V této lekci se podíváme na řešení složitějších exponenciálních rovnic a připomeneme si základní teoretické principy týkající se exponenciální funkce.

1. Definice a vlastnosti exponenciální funkce, metody řešení nejjednodušších exponenciálních rovnic

Připomeňme si definici a základní vlastnosti exponenciální funkce. Na těchto vlastnostech je založeno řešení všech exponenciálních rovnic a nerovnic.

Exponenciální funkce je funkcí tvaru , kde základem je stupeň a zde x je nezávislá proměnná, argument; y je závislá proměnná, funkce.

Rýže. 1. Graf exponenciální funkce

Graf ukazuje rostoucí a klesající exponenty, ilustrující exponenciální funkci se základem větším než jedna a menším než jedna, ale větším než nula.

Obě křivky procházejí bodem (0;1)

Vlastnosti exponenciální funkce:

Rozsah: ;

Rozsah hodnot: ;

Funkce je monotónní, zvyšuje se s, klesá s.

Monotónní funkce přebírá každou z jejích hodnot s jednou hodnotou argumentu.

Když se argument zvýší z mínus na plus nekonečno, funkce se zvýší od nuly včetně do plus nekonečna. Naopak, když argument roste z mínus do plus nekonečna, funkce klesá z nekonečna na nulu, nevčetně.

2. Řešení standardních exponenciálních rovnic

Připomeňme si, jak řešit nejjednodušší exponenciální rovnice. Jejich řešení je založeno na monotónnosti exponenciální funkce. Téměř všechny složité exponenciální rovnice lze redukovat na takové rovnice.

Rovnost exponentů se stejnými základy je dána vlastností exponenciální funkce, totiž její monotónností.

Způsob řešení:

Vyrovnejte základy stupňů;

Srovnejte exponenty.

Přejdeme k uvažování o složitějších exponenciálních rovnicích, naším cílem je zredukovat každou z nich na nejjednodušší.

Zbavme se kořene na levé straně a přenesme stupně na stejnou základnu:

Aby byla složitá exponenciální rovnice redukována na její nejjednodušší, často se používá substituce proměnných.

Použijme vlastnost power:

Zavádíme náhradu. Nechte to být

Vynásobme výslednou rovnici dvěma a přesuneme všechny členy na levou stranu:

První kořen nesplňuje rozsah hodnot y, proto jej zahodíme. Dostáváme:

Snižme stupně na stejný ukazatel:

Představme si náhradu:

Nechte to být . U takové náhrady je zřejmé, že y nabývá striktně kladných hodnot. Dostáváme:

Víme, jak takové kvadratické rovnice řešit, odpověď si můžeme zapsat:

Abyste se ujistili, že jsou kořeny nalezeny správně, můžete zkontrolovat pomocí Vietovy věty, tj. najít součet kořenů a jejich součin a porovnat je s odpovídajícími koeficienty rovnice.

Dostáváme:

3. Metodika řešení homogenních exponenciálních rovnic 2. stupně

Pojďme studovat následující důležitý typ exponenciálních rovnic:

Rovnice tohoto typu se vzhledem k funkcím f a g nazývají homogenní druhého stupně. Na jeho levé straně je čtvercový trinom vzhledem k f s parametrem g nebo čtvercový trinom vzhledem k g s parametrem f.

Způsob řešení:

Tuto rovnici lze vyřešit jako kvadratickou rovnici, ale je jednodušší to udělat jinak. Je třeba zvážit dva případy:

V prvním případě dostaneme

Ve druhém případě máme právo vydělit nejvyšším stupněm a získat:

Měli bychom zavést změnu proměnných, dostáváme kvadratická rovnice vzhledem k y:

Poznamenejme, že funkce f a g mohou být libovolné, ale nás zajímá případ, kdy se jedná o exponenciální funkce.

4. Příklady řešení homogenních rovnic

Přesuňme všechny členy na levou stranu rovnice:

Protože exponenciální funkce nabývají striktně kladných hodnot, máme právo rovnici okamžitě vydělit , aniž bychom uvažovali případ, kdy:

Dostáváme:

Představme si náhradu: (podle vlastností exponenciální funkce)

Dostali jsme kvadratickou rovnici:

Kořeny určíme pomocí Vietovy věty:

První kořen nesplňuje rozsah hodnot y, zahodíme ho, dostaneme:

Využijme vlastnosti stupňů a zredukujme všechny stupně na jednoduché základy:

Je snadné si všimnout funkcí f a g:

Střední škola GBOU č. 149, Petrohrad

Shrnutí lekce

Noviková Olga Nikolajevna

2016

Téma: "Soustava exponenciálních rovnic a nerovnic."

