Vrijednosti tablice trigonometrije. Sinus, kosinus, tangent i kotangens - sve što trebate znati na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike
Tabela osnovnih trigonometrijskih funkcija za uglove od 0, 30, 45, 60, 90, ... stepeni
Iz trigonometrijskih definicija funkcija $\sin$, $\cos$, $\tan$ i $\cot$ možete saznati njihove vrijednosti za uglove $0$ i $90$ stepeni:
$\sin0°=0$, $\cos0°=1$, $\tan 0°=0$, $\cot 0°$ nije definisano;
$\sin90°=1$, $\cos90°=0$, $\cot90°=0$, $\tan 90°$ nije određen.
U školskom kursu geometrije, kada proučavaju pravokutne trouglove, pronalaze trigonometrijske funkcije uglova $0°$, $30°$, $45°$, $60°$ i $90°$.
Pronađene vrijednosti trigonometrijskih funkcija za naznačene uglove u stepenima i radijanima, redom ($0$, $\frac(\pi)(6)$, $\frac(\pi)(4)$, $\frac(\ pi)(3) $, $\frac(\pi)(2)$) radi lakšeg pamćenja i upotrebe unose se u tabelu pod nazivom trigonometrijska tabela, tabela osnovnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija i tako dalje.
Kada se koriste formule redukcije, trigonometrijska tablica se može proširiti na ugao od $360°$ i, shodno tome, na $2\pi$ radijana:
Koristeći svojstva periodičnosti trigonometrijskih funkcija, svaki ugao, koji će se razlikovati od već poznatog za $360°$, može se izračunati i zabilježiti u tabeli. Na primjer, trigonometrijska funkcija za ugao $0°$ će imati istu vrijednost za ugao $0°+360°$, i za ugao $0°+2 \cdot 360°$, i za ugao $0°+3 \cdot 360°$ i sl.
Pomoću trigonometrijske tablice možete odrediti vrijednosti svih uglova jediničnog kruga.
U školskom kursu geometrije trebate zapamtiti osnovne vrijednosti trigonometrijskih funkcija prikupljenih u trigonometrijskoj tablici radi lakšeg rješavanja trigonometrijskih problema.
Koristeći sto
U tablici je dovoljno pronaći traženu trigonometrijsku funkciju i vrijednost ugla ili radijana za koje ovu funkciju treba izračunati. Na preseku reda sa funkcijom i kolone sa vrednošću dobijamo željenu vrednost trigonometrijske funkcije datog argumenta.
Na slici možete vidjeti kako pronaći vrijednost $\cos60°$, koja je jednaka $\frac(1)(2)$.
Na isti način se koristi proširena trigonometrijska tablica. Prednost njegove upotrebe je, kao što je već spomenuto, izračunavanje trigonometrijske funkcije gotovo bilo kojeg ugla. Na primjer, lako možete pronaći vrijednost $\tan 1 380°=\tan (1 380°-360°)=\tan(1 020°-360°)=\tan(660°-360°)=\tan300 °$:
Bradisove tablice osnovnih trigonometrijskih funkcija
Mogućnost izračunavanja trigonometrijske funkcije apsolutno bilo koje vrijednosti ugla za cjelobrojnu vrijednost stupnjeva i cjelobrojnu vrijednost minuta je omogućena upotrebom Bradisovih tablica. Na primjer, pronađite vrijednost $\cos34°7"$. Tabele su podijeljene na 2 dijela: tabela vrijednosti $\sin$ i $\cos$ i tabela vrijednosti $ \tan$ i $\cot$.
Bradisove tablice omogućavaju dobivanje približnih vrijednosti trigonometrijskih funkcija s točnošću do 4 decimale.
Korištenje Bradis tablica
Koristeći Bradisove tabele za sinuse, nalazimo $\sin17°42"$. Da bismo to uradili, u levom stupcu tabele sinusa i kosinusa nalazimo vrednost stepeni - $17°$, au gornjem redu nalazimo vrijednost minuta - $42"$. Na njihovom preseku dobijamo željenu vrednost:
$\sin17°42"=0,304$.
