В този урок ще разгледаме решаването на по-сложни експоненциални уравнения и ще си припомним основните теоретични принципи относно експоненциалната функция.

1. Определение и свойства на експоненциалната функция, методи за решаване на най-простите експоненциални уравнения

Нека си припомним определението и основните свойства на експоненциалната функция. Решението на всички експоненциални уравнения и неравенства се основава на тези свойства.

Експоненциална функцияе функция от формата , където основата е степента и Тук x е независимата променлива, аргумент; y е зависимата променлива, функция.

ориз. 1. Графика на експоненциална функция

Графиката показва нарастващи и намаляващи експоненти, илюстрирайки експоненциалната функция с основа, съответно по-голяма от едно и по-малка от единица, но по-голяма от нула.

И двете криви минават през точката (0;1)

Свойства на експоненциалната функция:

Обхват: ;

Диапазон от стойности: ;

Функцията е монотонна, нараства с, намалява с.

Монотонната функция приема всяка от своите стойности при дадена стойност на един аргумент.

Когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията нараства от нула включително до плюс безкрайност. Напротив, когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията намалява от безкрайност до нула, не включително.

2. Решаване на стандартни експоненциални уравнения

Нека ви напомним как се решават най-простите експоненциални уравнения. Тяхното решение се основава на монотонността на експоненциалната функция. Почти всички сложни експоненциални уравнения могат да бъдат сведени до такива уравнения.

Равенството на показателите с равни основи се дължи на свойството на експоненциалната функция, а именно нейната монотонност.

Метод на решение:

Изравняване на основите на степени;

Приравнете степенните степени.

Нека преминем към разглеждане на по-сложни експоненциални уравнения; нашата цел е да сведем всяко от тях до най-простото.

Нека да се отървем от корена от лявата страна и да приведем градусите към същата основа:

За да се намали сложно експоненциално уравнение до неговото най-просто, често се използва заместване на променливи.

Нека използваме свойството мощност:

Въвеждаме заместител. Нека бъде тогава

Нека умножим полученото уравнение по две и преместим всички членове в лявата страна:

Първият корен не удовлетворява диапазона от стойности на y, така че го отхвърляме. Получаваме:

Нека намалим градусите до същия индикатор:

Нека въведем замяна:

Нека бъде тогава . При такава замяна е очевидно, че y приема строго положителни стойности. Получаваме:

Знаем как да решаваме такива квадратни уравнения, можем да запишем отговора:

За да се уверите, че корените са намерени правилно, можете да проверите с помощта на теоремата на Виета, т.е. да намерите сумата от корените и техния продукт и да ги сравните със съответните коефициенти на уравнението.

Получаваме:

3. Методика за решаване на хомогенни показателни уравнения от втора степен

Нека проучим следния важен тип експоненциални уравнения:

Уравненията от този тип се наричат ​​хомогенни от втора степен по отношение на функциите f и g. От лявата му страна има квадратен тричлен по отношение на f с параметър g или квадратен тричлен по отношение на g с параметър f.

Метод на решение:

Това уравнение може да се реши като квадратно уравнение, но е по-лесно да се направи по различен начин. Има два случая за разглеждане:

В първия случай получаваме

Във втория случай имаме право да разделим на най-високата степен и да получим:

Трябва да въведем промяна на променливите, получаваме квадратно уравнениеспрямо y:

Нека отбележим, че функциите f и g могат да бъдат всякакви, но ни интересува случаят, когато това са експоненциални функции.

4. Примери за решаване на еднородни уравнения

Нека преместим всички членове в лявата страна на уравнението:

Тъй като експоненциалните функции придобиват строго положителни стойности, имаме право незабавно да разделим уравнението на , без да разглеждаме случая, когато:

Получаваме:

Нека въведем замяна: (според свойствата на експоненциалната функция)

Получихме квадратно уравнение:

Ние определяме корените с помощта на теоремата на Vieta:

Първият корен не отговаря на диапазона от стойности на y, ние го изхвърляме, получаваме:

Нека използваме свойствата на степените и редуцираме всички степени до прости бази:

Лесно е да забележите функциите f и g:

GBOU Средно училище № 149, Санкт Петербург

Обобщение на урока

Новикова Олга Николаевна

2016 г

Тема: „Система от степенни уравнения и неравенства“.