Cíle lekce:

vzdělávací:

zobecnit a upevnit znalosti o způsobech řešení exponenciálních rovnic a nerovnic obsažených v soustavách rovnic a nerovnic

vývoj: aktivace kognitivní činnost; rozvoj dovedností sebeovládání a sebeúcty, sebeanalýza vlastních činností.

vzdělávací: rozvoj schopnosti pracovat samostatně; rozhodovat se a vyvozovat závěry; pěstovat aspiraci na sebevzdělávání a sebezdokonalování.

Typ lekce : kombinovaný.

Typ lekce: dílenská lekce.

Postup lekce

I. Organizační moment (1 minuta)

Stanovení cíle předmětu: Zobecnit a upevnit znalosti o metodách řešení exponenciálních rovnic a nerovnic obsažených v soustavách rovnic a nerovnic. na základě vlastností exponenciální funkce.

II. Ústní práce (1 minuta)

Definice exponenciální rovnice.
Metody řešení exponenciálních rovnic.
Algoritmus pro řešení exponenciálních nerovností.

III . Kontrola domácího úkolu (3 min)

Studenti jsou na svých místech. Učitel kontroluje odpovědi a ptá se, jak řešit exponenciální rovnice a nerovnice. č. 228-231 (liché)

jáPROTI. Aktualizace základních znalostí. "Brainstorm": (3 min)

Otázky jsou zobrazeny na tištěných listech na stolech studentů „Exponenciální funkce, rovnice, nerovnice“ a jsou nabízeny studentům k ústnímu zodpovězení z jejich míst.

1. Která funkce se nazývá exponenciální?

2. Co je definičním oborem funkce y= 0,5x?

3. Jaký je definiční obor exponenciální funkce?

4. Jaký je rozsah funkce y= 0,5x?

5. Jaké vlastnosti může mít funkce?

6. Za jaké podmínky exponenciální funkce roste?

7. Za jaké podmínky je exponenciální funkce klesající?

8. Exponenciální funkce se zvyšuje nebo snižuje

9. Která rovnice se nazývá exponenciální?

Diagnostika úrovně utváření praktických dovedností.

10 úkol: zapište si řešení do sešitu. (7 min)

10. Se znalostí vlastností rostoucí a klesající exponenciální funkce vyřešte nerovnice

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Řešte rovnici: 3 x = 1

12 . Vypočítejte 7,8 0 ; 9,80

13 . Uveďte metodu řešení exponenciálních rovnic a vyřešte ji:

Po dokončení si dvojice vymění listy. Vzájemné hodnocení. Kritéria na tabuli. Kontrola se záznamy na listech ve spisu.

Zopakovali jsme si tedy vlastnosti exponenciální funkce a metody řešení exponenciálních rovnic.

Učitel výběrově bere a hodnotí práci 2-3 žáků.

Řešení workshop systémy exponenciální rovnice a nerovnice: (23 min)

Uvažujme řešení soustav exponenciálních rovnic a nerovnic na základě vlastností exponenciální funkce.

Při řešení soustav exponenciálních rovnic a nerovnic se používají stejné techniky jako při řešení soustav algebraických rovnic a nerovnic (substituční metoda, metoda sčítání, metoda zavádění nových proměnných). V mnoha případech je před aplikací té či oné metody řešení nutné transformovat každou rovnici (nerovnici) soustavy do co nejjednodušší podoby.

Příklady.

1.

Řešení:

Odpověď: (-7; 3); (1; -1).

2.

Řešení:

Označme 2 X= ty, 3 y= v. Poté bude systém napsán takto:

Vyřešme tento systém pomocí substituční metody:

Rovnice 2 X= -2 nemá řešení, protože –2<0, а 2 X> 0.

b)

Odpověď: (2;1).

№244(1)

Odpověď: 1,5; 2

Shrnutí. Odraz. (5 min)

Shrnutí lekce: Dnes jsme si zopakovali a zobecnili znalosti metod řešení exponenciálních rovnic a nerovnic obsažených v systémech, na základě vlastností exponenciální funkce.

Děti, jeden po druhém, jsou požádány, aby vybraly frázi a pokračovaly v ní z níže uvedených frází.

Odraz:

dnes jsem zjistil...

bylo to těžké...

Uvědomil jsem si, že...

Naučil jsem se sám...

Dokázal jsem...

Bylo zajímavé vědět, že...

Překvapilo mě...

chtěl jsem...

Domácí úkol. (2 min)

č. 240-242 (liché) s.86

"Nerovnosti s jednou proměnnou" - Nemůžete se přestat učit. Zadejte největší celé číslo, které patří do intervalu. Učíme se z příkladů. Řešením nerovnosti v jedné proměnné je hodnota proměnné. Lineární nerovnost. Najděte chybu. Nerovnosti. Cíle lekce. Řešení nerovnosti znamená nalezení všech jejích řešení. Historické informace.