Da biste pronašli vrijednost $\sin17°44"$ potrebno je da koristite ispravku na desnoj strani tabele. U ovom slučaju, vrijednosti $42"$, koja se nalazi u tabeli, trebate dodati ispravku za $2 "$, što je jednako $0,0006$. Dobijamo:
$\sin17°44"=0,304+0,0006=0,3046$.
Da bismo pronašli vrijednost $\sin17°47"$ koristimo i korekciju na desnoj strani tabele, samo u ovom slučaju uzimamo vrijednost $\sin17°48"$ kao osnovu i oduzimamo korekciju za $1"$ :
$\sin17°47"=0,3057-0,0003=0,3054$.
Prilikom izračunavanja kosinusa izvodimo slične radnje, ali gledamo stepene u desnom stupcu i minute u donjem stupcu tabele. Na primjer, $\cos20°=0,9397$.
Za vrijednosti tangenta do $90°$ i kotangens malog ugla nema korekcija. Na primjer, pronađimo $\tan 78°37"$, što je prema tabeli jednako $4,967$.
Započet ćemo naše proučavanje trigonometrije s pravokutnim trokutom. Hajde da definišemo šta su sinus i kosinus, kao i tangenta i kotangens oštrog ugla. Ovo su osnove trigonometrije.
Podsjetimo to pravi ugao je ugao jednak 90 stepeni. Drugim riječima, pola okrenutog ugla.
Oštar ugao- manje od 90 stepeni.
Tupi ugao- veći od 90 stepeni. U odnosu na takav ugao, "tupo" nije uvreda, već matematički pojam :-)
Nacrtajmo pravougli trougao. Pravi ugao se obično označava sa . Imajte na umu da je strana nasuprot uglu označena istim slovom, samo malim. Dakle, strana suprotna kutu A označena je .
Ugao je označen odgovarajućim grčkim slovom.
Hipotenuza pravouglog trougla je strana naspram pravog ugla.
Noge- strane suprotne oštrim uglovima.
Noga koja leži nasuprot ugla naziva se suprotno(u odnosu na ugao). Drugi krak, koji leži na jednoj od strana ugla, naziva se susjedni.
Sinus Oštar ugao u pravokutnom trokutu je omjer suprotne strane i hipotenuze:
Kosinus oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjednog kraka i hipotenuze:
Tangenta oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer suprotne strane i susjedne:
Druga (ekvivalentna) definicija: tangenta oštrog ugla je omjer sinusa ugla i njegovog kosinusa:
Kotangens oštar ugao u pravokutnom trokutu - omjer susjedne strane prema suprotnoj strani (ili, što je isto, omjer kosinusa i sinusa):
Obratite pažnju na osnovne odnose za sinus, kosinus, tangentu i kotangens u nastavku. Oni će nam biti od koristi prilikom rješavanja problema.
Dokažimo neke od njih.
U redu, dali smo definicije i zapisali formule. Ali zašto nam još uvijek trebaju sinus, kosinus, tangent i kotangens?
Znamo to zbir uglova bilo kojeg trougla je jednak.
Znamo odnos između stranke pravougaonog trougla. Ovo je Pitagorina teorema: .
Ispada da znajući dva ugla u trouglu, možete pronaći treći. Poznavajući dvije strane pravokutnog trokuta, možete pronaći treću. To znači da uglovi imaju svoj odnos, a stranice imaju svoj. Ali šta biste trebali učiniti ako u pravokutnom trokutu znate jedan ugao (osim pravog) i jednu stranu, ali morate pronaći druge strane?
S tim su se ljudi suočavali u prošlosti kada su pravili mape područja i zvjezdanog neba. Uostalom, nije uvijek moguće direktno izmjeriti sve strane trougla.
Sinus, kosinus i tangenta - još se nazivaju trigonometrijske funkcije ugla- dati odnose između stranke I uglovi trougao. Poznavajući kut, možete pronaći sve njegove trigonometrijske funkcije pomoću posebnih tablica. A znajući sinuse, kosinuse i tangente uglova trokuta i jedne od njegovih stranica, možete pronaći ostatak.
