosotros se harán realidad. Te deseo suerte en la consecución de estos deseos, pero no olvides que tus deseos no se harán realidad por arte de magia. Necesitas trabajar un poco más, poner toda tu energía en prepararte para los exámenes.

Gracias por su cooperación.

Grupo 1

_________________________________________________________________________________

grupo 2

Encuentre la letra de la fila y el número de la columna, averigüe la respuesta y busque la letra correspondiente en la tabla.

E6, A4, F5, B9, G8, F1, C4, E1, D2

grupo 3

Encuentre la letra de la fila y el número de la columna, averigüe la respuesta y busque la letra correspondiente en la tabla.

A2, B3, G5, D7, C2, E2, F9, B6, E5, G2, D4

___________________________________________________________________________________

Grupo 1

Encuentre la letra de la fila y el número de la columna, averigüe la respuesta y busque la letra correspondiente en la tabla.

A3, G4, D9, B5, D8, F5, G7, C9, E3, A8