Цели на урока:

образователен:

обобщете и консолидирайте знанията за начините за решаване на експоненциални уравнения и неравенства, съдържащи се в системи от уравнения и неравенства

развитие: активиране познавателна дейност; развитие на умения за самоконтрол и самооценка, самоанализ на собствените дейности.

образователен: развиване на способността за самостоятелна работа; взема решения и прави заключения; възпитаване на стремеж към самообразование и самоусъвършенстване.

Тип урок : комбинирани.

Тип урок: уъркшоп урок.

Напредък на урока

I. Организационен момент (1 минута)

Изявление на целта на класа: Обобщете и консолидирайте знанията за методите за решаване на експоненциални уравнения и неравенства, съдържащи се в системи от уравнения и неравенствавъз основа на свойствата на експоненциалната функция.

II. Устна работа (1 мин.)

Дефиниция на експоненциално уравнение.
Методи за решаване на експоненциални уравнения.
Алгоритъм за решаване на експоненциални неравенства.

III . Проверка на домашното (3 мин.)

Учениците са по местата си. Учителят проверява отговорите и пита как се решават експоненциални уравнения и неравенства. № 228-231 (нечетен)

азV. Актуализиране на основни знания. "Мозъчна атака": (3 минути)

Въпросите са показани на разпечатани листове на ученическите бюра „Показателни функции, уравнения, неравенства“ и се предлагат на учениците за устен отговор от местата.

1. Коя функция се нарича експоненциална?

2. Каква е областта на дефиниция на функцията y= 0,5х?

3. Каква е областта на дефиниция на експоненциалната функция?

4. Какъв е диапазонът на функцията y= 0,5х?

5. Какви свойства може да има една функция?

6. При какво условие експоненциалната функция е нарастваща?

7. При какво условие експоненциалната функция е намаляваща?

8. Експоненциалната функция расте или намалява

9. Кое уравнение се нарича експоненциално?

Диагностика на нивото на формиране на практически умения.

10 задача: запишете решението в тетрадките си. (7 минути)

10. Познавайки свойствата на нарастваща и намаляваща експоненциална функция, решете неравенствата

2 3 < 2 X ;
; 3 X < 81 ; 3 X < 3 4

11 . Решете уравнението: 3 х = 1

12 . Изчислете 7,8 0 ; 9,8 0

13 . Посочете метод за решаване на експоненциални уравнения и го решете:

След завършване двойките си разменят листа. Оценявайки се взаимно. Критерии на дъската. Проверка по записи на листове във файла.

Така повторихме свойствата на експоненциалната функция и методите за решаване на експоненциални уравнения.

Учителят селективно взема и оценява работата на 2-3 ученици.

Работилница за решения системи експоненциални уравнения и неравенства: (23 минути)

Нека разгледаме решаването на системи от експоненциални уравнения и неравенства въз основа на свойствата на експоненциалната функция.

При решаване на системи от експоненциални уравнения и неравенства се използват същите техники, както при решаване на системи от алгебрични уравнения и неравенства (метод на заместване, метод на добавяне, метод на въвеждане на нови променливи). В много случаи, преди да се приложи един или друг метод за решаване, е необходимо всяко уравнение (неравенство) на системата да се трансформира във възможно най-простия вид.

Примери.

1.

Решение:

отговор: (-7; 3); (1; -1).

2.

Решение:

Да отбележим 2 X= u, 3 г= v. Тогава системата ще бъде написана така:

Нека решим тази система, използвайки метода на заместване:

Уравнение 2 X= -2 няма решения, защото –2<0, а 2 X> 0.

б)

отговор: (2;1).

№244(1)

Отговор: 1,5; 2

Обобщавайки. Отражение. (5 минути)

Обобщение на урока: Днес повторихме и обобщихме знанията за методите за решаване на показателни уравнения и неравенства, съдържащи се в системи, базирани на свойствата на показателната функция.

Децата едно по едно трябва да изберат и продължат фразата от фразите, представени по-долу.

Отражение:

днес разбрах...

беше трудно...

Разбрах, че...

сам се научих...

успях...

Беше интересно да разбера, че...

Бях изненадан...

исках...

домашна работа. (2 минути)

No 240-242 (нечетни) с.86

„Неравенства с една променлива“ - Не можете да спрете да учите. Посочете най-голямото цяло число, което принадлежи на интервала. Учим се от примери. Решението на неравенство с една променлива е стойността на променливата. Линейно неравенство. Намерете грешката. Неравенства. Цели на урока. Решаването на неравенство означава намиране на всички негови решения. Историческа информация.