Također ćemo nacrtati tablicu vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za "dobre" uglove od do.
Obratite pažnju na dvije crvene crtice u tabeli. Pri odgovarajućim vrijednostima ugla, tangenta i kotangens ne postoje.
Pogledajmo nekoliko trigonometrijskih problema iz FIPI banke zadataka.
1. U trokutu, ugao je , . Pronađite .
Problem je riješen za četiri sekunde.
Zbog , .
2. U trokutu, ugao je , , . Pronađite .
Pronađimo ga pomoću Pitagorine teoreme.
Problem je riješen.
Često u problemima postoje trouglovi sa uglovima i ili sa uglovima i. Zapamtite osnovne omjere za njih napamet!
Za trokut sa uglovima i krak nasuprot ugla u jednak je polovina hipotenuze.
Trougao sa uglovima i jednakokrak je. U njemu je hipotenuza puta veća od kateta.
Razmatrali smo probleme rješavanja pravokutnih trougla – to jest, pronalaženje nepoznatih stranica ili uglova. Ali to nije sve! Postoji mnogo problema na Jedinstvenom državnom ispitu iz matematike koji uključuju sinus, kosinus, tangens ili kotangens vanjskog ugla trougla. Više o tome u sljedećem članku.
Trigonometrija, kao nauka, nastala je na Drevnom Istoku. Prve trigonometrijske omjere izveli su astronomi kako bi stvorili tačan kalendar i orijentaciju prema zvijezdama. Ovi proračuni su se odnosili na sfernu trigonometriju, dok se u školskom predmetu izučava odnos stranica i uglova ravnog trougla.
Trigonometrija je grana matematike koja se bavi svojstvima trigonometrijskih funkcija i odnosima između stranica i uglova trokuta.
Tokom procvata kulture i nauke u 1. milenijumu nove ere, znanje se proširilo sa antičkog istoka u Grčku. Ali glavna otkrića trigonometrije su zasluge ljudi Arapskog kalifata. Konkretno, turkmenski naučnik al-Marazwi uveo je funkcije kao što su tangenta i kotangens, te sastavio prve tablice vrijednosti za sinuse, tangente i kotangense. Koncepte sinusa i kosinusa uveli su indijski naučnici. Trigonometrija je dobila veliku pažnju u djelima velikih antičkih ličnosti poput Euklida, Arhimeda i Eratostena.
Osnovne veličine trigonometrije
Osnovne trigonometrijske funkcije numeričkog argumenta su sinus, kosinus, tangent i kotangens. Svaki od njih ima svoj graf: sinus, kosinus, tangens i kotangens.
Formule za izračunavanje vrijednosti ovih veličina temelje se na Pitagorinoj teoremi. Školarcima je poznatija formulacija: "Pitagorine hlače su jednake u svim smjerovima", jer je dokaz dat na primjeru jednakokračnog pravokutnog trokuta.
Sinus, kosinus i drugi odnosi uspostavljaju odnos između oštrih uglova i stranica bilo kojeg pravokutnog trougla. Dajemo formule za izračunavanje ovih veličina za ugao A i pratimo odnose između trigonometrijskih funkcija:
Kao što vidite, tg i ctg su inverzne funkcije. Ako krak a zamislimo kao proizvod sin A i hipotenuze c, a krak b kao cos A * c, dobićemo sljedeće formule za tangentu i kotangens:
Trigonometrijski krug
Grafički se odnos između navedenih veličina može predstaviti na sljedeći način:
Krug, u ovom slučaju, predstavlja sve moguće vrijednosti ugla α - od 0° do 360°. Kao što se može vidjeti sa slike, svaka funkcija uzima negativnu ili pozitivnu vrijednost ovisno o kutu. Na primjer, sin α će imati znak “+” ako α pripada 1. i 2. četvrtini kruga, odnosno nalazi se u rasponu od 0° do 180°. Za α od 180° do 360° (III i IV četvrtina), sin α može biti samo negativna vrijednost.
Pokušajmo napraviti trigonometrijske tablice za određene uglove i saznati značenje veličina.