„Algoritmus pro řešení nerovnic“ - Funkce. Úkol. Happening. Spousta řešení. Řešení nerovností. Nerovnosti. Řešení nerovností. Uvažujme o diskriminačním. Vyřešme nerovnici pomocí intervalové metody. Nejjednodušší lineární nerovnost. Algoritmus pro řešení nerovností. Osa. Nyní vyřešme kvadratickou nerovnici.

„Logaritmické rovnice a nerovnosti“ – Zjistěte, zda je číslo kladné nebo záporné. Účel lekce. Vyřešte rovnici. Vlastnosti logaritmů. Logaritmy. Vzorce pro přechod na nový základ. Procvičování dovedností při řešení logaritmických rovnic a nerovnic. Definice logaritmu. Vypočítat. Uveďte postup řešení následujících rovnic.

„Důkaz nerovnic“ - Aplikace metody matematické indukce. Pro n=3 dostáváme. Dokázat, že pro všechny n? N důkaz. podle Bernoulliho věty, jak je požadováno. To ale jasně dokazuje, že náš předpoklad je nesprávný. Metoda je založena na vlastnosti nezápornosti kvadratického trinomu, jestliže a. Cauchyho-Bunyakovského nerovnost.

„Řešení nerovnic intervalovou metodou“ - Řešení nerovnic intervalovou metodou. 2. Algoritmus řešení nerovnice intervalovou metodou. Vzhledem ke grafu funkce: Vyřešte nerovnici:

„Řešení iracionálních rovnic a nerovnic“ - Cizí kořeny. Soubor úkolů. Zadejte násobitel pod kořenový znak. Práce s úkolem. Iracionální rovnice a nerovnice. Aktualizace znalostí. Iracionální rovnice. Definice. Vyberte ty, které jsou iracionální. Iracionální rovnice. Pro jaké hodnoty A je rovnost pravdivá. Iracionální nerovnosti.

Metody řešení soustav rovnic

Pro začátek si stručně připomeňme, jaké metody obecně existují pro řešení soustav rovnic.

Existují čtyři hlavní způsobyřešení soustav rovnic:

Substituční metoda: vezměte libovolnou z uvedených rovnic a vyjádřete $y$ pomocí $x$, pak se $y$ dosadí do rovnice systému, odkud je nalezena proměnná $x.$ snadno vypočítat proměnnou $y.$

Metoda sčítání: V této metodě musíte vynásobit jednu nebo obě rovnice takovými čísly, že když obě sečtete, jedna z proměnných „zmizí“.

Grafická metoda: obě rovnice soustavy jsou znázorněny na souřadnicové rovině a je nalezen jejich průsečík.

Metoda zavádění nových proměnných: v této metodě nahradíme některé výrazy pro zjednodušení systému a poté použijeme jednu z výše uvedených metod.

Soustavy exponenciálních rovnic

Definice 1

Soustavy rovnic skládající se z exponenciálních rovnic se nazývají soustavy exponenciálních rovnic.

Budeme uvažovat o řešení soustav exponenciálních rovnic na příkladech.

Příklad 1

Řešte soustavu rovnic

Obrázek 1

Řešení.

K řešení tohoto systému použijeme první metodu. Nejprve vyjádřeme $y$ v první rovnici pomocí $x$.

Obrázek 2

Dosadíme $y$ do druhé rovnice:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

Odpověď: $(-4,6)$.

Příklad 2

Řešte soustavu rovnic

Obrázek 3

Řešení.

Tento systém je ekvivalentní systému

Obrázek 4.

Použijme čtvrtou metodu řešení rovnic. Nechť $2^x=u\ (u >0)$ a $3^y=v\ (v >0)$, dostaneme:

Obrázek 5.

Výslednou soustavu vyřešme sčítací metodou. Sečteme rovnice:

\ \

Pak z druhé rovnice to dostaneme

Vrácení k náhradníkovi, přijato nový systém exponenciální rovnice:

Obrázek 6.

Dostáváme:

Obrázek 7.

Odpověď: $(0,1)$.

Systémy exponenciálních nerovnic

Definice 2

Systémy nerovnic sestávající z exponenciálních rovnic se nazývají systémy exponenciálních nerovnic.

Budeme uvažovat o řešení soustav exponenciálních nerovnic pomocí příkladů.

Příklad 3

Vyřešte soustavu nerovnic

Obrázek 8

Řešení:

Tento systém nerovností je ekvivalentní systému

Obrázek 9.

Chcete-li vyřešit první nerovnost, připomeňte si následující větu o ekvivalenci exponenciálních nerovností:

Věta 1. Nerovnice $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, kde $a >0,a\ne 1$ je ekvivalentem souboru dvou systémů

\}