“Алгоритъм за решаване на неравенства” - Функц. Задача. Случва се. Много решения. Решаване на неравенства. Неравенства. Решение на неравенство. Нека разгледаме дискриминанта. Нека решим неравенството с интервалния метод. Най-простото линейно неравенство. Алгоритъм за решаване на неравенства. ос. Сега нека решим квадратното неравенство.

„Логаритмични уравнения и неравенства“ - Разберете дали дадено число е положително или отрицателно. Цел на урока. Решете уравнението. Свойства на логаритмите. Логаритми. Формули за преход към нова база. Упражняване на умения за решаване на логаритмични уравнения и неравенства. Дефиниция на логаритъм. Изчислете. Посочете процеса за решаване на следните уравнения.

“Доказателство на неравенства” - Приложение на метода на математическата индукция. За n=3 получаваме. Докажете това за всяко n? N Доказателство. по теоремата на Бернули, както се изисква. Но това ясно доказва, че нашето предположение е невярно. Методът се основава на свойството за неотрицателност на квадратен трином, ако и. Неравенството на Коши-Буняковски.

„Решаване на неравенства по интервалния метод“ - Решаване на неравенства по интервалния метод. 2. Алгоритъм за решаване на неравенство по интервалния метод. Дадена е графиката на функцията: Решете неравенството:

„Решаване на ирационални уравнения и неравенства“ - Външни корени. Набор от задачи. Въведете множителя под знака за корен. Работа със задача. Ирационални уравнения и неравенства. Актуализиране на знанията. Ирационално уравнение. Определение. Изберете тези, които са ирационални. Ирационални уравнения. За какви стойности на A е вярно равенството. Ирационални неравенства.

Методи за решаване на системи от уравнения

Като начало, нека накратко да си припомним какви методи обикновено съществуват за решаване на системи от уравнения.

има четири основни начинарешения на системи от уравнения:

Метод на заместване: вземете някое от дадените уравнения и изразете $y$ чрез $x$, след което $y$ се замества в уравнението на системата, откъдето се намира променливата $x.$ лесно изчисляване на променливата $y.$

Метод на събиране: При този метод трябва да умножите едното или двете уравнения с такива числа, че когато съберете и двете заедно, една от променливите „изчезва“.

Графичен метод: двете уравнения на системата се изобразяват върху координатната равнина и се намира точката на тяхното пресичане.

Метод за въвеждане на нови променливи: в този метод заместваме някои изрази, за да опростим системата, и след това използваме един от горните методи.

Системи експоненциални уравнения

Определение 1

Системи от уравнения, състоящи се от експоненциални уравнения, се наричат ​​системи от експоненциални уравнения.

Ще разгледаме решаването на системи от експоненциални уравнения с примери.

Пример 1

Решете система от уравнения

Фигура 1.

Решение.

Ще използваме първия метод за решаване на тази система. Първо, нека изразим $y$ в първото уравнение чрез $x$.

Фигура 2.

Нека заместим $y$ във второто уравнение:

\ \ \[-2-x=2\] \ \

отговор: $(-4,6)$.

Пример 2

Решете система от уравнения

Фигура 3.

Решение.

Тази система е еквивалентна на системата

Фигура 4.

Нека приложим четвъртия метод за решаване на уравнения. Нека $2^x=u\ (u >0)$ и $3^y=v\ (v >0)$, получаваме:

Фигура 5.

Нека решим получената система, използвайки метода на добавяне. Нека съберем уравненията:

\ \

Тогава от второто уравнение получаваме това

Връщане към замяната, получено нова системаекспоненциални уравнения:

Фигура 6.

Получаваме:

Фигура 7.

отговор: $(0,1)$.

Системи от експоненциални неравенства

Определение 2

Системи от неравенства, състоящи се от показателни уравнения, се наричат ​​системи от показателни неравенства.

Ще разгледаме решаването на системи от експоненциални неравенства с примери.

Пример 3

Решете системата от неравенства

Фигура 8.

Решение:

Тази система от неравенства е еквивалентна на системата

Фигура 9.

За да разрешите първото неравенство, припомнете си следната теорема за еквивалентността на експоненциалните неравенства:

Теорема 1.Неравенството $a^(f(x)) >a^(\varphi (x)) $, където $a >0,a\ne 1$ е еквивалентно на съвкупността от две системи

\}