Vrijednosti α jednake 30°, 45°, 60°, 90°, 180° i tako dalje nazivaju se posebnim slučajevima. Vrijednosti trigonometrijskih funkcija za njih se izračunavaju i prikazuju u obliku posebnih tablica.
Ovi uglovi nisu odabrani slučajno. Oznaka π u tabelama je za radijane. Rad je ugao pod kojim dužina luka kružnice odgovara njegovom poluprečniku. Ova vrijednost je uvedena kako bi se uspostavila univerzalna ovisnost kada se izračunava u radijanima, stvarna dužina polumjera u cm nije bitna.
Uglovi u tabelama za trigonometrijske funkcije odgovaraju vrijednostima radijana:
Dakle, nije teško pogoditi da je 2π pun krug ili 360°.
Svojstva trigonometrijskih funkcija: sinus i kosinus
Da bismo razmotrili i uporedili osnovna svojstva sinusa i kosinusa, tangenta i kotangensa, potrebno je nacrtati njihove funkcije. Ovo se može uraditi u obliku krive koja se nalazi u dvodimenzionalnom koordinatnom sistemu.
Razmotrite uporednu tabelu svojstava za sinus i kosinus:
| Sinusni talas | Kosinus |
|---|---|
| y = sinx | y = cos x |
| ODZ [-1; 1] | ODZ [-1; 1] |
| sin x = 0, za x = πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 0, za x = π/2 + πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = 1, za x = π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = 1, na x = 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin x = - 1, pri x = 3π/2 + 2πk, gdje je k ϵ Z | cos x = - 1, za x = π + 2πk, gdje je k ϵ Z |
| sin (-x) = - sin x, tj. funkcija je neparna | cos (-x) = cos x, tj. funkcija je parna |
| funkcija je periodična, najmanji period je 2π | |
| sin x › 0, pri čemu x pripada 1. i 2. četvrtini ili od 0° do 180° (2πk, π + 2πk) | cos x › 0, pri čemu x pripada I i IV četvrtini ili od 270° do 90° (- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk) |
| sin x ‹ 0, pri čemu x pripada trećoj i četvrtoj četvrtini ili od 180° do 360° (π + 2πk, 2π + 2πk) | cos x ‹ 0, pri čemu x pripada 2. i 3. četvrtini ili od 90° do 270° (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk) |
| povećava u intervalu [- π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] | raste na intervalu [-π + 2πk, 2πk] |
| opada u intervalima [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] | smanjuje se u intervalima |
| izvod (sin x)’ = cos x | izvod (cos x)’ = - sin x |
Određivanje da li je funkcija parna ili ne vrlo je jednostavno. Dovoljno je zamisliti trigonometrijski krug sa predznacima trigonometrijskih veličina i mentalno „presaviti“ graf u odnosu na osu OX. Ako se predznaci poklapaju, funkcija je parna, u suprotnom je neparna.
Uvođenje radijana i navođenje osnovnih svojstava sinusnih i kosinusnih valova omogućavaju nam da predstavimo sljedeći obrazac:
Vrlo je lako provjeriti da li je formula tačna. Na primjer, za x = π/2, sinus je 1, kao i kosinus od x = 0. Provjera se može obaviti korištenjem tabela ili praćenjem krivulja funkcija za date vrijednosti.
Svojstva tangentsoida i kotangensoida
Grafovi tangentnih i kotangensnih funkcija značajno se razlikuju od sinusnih i kosinusnih funkcija. Vrijednosti tg i ctg su recipročne jedna drugoj.
- Y = tan x.
- Tangenta teži vrijednostima y na x = π/2 + πk, ali ih nikada ne dostiže.
- Najmanji pozitivni period tangentoida je π.
- Tg (- x) = - tg x, tj. funkcija je neparna.
- Tg x = 0, za x = πk.
- Funkcija se povećava.
- Tg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Tg x ‹ 0, za x ϵ (— π/2 + πk, πk).
- Derivat (tg x)’ = 1/cos 2 x.
Razmotrite grafičku sliku kotangenoida ispod teksta.
Glavna svojstva kotangtoida:
- Y = cotg x.
- Za razliku od sinusnih i kosinusnih funkcija, u tangentoidu Y može poprimiti vrijednosti skupa svih realnih brojeva.
- Kotangentoid teži vrijednostima y na x = πk, ali ih nikada ne dostiže.
- Najmanji pozitivni period kotangenoida je π.
- Ctg (- x) = - ctg x, tj. funkcija je neparna.
- Ctg x = 0, za x = π/2 + πk.
- Funkcija se smanjuje.
- Ctg x › 0, za x ϵ (πk, π/2 + πk).
- Ctg x ‹ 0, za x ϵ (π/2 + πk, πk).
- Derivat (ctg x)’ = - 1/sin 2 x Tačno
Koncepti sinusa (), kosinusa (), tangente (), kotangensa () neraskidivo su povezani sa konceptom ugla. Kako bismo dobro razumjeli ove, na prvi pogled, složene pojmove (koji kod mnogih školaraca izazivaju stanje užasa), i kako bismo bili sigurni da „đavo nije tako strašan kao što je naslikan“, krenimo od na samom početku i razumjeti pojam ugla.
Koncept ugla: radijan, stepen
Pogledajmo sliku. Vektor se „okrenuo“ u odnosu na tačku za određenu količinu. Dakle, mjera ove rotacije u odnosu na početnu poziciju će biti ugao.
Šta još trebate znati o pojmu ugla? Pa, naravno, jedinice ugla!
Ugao, kako u geometriji tako i u trigonometriji, može se mjeriti u stepenima i radijanima.
Ugao (jedan stepen) je centralni ugao u krugu koji je savijen kružnim lukom jednak delu kruga. Dakle, cijeli krug se sastoji od “komada” kružnih lukova, ili je ugao opisan krugom jednak.
To jest, gornja slika prikazuje ugao jednak, odnosno, ovaj ugao počiva na kružnom luku veličine obima.
Ugao u radijanima je središnji ugao u krugu sastavljen kružnim lukom čija je dužina jednaka poluprečniku kružnice. Pa, jesi li shvatio? Ako nije, hajde da to shvatimo iz crteža.
Dakle, slika prikazuje ugao jednak radijanu, odnosno ovaj ugao počiva na kružnom luku čija je dužina jednaka poluprečniku kruga (dužina je jednaka dužini ili je poluprečnik jednak dužina luka). Dakle, dužina luka se izračunava po formuli:
Gdje je centralni ugao u radijanima.
Pa, znajući ovo, možete li odgovoriti koliko radijana sadrži ugao koji opisuje krug? Da, za ovo morate zapamtiti formulu za obim. evo je:
Pa, hajde sada da povežemo ove dvije formule i otkrijemo da je ugao opisan kružnicom jednak. To jest, korelacijom vrijednosti u stepenima i radijanima, dobijamo to. Odnosno, . Kao što vidite, za razliku od "stepeni", riječ "radijan" je izostavljena, jer je jedinica mjere obično jasna iz konteksta.
Koliko radijana ima? Tako je!
Jasno? Onda samo naprijed i popravi to:
Imate poteškoća? Onda pogledaj odgovori:
Pravokutni trokut: sinus, kosinus, tangenta, kotangens ugla
Dakle, shvatili smo koncept ugla. Ali šta je sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, pomoći će nam pravokutni trokut.
Kako se zovu stranice pravouglog trougla? Tako je, hipotenuza i kateta: hipotenuza je strana koja leži nasuprot pravog kuta (u našem primjeru to je stranica); noge su dvije preostale strane i (one susjedne pravom kutu), a ako uzmemo u obzir noge u odnosu na ugao, onda je noga susjedna noga, a noga je suprotna. Dakle, hajde da odgovorimo na pitanje: šta su sinus, kosinus, tangent i kotangens ugla?
Sinus ugla- ovo je omjer suprotnog (udaljenog) kraka prema hipotenuzi.
U našem trouglu.
Kosinus ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i hipotenuze.
U našem trouglu.
Tangenta ugla- ovo je omjer suprotne (udaljene) strane prema susjednoj (bliskoj).
U našem trouglu.
Kotangens ugla- ovo je omjer susjedne (bliske) noge i suprotne (daleke).
U našem trouglu.
Ove definicije su neophodne zapamti! Da biste lakše zapamtili koju nogu podijeliti na šta, morate to jasno razumjeti tangenta I kotangens samo noge sjede, a hipotenuza se pojavljuje samo u sinus I kosinus. A onda možete smisliti lanac asocijacija. Na primjer, ovaj:
Kosinus→dodir→dodir→susedni;
Kotangens→dodir→dodir→susedni.
Prije svega, morate zapamtiti da sinus, kosinus, tangenta i kotangens, jer omjeri strana trokuta ne ovise o dužinama ovih stranica (pod istim kutom). Ne vjerujem? Zatim se uvjerite gledajući sliku:
Razmotrimo, na primjer, kosinus ugla. Po definiciji, iz trougla: , ali možemo izračunati kosinus ugla iz trougla: . Vidite, dužine stranica su različite, ali vrijednost kosinusa jednog ugla je ista. Dakle, vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa ovise isključivo o veličini ugla.
Ako razumijete definicije, samo naprijed i konsolidirajte ih!
Za trokut prikazan na donjoj slici nalazimo.
Pa, jesi li dobio? Zatim pokušajte sami: izračunajte isto za ugao.
Jedinični (trigonometrijski) krug
Razumijevajući koncepte stupnjeva i radijana, razmatrali smo krug s polumjerom jednakim. Takav krug se zove single. Bit će vrlo korisno kada proučavate trigonometriju. Stoga, pogledajmo to malo detaljnije.
Kao što vidite, ovaj krug je konstruisan u kartezijanskom koordinatnom sistemu. Polumjer kružnice je jednak jedan, dok središte kružnice leži na početku koordinata, početni položaj radijus vektora je fiksiran duž pozitivnog smjera ose (u našem primjeru to je radijus).
Svaka tačka na kružnici odgovara dva broja: koordinata ose i koordinata ose. Koji su to koordinatni brojevi? I općenito, kakve veze oni imaju sa temom o kojoj je riječ? Da bismo to učinili, moramo se sjetiti razmatranog pravokutnog trokuta. Na gornjoj slici možete vidjeti dva cijela pravokutna trougla. Zamislite trougao. Pravougaona je jer je okomita na osu.
Čemu je jednak trougao? Tako je. Osim toga, znamo da je radijus jedinične kružnice, što znači . Zamijenimo ovu vrijednost u našu formulu za kosinus. Evo šta se dešava:
Čemu je jednak trougao? Pa, naravno! Zamijenite vrijednost radijusa u ovu formulu i dobijete:
Dakle, možete li reći koje koordinate ima tačka koja pripada kružnici? Pa, nema šanse? Šta ako to shvatite i ako su to samo brojevi? Kojoj koordinati odgovara? Pa, naravno, koordinate! I kojoj koordinati odgovara? Tako je, koordinate! Dakle, tačka.
Čemu su onda i čemu jednaki? Tako je, upotrijebimo odgovarajuće definicije tangente i kotangensa i dobijemo to, a.
Šta ako je ugao veći? Na primjer, kao na ovoj slici:
Šta se promijenilo u ovom primjeru? Hajde da to shvatimo. Da bismo to učinili, okrenimo se ponovo pravokutnom trokutu. Razmotrimo pravougaoni trougao: ugao (kao susedni ugao). Koje su vrijednosti sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa za ugao? Tako je, pridržavamo se odgovarajućih definicija trigonometrijskih funkcija:
Pa, kao što možete vidjeti, vrijednost sinusa ugla i dalje odgovara koordinati; vrijednost kosinusa ugla - koordinata; i vrijednosti tangenta i kotangensa na odgovarajuće omjere. Dakle, ovi odnosi se primjenjuju na bilo koju rotaciju radijus vektora.
Već je spomenuto da je početni položaj radijus vektora duž pozitivnog smjera ose. Do sada smo ovaj vektor rotirali u smjeru suprotnom od kazaljke na satu, ali šta će se dogoditi ako ga okrenemo u smjeru kazaljke na satu? Ništa neobično, dobit ćete i ugao određene vrijednosti, ali samo on će biti negativan. Dakle, kada se radijus vektor okrene suprotno od kazaljke na satu, dobijamo pozitivni uglovi, a pri rotaciji u smjeru kazaljke na satu - negativan.
Dakle, znamo da je cijela revolucija radijus vektora oko kružnice ili. Da li je moguće rotirati radijus vektor na ili na? Pa, naravno da možete! U prvom slučaju, dakle, radijus vektor će napraviti jedan puni okret i zaustaviti se na poziciji ili.
U drugom slučaju, odnosno radijus vektor će napraviti tri puna okretaja i zaustaviti se na poziciji ili.
Dakle, iz gornjih primjera možemo zaključiti da uglovi koji se razlikuju po ili (gdje je bilo koji cijeli broj) odgovaraju istom položaju radijus vektora.
Slika ispod prikazuje ugao. Ista slika odgovara uglu itd. Ova lista se može nastaviti u nedogled. Svi ovi uglovi se mogu napisati općom formulom ili (gdje je bilo koji cijeli broj)
Sada, znajući definicije osnovnih trigonometrijskih funkcija i koristeći jedinični krug, pokušajte odgovoriti koje su vrijednosti:
Evo jediničnog kruga koji će vam pomoći:
Imate poteškoća? Onda hajde da shvatimo. Dakle, znamo da:
Odavde određujemo koordinate tačaka koje odgovaraju određenim mjerama uglova. Pa, počnimo redom: ugao na odgovara tački s koordinatama, dakle:
Ne postoji;
Dalje, pridržavajući se iste logike, saznajemo da uglovi u odgovaraju tačkama sa koordinatama, respektivno. Znajući to, lako je odrediti vrijednosti trigonometrijskih funkcija u odgovarajućim točkama. Prvo pokušajte sami, a zatim provjerite odgovore.
odgovori:
Tako možemo napraviti sljedeću tabelu:
Nema potrebe da pamtite sve ove vrednosti. Dovoljno je zapamtiti korespondenciju između koordinata točaka na jediničnom krugu i vrijednosti trigonometrijskih funkcija:
Ali vrijednosti trigonometrijskih funkcija uglova u i, date u donjoj tabeli, mora se zapamtiti:
Ne boj se, sada ćemo vam pokazati jedan primjer prilično jednostavno zapamtiti odgovarajuće vrijednosti:
Za korištenje ove metode važno je zapamtiti vrijednosti sinusa za sve tri mjere ugla (), kao i vrijednost tangente kuta. Poznavajući ove vrijednosti, prilično je jednostavno vratiti cijelu tablicu - vrijednosti kosinusa se prenose u skladu sa strelicama, odnosno:
Znajući to, možete vratiti vrijednosti za. Brojilac " " će se poklopiti i nazivnik " " će se podudarati. Vrijednosti kotangensa se prenose u skladu sa strelicama prikazanim na slici. Ako ovo razumijete i zapamtite dijagram sa strelicama, tada će biti dovoljno zapamtiti sve vrijednosti iz tabele.
Koordinate tačke na kružnici
Da li je moguće pronaći tačku (njene koordinate) na kružnici, znajući koordinate centra kruga, njegov polumjer i ugao rotacije?
Pa, naravno da možete! Hajde da ga izvadimo opšta formula za pronalaženje koordinata tačke.
Na primjer, evo kruga ispred nas:
Dato nam je da je tačka centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom tačke po stepenima.
Kao što se vidi sa slike, koordinata tačke odgovara dužini segmenta. Dužina segmenta odgovara koordinati centra kruga, odnosno jednaka je. Dužina segmenta se može izraziti pomoću definicije kosinusa:
Onda imamo to za koordinate tačke.
Koristeći istu logiku, nalazimo vrijednost y koordinate za tačku. dakle,
Dakle, općenito se koordinate tačaka određuju formulama:
Koordinate centra kruga,
polumjer kruga,
Ugao rotacije radijusa vektora.
Kao što vidite, za jedinični krug koji razmatramo, ove formule su značajno smanjene, budući da su koordinate centra jednake nuli, a radijus jednak jedan:
Pa, hajde da isprobamo ove formule vježbajući pronalaženje tačaka na kružnici?
1. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
2. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
3. Pronađite koordinate tačke na jediničnom krugu dobijene rotacijom tačke.
4. Tačka je centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.
5. Tačka je centar kružnice. Polumjer kružnice je jednak. Potrebno je pronaći koordinate tačke dobijene rotacijom početnog radijus vektora za.
Imate problema s pronalaženjem koordinata tačke na kružnici?
Riješite ovih pet primjera (ili budite dobri u njihovom rješavanju) i naučit ćete ih pronaći!
SAŽETAK I OSNOVNE FORMULE
Sinus ugla je omjer suprotnog (dalekog) kraka i hipotenuze.
Kosinus ugla je omjer susjednog (bliskog) kraka i hipotenuze.
Tangent ugla je omjer suprotne (daleke) strane i susjedne (bliske) strane.
Kotangens ugla je omjer susjedne (bliske) strane i suprotne (daleke) strane.
Pa, tema je gotova. Ako čitate ove redove, to znači da ste veoma cool.
Zato što je samo 5% ljudi sposobno nešto samostalno savladati. A ako pročitate do kraja, onda ste u ovih 5%!
Sada najvažnija stvar.
Razumjeli ste teoriju na ovu temu. I, ponavljam, ovo... ovo je jednostavno super! Već ste bolji od velike većine svojih vršnjaka.
Problem je što ovo možda nije dovoljno...
Za što?
Za uspješno položen Jedinstveni državni ispit, za upis na fakultet na budžetu i, NAJVAŽNIJE, doživotno.
Neću vas ni u šta ubeđivati, samo ću jedno reći...
Ljudi koji su stekli dobro obrazovanje zarađuju mnogo više od onih koji ga nisu stekli. Ovo je statistika.
Ali to nije glavna stvar.
Glavna stvar je da su SREĆNIJI (ima takvih studija). Možda zato što se pred njima otvara još mnogo mogućnosti i život postaje svjetliji? ne znam...
Ali razmislite sami...
Šta je potrebno da biste bili sigurni da ćete biti bolji od drugih na Jedinstvenom državnom ispitu i na kraju biti... sretniji?
STVARITE SE RJEŠAVANJEM PROBLEMA NA OVU TEMU.
Od vas se neće tražiti teorija tokom ispita.
Trebaće ti rješavati probleme protiv vremena.
A, ako ih niste riješili (PUNO!), sigurno ćete negdje napraviti glupu grešku ili jednostavno nećete imati vremena.
To je kao u sportu - morate to ponoviti mnogo puta da biste sigurno pobijedili.
Pronađite kolekciju gde god želite, obavezno sa rješenjima, detaljnom analizom i odluči, odluči, odluči!
Možete koristiti naše zadatke (opciono) i mi ih, naravno, preporučujemo.
Da biste bolje koristili naše zadatke, morate pomoći da produžite život YouClever udžbenika koji trenutno čitate.
Kako? Postoje dvije opcije:
- Otključajte sve skrivene zadatke u ovom članku -
- Otključajte pristup svim skrivenim zadacima u svih 99 članaka udžbenika - Kupite udžbenik - 499 RUR
Da, u našem udžbeniku imamo 99 takvih članaka i pristup svim zadacima i svim skrivenim tekstovima u njima može se odmah otvoriti.
Pristup svim skrivenim zadacima je omogućen za CIJELI vijek trajanja stranice.
U zakljucku...
Ako vam se ne sviđaju naši zadaci, pronađite druge. Samo nemojte stati na teoriji.
“Razumijem” i “Mogu riješiti” su potpuno različite vještine. Trebate oboje.
Pronađite probleme i riješite ih!
Zašto su gamas krpelji opasni?
Dizajnerski i istraživački rad o sličnosti trokuta u stvarnom životu Pogledajte sadržaj prezentacije „Sličnost trokuta u stvarnom životu“
Jednodijelne rečenice